線積分

2点 R，Q を結ぶ曲線 $C$ が与えられているとします． ただし，この曲線は滑らかな曲線とします．$C$ に沿って測った弧長を $s$ とします．すると2章で学んだように曲線上の点 $(x,y,z)$ は弧長 $s$ をパラメターとして表わすことができます．よって曲線 $C$ の方程式は

$$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s) = x(s)\:\boldsymbol{i} + y(s)\:\boldsymbol{j} + z(s)\:\boldsymbol{k}$$

で表わせます．ただし $s = a,b \ (a < b)$ にはそれぞれ点 R，Q が対応しているとします．このとき曲線 $C: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s)$ 上の任意の点P $(x,y,z)$ に対して定義されたスカラー場を $f({\rm P}) = f(x,y,z)$ とします．

曲線 $C$ を $n$ 個の弧 $s_{1},s_{2},\ldots,s_{n}$ に分割し，この分割を $\Delta$ で表します．各曲線 $s_{i}$ の弧長を $\Delta s_{i}$ とし， $s_{i}$ の中に任意の点 ${\rm P}_{i}$ をとり次の和を考えます．

$$J(\Delta) = \sum_{i=1}^{n} f({\rm P}_{i})\Delta s_{i}$$

ここで，この分割を細かくし $\Delta$ を限りなく小さくしたとき $J(\Delta)$ が極限値 $J$ に近づくならば，この極限値 $J$ をスカラー場 $f$ の $C$ に沿っての 線積分(line integral) といい，

$$\int_{C}f({\rm P}) ds$$

で表わします．曲線 $C$ が閉じているときは

$$\oint_{C} f({\rm P}) ds$$

と表わします．

線積分の定義は，今までの積分と同じRiemann和によるものなので，線積分においても次の公式が成り立つのは明らかです．

$$\begin{array}{l} 1. \ \int_{C} k f({\rm P}) ds = k \int_{C}f(... ... = \int_{C} f({\rm P})ds + \int_{C}g({\rm P})ds \\ \end{array}$$

また，曲線 $C$ が滑らかではないが有限個の滑らかな曲線 $C_{1},C_{2},\ldots,C_{n}$ をつなげてできているとき，この曲線を 区分的に滑らかな曲線(piecewise smooth curve) といい，このような曲線に沿っての線積分は

$$\int_{C} = \int_{C_{1}} + \int_{C_{2}} + \cdots + \int_{C_{n}}$$

で表わせます．

例題 3..7   $${\int_{C}(x^3 + y^4)ds}$$ を線積分してみましょう．ただし， $C$ は点 $(0,0,0)$ と $(1,1,1)$ を結ぶ直線とします．

解 点 $(0,0,0)$ と点 $(1,1,1)$ を結ぶ直線をパラメター表示すると

$$\left\{\begin{array}{l} x = t\\ y = t\\ z = t \end{array}\right. \ \ 0 \leq t \leq 1$$

となります．よって曲線 $C$ は $\boldsymbol{r}(t) = t\:\boldsymbol{i} + t\:\boldsymbol{j} + t\:\boldsymbol{k}$ で表され，曲線 $C$ の弧長 $s$ は

$$s(t) = \int_{0}^{t}\vert\frac{d \boldsymbol{r}}{dt}\vert dt = \in... ...}^{t} \vert\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}\vert dt = \sqrt{3}t$$

となります．これより $ds = \sqrt{3}dt$ となり，求める線積分は

$$\int_{C}(x^3 + y^4)ds = \int_{0}^{1} (t^3 + t^4) \sqrt{3}dt = \sqrt{3}(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = \frac{9\sqrt{3}}{20}$$