5.2 解答

5.2

1. 曲線 $\vec{r}(t)$において，点 $\vec{r}(a)$を通る接線の方程式を考える．接線上に任意の点 $\vec{r}(t)$を取り，既知の点 $\vec{r}(a)$と結ぶと， $\vec{t}(t) - \vec{r}(a)$は接線ベクトル $\vec{r}'(a)$のスカラー倍で表わせる．したがって，接線の方程式は

$$\vec{r}(t) = \vec{r}(a) + t\vec{r}'(a)$$

で与えられる．

(a) $\vec{r}(t) = (e^{t},e^{-t},-\log{t})$より$t = 1$での接線ベクトルは

$$\vec{r}'(1) = (e^{t},-e^{-t},-\frac{1}{t})\mid_{t=1} = (e,-e^{-1},-1)$$

よって，接線の方程式は

$$\vec{r}(t) = \vec{r}(1) + t\vec{r}'(1) = (e,e^{-1},0) + t(e,-e^{-1},-1)$$

(b) $\vec{r}(t) = (\cos{\pi t}, \sin{\pi t}, t)$より$t=2$での接線ベクトルは

$$\vec{r}'(2) = (-\pi \sin{\pi t}, \pi \cos{\pi t}, 1)\mid_{t=2} = (0,\pi,1)$$

よって，接線の方程式は

$$\vec{r}(t) = \vec{r}(2) + t\vec{r}'(2) = (1,0,2) + t(0,\pi,1)$$

2.

(a) $\vec{r}(t) = (at, bt^2)$より $x = at, y = bt^2$．これより$t$を消去する． $t = \frac{x}{a}$より $y = bt^2 = b(\frac{x^2}{a^2})$．

(b) $\vec{r}(t) = (t^3, t^2)$より $x = t^3, y = t^2$．これより$t$を消去する． $t = x^{1/3}$より $y = t^2 = x^{2/3}$．

(c) $\vec{r}(t) = (\cos{2t},\sin{2t},t)$より $x = \cos{2t}, y = \sin{2t}, z = t$．これより$t$を消去する．まず， $x^2 + y^2 = \cos^{2}{2t} + \sin^{2}{2t} = 1$．次に， $x = \cos{2z}, y = \sin{2z}$となるので， $\frac{y}{x} = \tan{2z}$．よって， $z = \frac{1}{2}\tan^{-1}{(\frac{y}{x})}$．

3. 微小時間$\Delta t$に対する弧長$\Delta s$は速さ $\Vert\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\Vert$に微小時間$\Delta t$をかけたものである．したがって， $\vec{r}(a)$から $\vec{r}(t)$までの弧長$s$は

$$s(t) = \int_{a}^{t} \Vert\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\Vert dt$$

で与えられる．

(a)

$$\Vert\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\Vert = \Vert(1,\frac{\sec{t}\tan{t}}{\sec{t}},0)\Vert = \sqrt{1 + \tan^{2}{t}} = \sec{t}$$

より

$$s = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\Vert\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\Vert dt$$

$$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sec{t}dt$$

$$= \left[\log\vert\sec{t} + \tan{t}\vert\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$$

$$= \log\vert sec{\frac{\pi}{4}} + \tan{\frac{\pi}{4}}\vert - \log\vert\sec{0} + \tan{0}\vert$$

$$= \log\vert\sqrt{2} + 1\vert - \log{1} = \log(1 + \sqrt{2})$$

(b)

$$\Vert\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\Vert = \Vert e^{t}(\cos{t}-\sin{t},\sin{t}+\cos{t})\Vert$$

$$= e^{t}\sqrt{(\cos{t}-\sin{t})^2 + (\sin{t}+\cos{t})^2} = e^{t}\sqrt{2}$$

より

$$s = \int_{0}^{\pi}\Vert\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\Vert dt$$

$$= \int_{0}^{\pi}\sqrt{2}e^{t}dt$$

$$= \left[\sqrt{2}e^{t}\vert\right]_{0}^{\pi}$$

$$= \sqrt{2}(e^{\pi} - 1)$$

(c) $x^{2/3} + y^{2/3} = 1, y \geq 0$をパラメター化すると

$$x = \cos^{3}{t}, y = \sin^{3}{t}, 0 \leq t \leq \pi$$

となるので， $\vec{r}(t) = (x(t),y(t)) = (\cos^{3}{t},\sin^{3}{t})$．

$$\Vert\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\Vert = \Vert(-3\cos^{2}{t}\sin{t}, 3\sin^{2}{t}\cos{t})\Vert$$

$$= 3\sqrt{\cos^{4}(t)\sin^{2}{t} + \sin^{4}{t}\cos^{2}{t}} = 3\cos{t}\sin{t}$$

ここで， $\vec{r}(t)$は $t = \frac{\pi}{2}$で滑らかでないことに注意すると

$$s = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Vert\frac{d\vec{r}(t)}{dt}\Vert dt$$

$$= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3\cos{t}\sin{t}dt$$

$$= 6\left[\frac{\sin^{2}{t}}{2}\vert\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 3$$

4. 曲線が$y = f(x)$で与えられるとき，曲率$\kappa$は $\kappa = \vert\frac{d\phi}{ds}\vert$で表わされる．ここで，$\phi$は曲線と$x$軸のなす角で，$s$は曲線の長さを表わす．つまり，曲線の長さが$\Delta s$だけ変化したとき，角$\phi$はどれだけ変化するかを測っている．

$\frac{d\phi}{ds}$の求め方

$\tan{\phi}$は曲線の接線の傾きなので， $y' = \tan{\phi}$．つまり， $\phi = \tan^{-1}(y')$．また，

$$\Delta s = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{1 + (y')^2}\Delta x$$

より

$$\frac{d\phi}{ds} = \frac{d\phi}{dx}\frac{dx}{ds} = \frac{y''}{1 + (y')^2}\frac{1}{ds/dx} = \frac{y''}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$$

(a) $y=e^{-x}$の曲率は

$$\kappa = \vert\frac{d\phi}{ds} = \frac{\vert y''\vert}{(1 + (y')^2)^{3/2}}\vert$$

ここで，

$$y' = -e^{-x}, y'' = e^{-x}$$

より

$$\kappa = \frac{e^{-x}}{(1 + (e^{-x})^{2})^{3/2}} = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-2x})^{3/2}}$$

(b) $y=\log(\sec{x})$の曲率は

$$\kappa = \vert\frac{d\phi}{ds} = \frac{\vert y''\vert}{(1 + (y')^2)^{3/2}}\vert$$

ここで，

$$y' = \frac{\sec{x}\tan{x}}{\sec{x}} = \tan{x}, y'' = \sec^{2}{x}$$

より

$$\kappa = \frac{\sec^{2}{x}}{(1 + (\tan{x})^{2})^{3/2}} = \frac{\sec^{2}{x}}{\sec^{3}{x}} = \frac{1}{\sec{x}} = \cos{x}$$

(c) 空間のベクトルの曲率$\kappa$は，曲線の長さが$\Delta s$だけ変化したとき，接線単位ベクトル$\hat{t}$がどれだけ変化するかを測る．つまり

$$\kappa = \Vert\frac{d\hat{t}}{ds}\Vert = \Vert\frac{d\hat{t}/dt}{ds/dt}\Vert$$

で与えられる．ここで，

$$\hat{t} = \frac{\vec{r}'(t)}{\Vert\vec{r}'(t)\Vert}$$

$$= \frac{(-3\sin{t},3\cos{t})}{\Vert(-3\sin{t},3\cos{t})\Vert} = (-\sin{t},\cos{t})$$

より $\frac{d\hat{t}}{dt} = (-\cos{t},-\sin{t})$． また，

$$\frac{ds}{dt} = \Vert\frac{d\vec{r}}{dt}\Vert = \Vert\sqrt{(-3\sin{t},3\cos{t})}\Vert = 3$$

したがって，

$$\kappa = \Vert\frac{d\hat{t}}{ds}\Vert = \Vert\frac{(-\cos{t},-\sin{t})}{3}\Vert = \frac{1}{3}$$