発散

空間のある領域で定義されたベクトル場 $\boldsymbol{F}$ を考えます． $\boldsymbol{F}$ の成分表示を

$$\boldsymbol{F} = F_{1}\:\boldsymbol{i} + F_{2}\:\boldsymbol{j} + F_{3}\:\boldsymbol{k}$$

とします．このときベクトル場の 発散(divergence) とよばれるスカラー場 div $\boldsymbol{F}$ を次のように定義します．

定義 3..2  

$${\rm div} \boldsymbol{F} = \frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} + \frac{\partial F_{3}}{\partial z}$$

ここで演算子 $\nabla$ を用いると，div $F=\nabla\cdot\boldsymbol{F}$ と表わすことができます．

例題 3..14   $${\boldsymbol{F} = 3xy\:\boldsymbol{i} + x^{2}y\:\boldsymbol{j} + y^{2}z\:\boldsymbol{k}}$$ の発散を求めてみましょう．

解

$${\rm div} \boldsymbol{F} = \frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} + \frac{\partial F_{3}}{\partial z}$$

$$= 3y + x^{2} + y^{2}$$

となります．

次に，ベクトル場の発散とは何なのかを，実際の物理現象を使いながら考えてみましょう．ここでは液体，ガスなどが空間に広がっていく動きを考えます．このときその空間での粒子の速度はベクトル場 $\textbf{v}(x,y,z) = v_{1}\:\boldsymbol{i} + v_{2}\:\boldsymbol{j} + v_{3}\:\boldsymbol{k}$ を形成します．ここで空間の点Pを原点とする直交座標系を考え，図3.6のような 小さな直方体 $\Delta x \Delta y \Delta z$ が液体の中にあると想像します． $\Delta y \Delta z$で作られる面積を $\Delta S_{yz}$と表すことにします．

図: 発散

まず，直方体の表面から出て行く単位時間内での流量変化を計算してみます．点 $(0,y,z)$ で直方体に入っていく流体の，直方体の面に垂直なベクトルの $x$ 成分は $\rho v_{1}$，ただし $\rho$ は液体の密度とします．よって，単位時間 $\Delta t$ 内に後ろの面から流入する流体の流量は

$$\rho v_{1}(0,y,z)\Delta S_{yz} \Delta t$$

次に直方体から出てくる流体の，直方体の面に垂直なベクトルの $x$ 成分は

$$\rho v_{1}(\Delta x,y,z) = \rho v_{1}(\Delta x, y, z) - \rho v_{1} (0,y,z) + \rho v_{1}(0,y,z)$$

$$= \frac{\rho v_{1}(\Delta x, y ,z) - \rho v_{1}(0,y,z)}{\Delta x} \Delta x + \rho v_{1}(0,y,z)$$

$$\approx \frac{\partial \rho v_{1}}{\partial x} \Delta x + \rho v_{1}(0,y,x)$$

で表わせます． よって，前の面から流出する流体の流量は

$$\rho v_{1}(0,y,z)\Delta S_{yz} \Delta t + \left (\frac{\partial \rho v_{1}}{\partial x} \Delta x \right ) \Delta S_{yz} \Delta t$$

同様のことが残りの4つの面でも起こります．ここで，ベクトル場 $\rho\textbf{v}$の微小な6個の閉曲面上での面積分 $\iint_{S}\rho\textbf{v}\cdot \boldsymbol{n}dS$は，前章で学んだように，全流速(全流量)をあらわすので，これらを全て加えたもので近似できます．

$$\iint_{S}\rho\textbf{v}\cdot \boldsymbol{n}dS \approx \left (\fra... ...} \right ) \Delta x \Delta y \Delta z = \nabla \cdot (\rho \textbf{v})\Delta V$$

ここで，左辺は微小な直方体の表面$S$から外部へ，1秒間に流出する流体の流量です．つまり，1秒間に湧き出す流体の流量と考えられます．したがって，

$\nabla \cdot \rho\textbf{v}$の点Pにおける値は，1秒間に湧き出す流体の体積の点Pにおける体積密度である．

これは点Pにおける $\rho\textbf{v}$ の発散です．これより点Pにおいて

$\nabla \cdot \rho \textbf{v} > 0$ のとき涌き出し

$\nabla \cdot \rho \textbf{v} < 0$ のとき飲み込み

$\nabla \cdot \rho \textbf{v} = 0$ のとき平衡

とよびます．

基本公式

任意のベクトル場 $\boldsymbol{F}$, $G$とスカラー場$\phi$において，次の公式が成り立ちます．

$$\nabla \cdot (\boldsymbol{F} +$$   $$\mbox{\boldmath$G$}$$$$) = \nabla \cdot \boldsymbol{F} + \nabla$$   $$\mbox{\boldmath$G$}$$

$$\nabla \cdot (\phi \boldsymbol{F}) = (\nabla \phi)\cdot \boldsymbol{F} + \phi \nabla \cdot \boldsymbol{F}$$

証明

$$\nabla \cdot (\boldsymbol{F} + \mbox{\boldmath$G$} ) = (\boldsymbol{i} \frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j} \fra... ...partial y} + \boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z}) \cdot (\boldsymbol{F} + \mbox{\boldmath$G$} )$$

$$= (\boldsymbol{i} \frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j} \fra... ... \frac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z}) \cdot \mbox{\boldmath$G$}$$

$$= \nabla \cdot \boldsymbol{F} + \nabla \mbox{\boldmath$G$}$$

$$\nabla \cdot (\phi \boldsymbol{F}) = (\boldsymbol{i} \frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j} \fra... ...tial y} + \boldsymbol{k}\cdot \frac{\partial (\phi \boldsymbol{F})}{\partial z}$$

$$= \boldsymbol{i}\cdot (\frac{\partial \phi}{\partial x} \boldsymbol... ...i}{\partial z} \boldsymbol{F} + \phi \frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial z})$$

$$= (\nabla \phi)\cdot \boldsymbol{F} + \phi \nabla \cdot \boldsymbol{F}$$

例題 3..15   $\phi = 3x^2 - yz$, $\boldsymbol{F} = 3xyz^2\:\boldsymbol{i} + 2xy^3\:\boldsymbol{j} -x^2yz\:\boldsymbol{k}$のとき，次のスカラーを求めよう．
(1) $\nabla \cdot \boldsymbol{F}$(2) $\boldsymbol{F} \cdot \nabla \phi$(3) $\nabla \cdot (\phi \boldsymbol{F})$

解 (1)

$$\nabla \cdot \boldsymbol{F} = \frac{\partial}{\partial x}(3xyz^2)... ...\partial y}(2xy^3) + \frac{\partial}{\partial z}(-x^2yz) = 3yz^2 + 6xy^2 - x^2y$$

(2) $\nabla \phi = 6x\:\boldsymbol{i} - z\:\boldsymbol{j} - y\:\boldsymbol{k}$より，

$$\boldsymbol{F} \cdot \nabla \phi = (3xyz^2)(6x) + (2xy^3)(-z) + (-x^2yz)(-y) = 18x^2yz^2 - 2xy^3z + x^2y^2z$$

問 3..7   (3)を求めよ．

例題 3..16   $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k},\ r = \vert\boldsymbol{r}\vert$とする．次の式を証明せよ．

$$(1)\ \nabla \cdot \boldsymbol{r} = 3,\hskip 1cm (2)\ \nabla \cdot... ...l{r}) = (n+3)r^{n}\hskip 1cm (3)\ \nabla \cdot (\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}) = 0$$

解 (1)

$$\nabla \cdot \boldsymbol{r} = (\frac{\partial}{\partial x}\boldsy... ...k})\cdot (x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}) = 1 + 1 + 1 = 3.$$

(2) 合成関数の微分法より，

$$\nabla \cdot (r^{n}\boldsymbol{r}) = (\nabla r^{n}) \cdot \boldsy... ...oldsymbol{r}}{r} \cdot \boldsymbol{r} + r^{n}(3) = nr^{n} + 3r^{n} = (n+3)r^{n}$$

(3)

$$\nabla \cdot (\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}) = \nabla \cdot r^{-3}\b... ...bol{r} = -3r^{-4}\frac{\boldsymbol{r}}{r} \cdot \boldsymbol{r} + r^{-3}(3) = 0.$$

ラプラシアン

$\boldsymbol{F}$ が保存場のとき $\rm {div}\boldsymbol{F}$ は

$$\rm {div}\boldsymbol{F} = \nabla \cdot \boldsymbol{F} = \nabla \cdot \nabla \phi$$

$$= \left(\frac{\partial}{\partial x}\:\boldsymbol{i} + \frac{\partia... ...l y}\:\boldsymbol{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\:\boldsymbol{k} \right)$$

$$= \frac{\partial^2 \phi }{\partial x^2 }\:\boldsymbol{i} + \frac{\p... ...ial y^2}\:\boldsymbol{j} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\:\boldsymbol{k}$$

と表わせます．これをスカラー場 $f$ の ラプラシアン(Laplacian) といい， $\nabla^2 \phi$ または $\Delta \phi$ で表わします．ここで，演算子の内積 $\nabla \cdot \nabla$を記号$\nabla^2$で表せば

$$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

また，偏微分方程式

$$\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi }{\partial x^2 } + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 0$$

を ラプラスの方程式(Laplace equation) といい，その解$\phi$を調和関数といいます．

例題 3..17   $\phi = 3x^2 y - y^3z^2$のとき， $\nabla^2 \phi$を求めよう．

解

$$\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2}{\partial x^2}(3x^2 y - y^3z^2) ... ...y^3z^2) + \frac{\partial^2}{\partial z^2}(3x^2 y - y^3z^2) = 6y - 6yz^2 - 2y^3.$$

問 3..8   $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k}$, $r= \vert\boldsymbol{r}\vert$とする．

(1) $\nabla^2 r^{n} = n(n+1)r^{n-2}$ $(2)\ \nabla^2 (\frac{1}{r}) = 0$

例題 3..18   $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k}$, $r= \vert\boldsymbol{r}\vert$とする．

(1) $${\nabla^2 f(r) = \frac{d^{2}f}{dr^2} + \frac{2}{r}\frac{df}{dr}}$$を証明せよ．

(2) $${\nabla^2 f(r) = 0}$$となる$f(r)$を求めよ．

解 (1) $w = f(r), r = r(x,y,z)$より，

$$\nabla f(r) = \frac{d f}{dr}(\frac{\partial r}{\partial x}\boldsy... ...ol{j} + \frac{\partial r}{\partial z}\boldsymbol{k}) = \frac{d f}{dr} \nabla r.$$

これより，

$$\nabla^2 f(r) = \nabla \cdot (\frac{d f}{dr} \nabla r) = \nabla (\frac{d f}{dr}) \cdot \nabla r + \frac{d f}{dr} \nabla \cdot \nabla r.$$

ここで， $\nabla r \cdot \nabla r = \frac{\boldsymbol{r}}{r} \cdot \frac{\boldsymbol{r}}{r} = 1$. また， $\nabla \cdot \nabla r = \nabla \cdot \frac{\boldsymbol{r}}{r} = \nabla \cdot (r... ...ymbol{r} = -r^{-2}\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{r} + r^{-1}(3) = \frac{2}{r}$. したがって，

$$\nabla^2 f(r) = \frac{d^{2}f}{dr^2} + \frac{2}{r}\frac{df}{dr}.$$

(2) $\nabla^2 f(r) = 0$より，

$$\frac{d^{2}f}{dr^2} + \frac{2}{r}\frac{df}{dr} = 0.$$

ここで， $w = \frac{d f}{dr}$とすると， $\frac{d w}{dr} = - \frac{2}{r}w$の変数分離形．これより， $\frac{d w}{w} = -\frac{2}{r}dr$となり，両辺を積分すると，

$\log\vert w\vert = -2\log\vert r\vert + c$. よって， $w = cr^{-2}$. $w = \frac{d f}{dr}$より， $\frac{d f}{dr } = cr^{-2}$．したがって， $f = c_{0}r^{-1} + c_{1}$.

演習問題3.5

基本公式 $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k},\ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$とすると，
(1) $\nabla r = \frac{\boldsymbol{r}}{r}\ \\ (2)\ \nabla r^{n} = nr^{n-1}\nabla r =... ...mbol{A})= (\nabla \phi) \cdot \boldsymbol{A} + \phi \nabla \cdot \boldsymbol{A}$

1.

次のものを求めよ．

(1) $\nabla \cdot (2x^2 z\boldsymbol{i} - xy^2 z \boldsymbol{j} + 3yz^2 \boldsymbol{k})$ (2) $\nabla^2(3x^2 z - y^2 z^3 + 4x^2 y)$

(3) $\nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{F}), \ \boldsymbol{F} = (3x^2 y - z)\boldsymbol{i} + (xz^{3} + y^{4})\boldsymbol{j} - 2x^2 z^2 \boldsymbol{k}$

2.

$\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k},\ r = \vert\boldsymbol{r}\vert$とする．次のスカラーを求めよ．

(1) $\nabla \cdot (r\nabla r^{-3})$ (2) $\nabla^{2}\left\{\nabla\cdot \left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^2}\right)\right\}$

3.

$\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k},\textbf{w}$を定ベクトルとする．

$$\nabla \cdot (\textbf{w} \times \boldsymbol{r}) = 0$$

を証明せよ．

4.

スカラー場 $\phi, \psi$について次の式を証明せよ．

(1) $\nabla^2(\phi \psi) = \phi \nabla^2 \psi + 2(\nabla \phi)\cdot (\nabla \psi) + \psi \nabla^2 \phi$

(2) $\nabla \cdot (\phi \nabla \psi) = (\nabla \phi) \cdot (\nabla \psi) + \phi \nabla^2 \psi$

(3) $\nabla \cdot (\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi) = \phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi$

5.

$\nabla \phi = 2xyz^3 \boldsymbol{i} + x^2 z^3 \boldsymbol{j} + 3x^2 y z^2 \boldsymbol{k}$を満足する $\phi = \phi(x,y,z)$を求めよ．ただし， $\phi(1,-2,2) =4$とする．

6.

スカラー場$U,V$について次の式を証明せよ．

$$\nabla \cdot \{(\nabla U) \times (\nabla V)\} = 0$$

7.

曲線 $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t) = x(t)\boldsymbol{i} + y(t)\boldsymbol{j} + z(t)\boldsymbol{k}$とスカラー場 $\phi = \phi(x,y,z)$について，この曲線に沿っての$\phi$の微分係数 $\frac{d\phi(x(t),y(t),z(t))}{dt}$は $\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\cdot \nabla \phi$に等しい．このことを証明せよ．

8.

関数 $\phi(x,y,z,t)$に $x = x(t), y = y(t), z = z(t)$を代入して得られる$t$の関数$\phi(t)$の導関数は $\frac{d\phi}{dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \cdot \nabla \phi$であることを証明せよ．ただし， $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k}$.