6.1 関数の定義

$\displaystyle D(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y) : f(x,y) \in {\cal R}\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y) : \sqrt{xy} \in {\cal R}\} = \{(x,y): xy \geq 0\}$

$\displaystyle R(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{f(x,y): (x,y) \in D(f)\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle [0,\infty)$

$\displaystyle D(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y) : f(x,y) \in {\cal R}\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y) : \frac{1}{x+y} \in {\cal R}\} = \{(x,y): x+y \neq 0\} = \{(x,y): y \neq -x\}$

$\displaystyle R(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{f(x,y): (x,y) \in D(f)\} = \{\frac{1}{x+y} : x + y \neq 0\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (-\infty,0) \cup (0, \infty)$

$\displaystyle D(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y) : f(x,y) \in {\cal R}\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y) : \frac{1}{x^{2}+y^{2}} \in {\cal R}\} = \{(x,y): x^{2}+y^{2} \neq 0\} = {\mathcal R}^{2} - \{(0,0)\}$

$\displaystyle R(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{f(x,y): (x,y) \in D(f)\} = \{\frac{1}{x^{2}+y^{2}} : x^{2} + y^{2} \neq 0\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (0, \infty)$

$\displaystyle D(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y) : f(x,y) \in {\cal R}\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y) : \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} \in {\cal R}\} = \{(x,y): x^{2}+y^{2} \neq 0\} = {\mathcal R}^{2} - \{(0,0)\}$

$\displaystyle R(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{f(x,y): (x,y) \in D(f)\} = \{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} : x^{2} + y^{2} \neq 0\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle [0,1]$

$\displaystyle D(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y) : f(x,y) \in {\cal R}\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y) : \log(1 - xy) \in {\cal R}\} = \{(x,y): 1 - xy > 0\} = \{(x,y): y < \frac{1}{x}\}$

$\displaystyle R(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{f(x,y): (x,y) \in D(f)\} = \{\log(1-xy) : 1 - xy > 0\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (-\infty, \infty)$

$\displaystyle D(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y,z) : f(x,y,z) \in {\cal R}\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y,z) : \frac{z}{x^{2} - y^{2}} \in {\cal R}\} = \{(x,y,z): x^{2} - y^{2} \neq 0\} = \{(x,y): y \neq \pm x\}$

$\displaystyle R(f)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{f(x,y,z): (x,y,z) \in D(f)\} = \{\frac{z}{x^{2} - y^{2}} : x^{2} - y^{2} \neq 0\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (-\infty, \infty)$

(a) $\displaystyle{x^{2} + 4y^{2} - 16z^{2} = 0}$ は $\displaystyle{z^{2} = \frac{x^{2}}{4^{2}} + \frac{4y^{2}}{4^{2}}}$ と書き直せる． $yz$

平面でのトレースは $z = \pm y/2$ , $xz$

平面でのトレースは $z = \pm x/4$ ．等位面でのトレースは楕円となる．したがって，2次錐面．別名円錐．

(b) $\displaystyle{x^{2} + 4y^{2} + 16z^{2}- 12 = 0}$ は $\displaystyle{\frac{x^{2}}{12} + \frac{4y^{2}}{12} + \frac{16z^{2}}{12} = 1}$ と書き直せる． $yz$

平面でのトレースは楕円 $\frac{4y^{2}}{12} + \frac{16z^{2}}{12} = 1$ , $xz$

平面でのトレースは楕円 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{16z^{2}}{12} = 1$ ．等位面でのトレースも楕円となる．したがって，楕円面．

軸に平行にのびている．したがって，放物柱．

(d) $\displaystyle{x^{2} - 4y^{2} - 2z = 0}$ . $yz$

平面でのトレースは放物線 $2z = 4y^{2}$ , $xz$

平面でのトレースは放物線 $2z = x^{2}$ ．等位面でのトレースは双曲線．したがって，双曲放物面

(e) $\displaystyle{2x^{2} + 4y^{2} - 1 = 0}$ は楕円 $2x^{2} + 4y^{2} = 1$ が $z$

軸に平行にのびている．したがって，楕円柱．

(f) $\displaystyle{x^{2} + 4y^{2} - 4z = 0}$ . $yz$

平面でのトレースは放物線 $z = y^{2}/4$ , $xz$

平面でのトレースは放物線 $z = x^{2}/4$ ．等位面でのトレースは楕円．したがって，楕円放物面 (g) $\displaystyle{2x^{2} - 4y^{2} - 6 = 0}$ は双曲線 $2x^{2} - 4y^{2} = 6$ が $z$

軸に平行にのびている．したがって，双曲柱．

(h) $\displaystyle{x^{2} + y^{2} - 2z^{2} -10 = 0}$ . $yz$

平面でのトレースは双曲線 $y^{2} - 2z^{2} = 10$ , $xz$

平面でのトレースは双曲線 $x^{2} - 2z^{2} = 10$ ．等位面でのトレースは楕円．したがって，1葉双曲面

(i) $\displaystyle{x^{2} + y^{2} - 2z^{2} +10 = 0}$ . $yz$

平面でのトレースは双曲線 $y^{2} - 2z^{2} = 10$ , $xz$

平面でのトレースは双曲線 $x^{2} - 2z^{2} = 10$ ． $x^{2} + y^{2} = 2z^{2} - 10$ より等位面でのトレースは $z^{2} > 5$ のときつまり $z > \sqrt{5}$ または $z < -\sqrt{5}$ のとき楕円．したがって，2葉双曲面