ベクトル関数(vector functions)

確認問題

1.

次の問に答えよう．

(a) $${{\bf F}(t) = (\cos{t}, \sin{t})}$$ のとき， $${{\bf F}^{\prime}(t)}$$と $${\Vert{\bf F}^{\prime}(t)\Vert}$$を求めよう．

(b) $${{\bf F}(t) = (1+2t, 3-t,2+3t)}$$ のとき， $${{\bf F}^{\prime}(t)}$$と $${\Vert{\bf F}^{\prime}(t)\Vert}$$を求めよう．

(c) $${{\bf F}'(t) = (1, 2t)}$$ のとき， ${\bf F}(t)$ を求めよう．

(d) $${{\bf F}'(t) = (e^{t}, \sqrt{2}, e^{-t})}$$ のとき， ${\bf F}(t)$ を求めよう．

演習問題

1.

次の問に答えよう．

(a) $${{\bf F}(t) = (\sin{t}, \cos^{2}{t}, t^{2})}$$ のとき， $${{\bf F}^{\prime}(t)}$$ を求めよう．

(b) $${{\bf F}^{\prime}(t) = (\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}, \frac{1}{1 + t^2}, \tan{t})}$$ のとき， ${\bf F}(t)$ を求めよう．

(c) ${\bf F}(t),{\bf G}(t)$ が $t$ について微分可能なベクトル関数のとき，

$$({\bf F} \cdot {\bf G})^{\prime} = {\bf F}^{\prime} \cdot {\bf G} + {\bf F} \cdot {\bf G}^{\prime}$$

が成り立つことを証明しよう．

(d) ${\bf F}(t),{\bf G}(t)$ が $t$ について微分可能なベクトル関数のとき，

$$({\bf F} \times {\bf G})^{\prime} = {\bf F}^{\prime} \times {\bf G} + {\bf F} \times {\bf G}^{\prime}$$

が成り立つことを示そう．

(e) ${\bf F}(t) = (x(t),y(t),z(t))$とすると，次のことが成り立つことを示そう． (b) ${\bf F}(t)$ は連続 $\Leftrightarrow (x(t),y(t),z(t))$が共に連続よう．

(c) ${\bf F} \in C'[a,b] \Rightarrow {\bf F}'(t_{0}) = (x'(t_{0}),y'(t_{0}),z'(t_{0}))$

(d) ${\bf F} \in C[a,b]$ $\Rightarrow$ $\int_{a}^{b}{\bf F}(t)dt = \left(\int_{a}^{b}x(t)dt, \int_{a}^{b}y(t)dt, \int_{a}^{b}z(t)dt\right)$