6.1 関数の定義

1.

(a)

$$D(f) = \{(x,y) : f(x,y) \in {\cal R}\}$$

$$= \{(x,y) : \sqrt{xy} \in {\cal R}\} = \{(x,y): xy \geq 0\}$$

$$R(f) = \{f(x,y): (x,y) \in D(f)\}$$

$$= [0,\infty)$$

(b)

$$D(f) = \{(x,y) : f(x,y) \in {\cal R}\}$$

$$= \{(x,y) : \frac{1}{x+y} \in {\cal R}\} = \{(x,y): x+y \neq 0\} = \{(x,y): y \neq -x\}$$

$$R(f) = \{f(x,y): (x,y) \in D(f)\} = \{\frac{1}{x+y} : x + y \neq 0\}$$

$$= (-\infty,0) \cup (0, \infty)$$

(c)

$$D(f) = \{(x,y) : f(x,y) \in {\cal R}\}$$

$$= \{(x,y) : \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \in {\cal R}\} = \{(x,y): x^{2}+y^{2} \neq 0\} = {\mathcal R}^{2} - \{(0,0)\}$$

$$R(f) = \{f(x,y): (x,y) \in D(f)\} = \{\frac{1}{x^{2}+y^{2}} : x^{2} + y^{2} \neq 0\}$$

$$= (0, \infty)$$

(d)

$$D(f) = \{(x,y) : f(x,y) \in {\cal R}\}$$

$$= \{(x,y) : \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \in {\cal R}\} = \{(x,y): x^{2}+y^{2} \neq 0\} = {\mathcal R}^{2} - \{(0,0)\}$$

$$R(f) = \{f(x,y): (x,y) \in D(f)\} = \{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} : x^{2} + y^{2} \neq 0\}$$

$$= [0,1]$$

(e)

$$D(f) = \{(x,y) : f(x,y) \in {\cal R}\}$$

$$= \{(x,y) : \log(1 - xy) \in {\cal R}\} = \{(x,y): 1 - xy > 0\} = \{(x,y): y < \frac{1}{x}\}$$

$$R(f) = \{f(x,y): (x,y) \in D(f)\} = \{\log(1-xy) : 1 - xy > 0\}$$

$$= (-\infty, \infty)$$

(f)

$$D(f) = \{(x,y,z) : f(x,y,z) \in {\cal R}\}$$

$$= \{(x,y,z) : \frac{z}{x^{2} - y^{2}} \in {\cal R}\} = \{(x,y,z): x^{2} - y^{2} \neq 0\} = \{(x,y): y \neq \pm x\}$$

$$R(f) = \{f(x,y,z): (x,y,z) \in D(f)\} = \{\frac{z}{x^{2} - y^{2}} : x^{2} - y^{2} \neq 0\}$$

$$= (-\infty, \infty)$$

2.

(a) $${x^{2} + 4y^{2} - 16z^{2} = 0}$$は $${z^{2} = \frac{x^{2}}{4^{2}} + \frac{4y^{2}}{4^{2}}}$$と書き直せる．$yz$平面でのトレースは $z = \pm y/2$, $xz$平面でのトレースは $z = \pm x/4$．等位面でのトレースは楕円となる．したがって，2次錐面．別名円錐．

(b) $${x^{2} + 4y^{2} + 16z^{2}- 12 = 0}$$は $${\frac{x^{2}}{12} + \frac{4y^{2}}{12} + \frac{16z^{2}}{12} = 1}$$と書き直せる．$yz$平面でのトレースは楕円 $\frac{4y^{2}}{12} + \frac{16z^{2}}{12} = 1$, $xz$平面でのトレースは楕円 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{16z^{2}}{12} = 1$．等位面でのトレースも楕円となる．したがって，楕円面．

(c) $${x - 4y^{2} = 0}$$は放物線 $x = 4y^{2}$が$z$軸に平行にのびている．したがって，放物柱．

(d) $${x^{2} - 4y^{2} - 2z = 0}$$. $yz$平面でのトレースは放物線 $2z = 4y^{2}$, $xz$平面でのトレースは放物線 $2z = x^{2}$．等位面でのトレースは双曲線．したがって，双曲放物面

(e) $${2x^{2} + 4y^{2} - 1 = 0}$$は楕円 $2x^{2} + 4y^{2} = 1$が$z$軸に平行にのびている．したがって， 楕円柱．

(f) $${x^{2} + 4y^{2} - 4z = 0}$$. $yz$平面でのトレースは放物線 $z = y^{2}/4$, $xz$平面でのトレースは放物線 $z = x^{2}/4$．等位面でのトレースは楕円．したがって，楕円放物面 (g) $${2x^{2} - 4y^{2} - 6 = 0}$$は双曲線 $2x^{2} - 4y^{2} = 6$が$z$軸に平行にのびている．したがって， 双曲柱．

(h) $${x^{2} + y^{2} - 2z^{2} -10 = 0}$$. $yz$平面でのトレースは双曲線 $y^{2} - 2z^{2} = 10$, $xz$平面でのトレースは双曲線 $x^{2} - 2z^{2} = 10$．等位面でのトレースは楕円．したがって，1葉双曲面

(i) $${x^{2} + y^{2} - 2z^{2} +10 = 0}$$. $yz$平面でのトレースは双曲線 $y^{2} - 2z^{2} = 10$, $xz$平面でのトレースは双曲線 $x^{2} - 2z^{2} = 10$． $x^{2} + y^{2} = 2z^{2} - 10$より 等位面でのトレースは$z^{2} > 5$のときつまり $z > \sqrt{5}$または $z < -\sqrt{5}$のとき楕円．したがって，2葉双曲面