面積分(surface integrals)

曲面 $S : \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(u,v) = x(u,v)\:\boldsymbol{i} + y(u,v)\:\boldsymbol{j} + z(u,v)\:\boldsymbol{k}$ 上の任意の点 ${\rm P}(x,y,z)$ に対して定義されたスカラー場を $f({\rm P}) = f(x,y,z)$ とします．ただし，曲面 $S$ は滑らかな曲面とします．

図: 曲面

$S$ を $n$ 個の小さな面 $S_{1},S_{2}, \ldots,S_{n}$ に分割し，この分割を $\Delta$ で表わします．次に曲面 $S_{i}$ の面積を $\Delta S_{i}$ とし， $S_{i}$ の中に点 ${\rm P}_{i}$ をとり，次の和を考えます．

$$S(\Delta) = \sum_{i=1}^{n}f({\rm P}_{i})\Delta S_{i}$$

ここで，分割を細かくし $\Delta$ を限りなく小さくしたとき， $S(\Delta)$ が限りなく$S$ に近づくならば，この極限値 $S$ をスカラー場 $f$ の 面積分(surface integral) といい

$$\iint_{S}f(x,y,z)dS$$

で表わします．

図: 面積素

ここで面積素$dS$ は $\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u}du$と $\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}dv$を２辺とする平行四辺形の面積で近似できるので，

$$dS \approx \vert\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}\vert du dv$$

で与えられることに注意すると，スカラー場 $f$ の曲面 $S$ 上での面積分は，次のように表わされます．

$$\iint_{S}f(x,y,z)dS = \iint_{\Omega} f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\vert\boldsymbol{r}_{u} \times \boldsymbol{r}_{v}\vert du dv$$

ここで， $\Omega$ は $S$ に対応する $uv$ 平面上の領域です．

例題 3..11   次のスカラー場 $f$ の放物面 $${S : x^2 + y^2 + z = 4}$$ のうち$z \geq 0$ の部分上での面積分を求めてみましょう．

$$f(x,y,z) = \frac{2y^2 + z}{(4x^2 + 4y^2 + 1)^{1/2}}$$

解 曲面 $S : x^2 + y^2 + z = 4$ より対応する $\boldsymbol{r}$ を位置ベクトルとすると

$$\boldsymbol{r} = x\:\boldsymbol{i} + y\:\boldsymbol{j} + (4 - x^2 - y^2)\:\boldsymbol{k}$$

次に曲面 $S$ の法線ベクトル $\boldsymbol{r}_{x} \times \boldsymbol{r}_{y}$ を求めると

$$\boldsymbol{r}_{x} \times \boldsymbol{r}_{y} = (\boldsymbol{i} -2x\:\boldsymbol{k}) \times (\boldsymbol{j} -2y\:\boldsymbol{k})$$

$$= \left\vert\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \b... ...nd{array}\right\vert = 2x\:\boldsymbol{i} + 2y\:\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}$$

これより

$$\vert\boldsymbol{r}_{x} \times \boldsymbol{r}_{y}\vert = \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 1}$$

ここで， $${\Omega : 4 - (x^2 + y^2) \geq 0}$$ より極座標変換を行なうと

$$\iint_{S}f(x,y,z)dS = \iint_{\Omega}\frac{2y^2 + z}{(4x^2 + 4y^2 + 1)^{1/2}}\vert\boldsymbol{r}_{x} \times \boldsymbol{r}_{y}\vert dx dy$$

$$= \iint_{\Omega}(2y^2 + z)dx dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(4 - r^2 + 2r^2 \sin^{2}{\theta}) r dr d\theta$$

$$= \int_{0}^{2 \pi}\left[2r^2 - \frac{r^2}{4} + \frac{r^4}{2}\sin^{2}\theta \right ]_{0}^{2 \pi} d\theta$$

$$= \int_{0}^{2\pi}(4 + 8\sin^{2}\theta)d\theta = 8 \pi + 8\pi = 16\pi$$

問 3..2   $${\iint_{S}x y^2 dS}$$, ただし， $S : x+y+z = 1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$を求めよ．

問 3..3   平面 $2x + 2y + z = 2$と$x$軸，$y$軸, $z$軸の交点をそれぞれA,B,Cとする．$\triangle$ABCを曲面$S$とするとき， $\int_{S}fdS,\ f= x^2 + 2y + z - 1$を求めよ．

ベクトル場の面積分

線積分と同様に曲面 $S$ 上で定義されたベクトル場 $\boldsymbol{F} = F_{1}\:\boldsymbol{i} + F_{2}\:\boldsymbol{j} + F_{3}\:\boldsymbol{k}$ の面積分を曲面 $S$ の法線ベクトル $\boldsymbol{n}$または，面積ベクトル $\textbf{S}$を用いて定義し，次のように表わします．

$$\iint_{S} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} dS = \iint_{S}\boldsymbol{F} \cdot d\textbf{S}$$

なお $\boldsymbol{n}$ の方向と $\boldsymbol{r}_{u} \times \boldsymbol{r}_{v}$ の方向は等しいので

$$\boldsymbol{n} = \frac{\boldsymbol{r}_{u} \times \boldsymbol{r}_{v}}{\vert\boldsymbol{r}_{u} \times \boldsymbol{r}_{v}\vert}$$

と表せます．よって曲面 $S$ 上のベクトル場 $\boldsymbol{F}$ の面積分は次のように2重積分で表されます．

$$\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n}dS = \iint_{\Omega}\boldsymbol{F} \cdot \frac{\boldsymbol{r}_{u} \time... ...\Omega}\boldsymbol{F}\cdot (\boldsymbol{r}_{u} \times \boldsymbol{r}_{v}) du dv$$

$$= \iint_{\Omega}\left\vert\begin{array}{ccc} F_{1} & F_{2} & F_{3}\... ...ial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \end{array}\right\vert du dv$$

また， 方向余弦を用いて $\boldsymbol{n} = \cos{\alpha}\:\boldsymbol{i} + \cos{\beta}\:\boldsymbol{j} + \cos{\gamma}\:\boldsymbol{k}$ とすると，次のようにも書けます．

$$\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n}dS = \iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot (\cos{\alpha}\:\boldsymbol{i} + \cos{\beta}\:\boldsymbol{j} + \cos{\gamma}\:\boldsymbol{k})dS$$

$$= \iint_{S}(F_{1}\cos{\alpha} + F_{2}\cos{\beta} + F_{3}\cos{\gamma})dS$$

$$= \iint_{S}(F_{1}dydz + F_{2}dzdx + F_{3}dxdy)$$

問 3..4   方程式 $F(x,y,z) = 0$で表される曲面を$S$とする．曲面$S$の法線単位ベクトル $\boldsymbol{n}$は次の式で与えられることを証明せよ．ここで， $\nabla F \neq \textbf{0}$とする．

$$\boldsymbol{n} = \frac{F_{x}\boldsymbol{i} + F_{y}\boldsymbol{j} + F_{z}\boldsymbol{k}}{\sqrt{F_{x}^2 + F_{y}^2 + F_{z}^2}}$$

流束

図: 流束

ここで，ベクトル場 $\boldsymbol{F}$を，流体が流管中を定常的にながれるときの，ある点での速度場とするとき， $\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n}dS$ を $\boldsymbol{F}$ の ${\boldsymbol{n}}$ に向かう束(flux) といいます．よって速度場 $\boldsymbol{F}$ の束が流速(流量)$dQ$ となり，その面積分 $\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n}dS$ を 束積分(flux integral) といい，全流束(全流量)を表わします．

例題 3..12   ベクトル場 $\boldsymbol{F} = y\:\boldsymbol{j} + z\:\boldsymbol{k}$，曲面 $${S : x^2 + y^2 = 4 - z , \ z \geq 0}$$とする．このとき面積分 $${\iint_{S} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} dS }$$ を求めてみましょう．

解 位置ベクトルは $\boldsymbol{r} = x\:\boldsymbol{i} + y\:\boldsymbol{j} + z\:\boldsymbol{k} = x\:\boldsymbol{i} + y\:\boldsymbol{j} + (4-x^2 - y^2)\:\boldsymbol{k}$ より

$$\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n}dS = \iint_{\Omega}\le... ... 1 & -2y \end{array} \right\vert dx dy = \iint_{\Omega}(4 - x^ 2 + y^2) dx dy$$

ここで $\Omega : x^2 + y^2 \leq 4$ より極座標変換を行うと $x = r\cos{\theta}, \ y = r\sin{\theta}$ より

$$\iint_{\Omega}(4 - x^ 2 + y^2) dx dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2}(4 - r^2 + 2r^2 \sin^{2}{\theta})r dr d\theta$$

$$= \int_{0}^{2 \pi} \left[2r^2 - \frac{r^2}{4} + \frac{r^4}{2}\sin^{2}\theta \right ]_{0}^{2} d\theta$$

$$= \int_{0}^{2\pi}(4 + 8\sin^{2}\theta)d\theta = 8 \pi + 8\pi = 16\pi$$

問 3..5   ベクトル場 $\boldsymbol{F} = x\:\boldsymbol{i} + y\:\boldsymbol{j} - 2z\:\boldsymbol{k}$ ，曲面 $${S : x^2 + y^2 = a^2 , \ 0 \leq z \leq 1}$$とする．このとき面積分 $${\iint_{S} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} dS }$$ を求めよ

問 3..6   原点Ｏを中心とする半径$a$の球面を$S$とする．任意の点Pの位置ベクトルを $\boldsymbol{r} = \overrightarrow{\rm OP}$とする．球面$S$の単位法ベクトル $\boldsymbol{n}$を$S$の外側に向けてとれば，次の式が成り立つことを証明せよ．

$$\int_{S} \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\cdot \boldsymbol{n}\;dS = 4\pi,\ \ r = \vert\boldsymbol{r}\vert$$

解 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$より，$z \geq 0$では，位置ベクトルは $\boldsymbol{r} = x\:\boldsymbol{i} + y\:\boldsymbol{j} + z\:\boldsymbol{k} = x\:\boldsymbol{i} + y\:\boldsymbol{j} + \sqrt{a^2-x^2 - y^2}\:\boldsymbol{k}$. よって，

$$\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n}dS = \iint_{\Omega}\le... ...\frac{z}{r^3} \\ 1 & 0 & -2x \\ 0 & 1 & -2y \end{array} \right\vert dx dy$$

例題 3..13   $\boldsymbol{F} = (2x-z)\boldsymbol{i} + x^2 y\boldsymbol{j} -x^2 z\boldsymbol{k}$，曲面$S$は面 $x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1$で囲まれている部分とする．このとき，面積分 $\iint_{S}\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n}dS$を求めよ．

解

面DEFG: $x = 1$より位置ベクトル $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k} = \boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$. ここで，正の方向は面DEFGの裏から表へ向かう方向である．したがって，法線単位ベクトルは

$$\boldsymbol{n} = \frac{\boldsymbol{r}_{y} \times \boldsymbol{r}_{... ...boldsymbol{k}\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right\vert = \boldsymbol{i}$$

また，$yz$平面への正射影は $\Omega_{yz} = \{(y,z) : 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1\}$より，

$$\iint_{DEFG}\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n}dS = \int_{0}^{1}\i... ...;dz = \int_{0}^{1}(2-z)dx = \left[2z - \frac{z^2}{2}\right]_{0}^1 = \frac{3}{2}$$

面ABCO: $x = 0$より位置ベクトル $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k} = y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$. ここで，正の方向は面ABCOの裏から表へ向かう方向である．したがって，法線単位ベクトルは

$$\boldsymbol{n} = \frac{\boldsymbol{r}_{z} \times \boldsymbol{r}_{... ...oldsymbol{k}\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right\vert = -\boldsymbol{i}$$

また，$yz$平面への正射影は $\Omega_{yz} = \{(y,z) : 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1\}$より，

$$\iint_{ABCO}\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n}dS = \int_{0}^{1}\i... ...y=0}^{1}\;dz = \int_{0}^{1}zdx = \left[\frac{z^2}{2}\right]_{0}^1 = \frac{1}{2}$$

面ABEF: $y = 1$より位置ベクトル $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k} = x\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$. ここで，正の方向は面ABEFの裏から表へ向かう方向である．したがって，法線単位ベクトルは

$$\boldsymbol{n} = \frac{\boldsymbol{r}_{z} \times \boldsymbol{r}_{... ...boldsymbol{k}\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right\vert = \boldsymbol{j}$$

また，$xz$平面への正射影は $\Omega_{xz} = \{(x,z) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq z \leq 1\}$より，

$$\iint_{ABEF}\boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n}dS = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x^2dxdz = \frac{1}{3}$$

同様にして，残りの面での面積分を行うと，

$$\int \boldsymbol{F}\cdot \boldsymbol{n}dS = \frac{11}{6}$$

演習問題3.4

1.

平面 $2x + 2y + z = 2$と$x$軸，$y$軸, $z$軸の交点をそれぞれA,B,Cとする．$\triangle$ABCを曲面$S$とする．次の面積分を求めよ．

(1) $\int_{S}fdS,\ f= x^2 + 2y + z - 1$

(2) $\int_{S}\textbf{A}\cdot \boldsymbol{n}dS, \ \textbf{A} = x^2 \boldsymbol{i} + z \boldsymbol{k}$

2.

$xy$平面上の領域 $x \geq 0, y \geq 0, x^2 + y^2 \leq a^2$を曲面$S$とする．次の面積分を求めよ．

$$\int_{S}\textbf{A} \times \boldsymbol{n}dS, \ \textbf{A} = x\boldsymbol{i} + (x-y)\boldsymbol{j} + (\log{xy})\boldsymbol{k}$$