次元公式

線形写像の行列表現を用いて, もう一度線形写像の核と像について調べてみましょう．線形写像$T$ を $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$ とします．このとき$\ker(T)$ は $T$ の像が $\textbf{ 0}$ になる ${\mathcal R}^{n}$ の要素の集まりでした．つまり連立1次方程式

$$\left \{ \begin{array}{rrr} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + ... ...\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n}& = & 0 \end{array}\right .$$

の解からつくられる解空間と同じになります．また定理2.9より, 解空間の次元は

$$\dim \ker(T) = n - {\rm rank}(A)$$

となります．では $Im(T)$ はどうでしょうか．$Im(T)$ は ${\mathcal R}^{n}$ のすべての元の像の集まりなので $\dim Im(T) = {\rm rank}(A)$ となります．これから 次元公式とよばれる次の定理を得ます．

定理 3..2  

$T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$ を線形写像とするとき,

$$\dim {\mathcal R}^{n} = \dim \ker(T) + \dim Im(T)$$

が成り立つ．

例題 3..4  

$T : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{3}$ の行列表現を $A = \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 2&2&2\\ 3&3&3 \end{array}\right )$ とするとき, $\dim \ker(T)$ を求めよう．

解 $\dim \ker(T)$ は $\dim {\mathcal R}^{3} - \dim Im(T)$ と等しく, $\dim Im(T) = {\rm rank}(A)$より ${\rm rank}(A)$ を求めれば $\dim \ker(T)$ が求まる．

$$A = \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 2&2&2\\ 3&3&3 \end{array}\... ...ightarrow \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}\right )$$

より ${\rm rank}(A) = 1$. したがって $\dim \ker(T) = 3 - 1 = 2$. $\ \blacksquare$

ベクトル空間 $,{\mathcal R}^{l},{\mathcal R}^{n},{\mathcal R}^{m}$ の間に線形写像

$$S : { R}^{l} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}, T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$$

が与えられたとき, その合成写像 $T \circ S : { R}^{l} \longrightarrow { R}^{m}$も線形写像となりました(例題3.2)．そこで各空間に基底をとり, それらに関する $S,T$ の行列を $A,B$ とすると ${\mathbf x} = (x_{i}), {\mathbf y} = (y_{j}), {\mathbf z} = (z_{k})$ に対して

$$(y_{i}) = A(x_{j}), (z_{k}) = B(y_{i}) = BA(x_{j})$$

となるので $T \circ S$ の行列表現は $BA$ となります．

定理 3..3  

線形変換 $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ の基底 $\{\textbf{ v}_{i}\}$ に関する行列表現を $A$ とするとき, 次の条件は同値である．
$(1)$ $T$ は同型写像である．
$(2)$ 行列 $A$ は正則行列である．

証明 $(1) \Rightarrow (2)$
$T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ の行列表現を $A$ とする．$T$ は同型写像より $T^{-1}$ が存在する．$T^{-1}$ の行列表現を $B$ とすると, $BA = I$ が成り立つから, $A$ は正則行列である．
$(2) \Rightarrow (1)$
$A$ が正則行列ならば$BA = I$ となる行列が存在し, この $B$ に対する写像を $S$すると $T \circ S = 1$．よって, 演習問題3.3より $T$ は同型写像． $\ \blacksquare$

演習問題3-2

1. 次の写像のうち線形写像はどちらか．

$$T_{1} : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{2}, T_{1}... ...y}\right) = \left(\begin{array}{c} x_{3}\\ x_{1} + x_{2} \end{array}\right) .$$

$$T_{2} : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{2}, T_{2}... ...ight) = \left(\begin{array}{c} x_{1} + 1\\ x_{2} + x_{3} \end{array}\right) .$$

2. $V$ は $n$ 次元ベクトル空間, $\{\textbf{ v}_{1},\ldots,\textbf{ v}_{n}\}$ を $V$ の基底とする． $T : V \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ を $T(\alpha_{1}\textbf{ v}_{1} + \alpha_{2}\textbf{ v}_{2} + \cdots + \alpha_{n}\t... ...textbf{ e}_{1} + \alpha_{2}\textbf{ e}_{2} + \cdots + \alpha_{n}\textbf{ e}_{n}$ と定義すると, $T$ は線形写像になることを示せ．

3. 線形写像 $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ について, 次の条件は同値であることを証明せよ．

(a)

$T$ は同型写像である．

(b)

$T \circ S = 1$ を満たす線形写像 $S : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ が存在する．

4. $T : V \longrightarrow W$ が線形写像のとき, $\ker(T),Im(T)$ は $V,W$ の部分空間であることを示せ．

5. $T : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{3}$ が $T\left(\begin{array}{r} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right) = \left(\beg... ...x_{3}\\ 2x_{1} + x_{2} + 3x_{3}\\ 2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} \end{array}\right)$ のとき, 標準基底 $\{\textbf{ e}_{1},\textbf{ e}_{2},\textbf{ e}_{3}\}$ に関する $T$ の行列表現$[T]$ と基底 $\{\textbf{ w}_{1} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\right), \tex... ...ht), \textbf{ w}_{3} = \left(\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right)\}$ に関する行列表現 $[T]_\textbf{ w}$ を求めよ．
また $\dim \ker(T)$ を求めよ．

6. $T : {\mathcal R}^{2} \longrightarrow {\mathcal R}^3$が， $T(\begin{pmatrix}2\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\ 1\ 0\end{pmatrix}$, $T(\begin{pmatrix}3\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\ 1\ 2\end{pmatrix}$をみたすとき，$T$の行列表現を求めよ．