ベクトル関数(vector functions)

確認問題

1.
次の問に答えよう.

(a) $\displaystyle{{\bf F}(t) = (\cos{t}, \sin{t})}$ のとき, $\displaystyle{{\bf F}^{\prime}(t)}$ $\displaystyle{\Vert{\bf F}^{\prime}(t)\Vert}$を求めよう.

(b) $\displaystyle{{\bf F}(t) = (1+2t, 3-t,2+3t)}$ のとき, $\displaystyle{{\bf F}^{\prime}(t)}$ $\displaystyle{\Vert{\bf F}^{\prime}(t)\Vert}$を求めよう.

(c) $\displaystyle{{\bf F}'(t) = (1, 2t)}$ のとき, ${\bf F}(t)$ を求めよう.

(d) $\displaystyle{{\bf F}'(t) = (e^{t}, \sqrt{2}, e^{-t})}$ のとき, ${\bf F}(t)$ を求めよう.

演習問題

1.
次の問に答えよう.

(a) $\displaystyle{{\bf F}(t) = (\sin{t}, \cos^{2}{t}, t^{2})}$ のとき, $\displaystyle{{\bf F}^{\prime}(t)}$ を求めよう.

(b) $\displaystyle{{\bf F}^{\prime}(t) = (\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}, \frac{1}{1 + t^2}, \tan{t})}$ のとき, ${\bf F}(t)$ を求めよう.

(c) ${\bf F}(t),{\bf G}(t)$$t$ について微分可能なベクトル関数のとき,

$\displaystyle ({\bf F} \cdot {\bf G})^{\prime} = {\bf F}^{\prime} \cdot {\bf G} + {\bf F} \cdot {\bf G}^{\prime} $

が成り立つことを証明しよう.

(d) ${\bf F}(t),{\bf G}(t)$$t$ について微分可能なベクトル関数のとき,

$\displaystyle ({\bf F} \times {\bf G})^{\prime} = {\bf F}^{\prime} \times {\bf G} + {\bf F} \times {\bf G}^{\prime} $

が成り立つことを示そう.

(e) ${\bf F}(t) = (x(t),y(t),z(t))$とすると,次のことが成り立つことを示そう. (b) ${\bf F}(t)$ は連続 $\Leftrightarrow (x(t),y(t),z(t))$が共に連続よう.

(c) ${\bf F} \in C'[a,b] \Rightarrow {\bf F}'(t_{0}) = (x'(t_{0}),y'(t_{0}),z'(t_{0}))$

(d) ${\bf F} \in C[a,b]$ $\Rightarrow$ $\int_{a}^{b}{\bf F}(t)dt = \left(\int_{a}^{b}x(t)dt, \int_{a}^{b}y(t)dt, \int_{a}^{b}z(t)dt\right)$