線形写像

写像

第1章, 第2章でベクトル空間について学んできました．この章では写像を用いてふたつのベクトル空間の関係を調べます．そこで写像について簡単に復習をしておきます．

ふたつの集合VとWを考えます．Vの任意の要素$v$ に対してWのただひとつの要素$w$ を対応させるような規則$T$ があるとき, この対応関係$T$ をVからWへの 写像(mapping) といい記号 $T : V \longrightarrow W$ で表します．この考え方を用いると $m \times n$型の行列は $n$項列ベクトルを $m$項列ベクトルに移す写像, 言い換えると, ${\mathcal R}^{n}$ から ${\mathcal R}^{m}$ への写像ということになります．

線形写像

ベクトル空間には和とスカラー倍が定義されていました．そこで, ふたつのベクトル空間の関係を調べるのに使う写像は, 和とスカラー倍を保つのが望ましいでしょう．そのような写像を線形写像といい次のように定義します．

定義 3..1   $V,W$ がベクトル空間のとき, 写像 $T : V \longrightarrow W$ で次の条件を満たすものを 線形写像(linear mapping) という．
$1. \ T(\emph{ v} + \emph{ w}) = T(\emph{ v}) + T(\emph{ w}) \ \ (\emph{ v},\emph{ w} \in V)$
$2. \ T(\alpha \emph{ v}) = \alpha T(\emph{ v}) \ \ (\emph{ v} \in V, \alpha \in R)$
とくに $V = W$ のとき, $T$ を $V$ の 線形変換(linear transformation) という．

線形写像は $V$ から $W$ への写像のうちベクトル空間の性質を保つ写像です．$T$ により $V$ の移る先全体を $T$ の 像(image) といい,

$$Im (T) = T(V) = \{\emph{ w} \in W : T(\emph{ v}) = \emph{ w}$$を満たす$$\emph{ v} \in V$$が存在する$$\}$$

で表します．また$T$ による像が $\emph{ 0}$ になるような$V$ の要素の集まりを $T$ の 核(kernal) といい,

$$\ker (T) = \{\emph{ v} \in V : T(\emph{ v}) = 0 \}$$

で表します．これらは線形写像の性質より, それぞれ$W,V$ の部分空間になることがわかります(演習問題3.1参照)．

例題 3..1   $A$ を $m \times n$型の行列とする．

$$T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$$

を $T({\mathbf x}) = A{\mathbf x}$ で定義すると $T$ は線形写像になることを示そう．

解 行列どうしの積および実数との積の性質から, ${\mathcal R}^{n}$ の任意のベクトル ${\mathbf x}_{1},{\mathbf x}_{2}$および任意の実数 $\alpha$ に対して,

$$T({\mathbf x}_{1} + {\mathbf x}_{2}) = A({\mathbf x}_{1} + {\math... ...mathbf x}_{1}) + A({\mathbf x}_{2}) = T({\mathbf x}_{1}) + T({\mathbf x}_{2}),$$

$$T(\alpha {\mathbf x}_{1}) = A(\alpha {\mathbf x}_{1}) = \alpha A({\mathbf x}_{1}) = \alpha T({\mathbf x}_{1})$$

が成り立つ．よって $T$ は線形写像である． $\blacksquare$

線形写像 $T : V \longrightarrow W$ が

$$\emph{ v}_{1} \neq \emph{ v}_{2} \$$   ならば$$\ T(\emph{ v}_{1}) \neq T(\emph{ v}_{2}) \ (\emph{ v}_{1},\emph{ v}_{2} \in V)$$

を満たすとき, $T$ は 1対1(one-to-one)であるといい, このような写像を 単射(injective) といいます．

線形写像 $T : V \longrightarrow W$ が $Im(T) = W$ を満たすとき, $T$ を $V$ から $W$ の 上への(onto)線形写像といい, このような写像を 全射(surjective) といいます．

例題 3..2   $S : U \longrightarrow V, T : V \longrightarrow W$ がともに線形写像であるとき, 合成写像 $T \circ S : U \longrightarrow W$も線形写像であることを示そう．

解

$$(T \circ S)(\alpha\emph{ u}_{1} + \beta\emph{ u}_{2}) = T(S(\alpha\emph{ u}_{1} + \beta\emph{ u}_{2}))$$

$$= T(\alpha S(\emph{ u}_{1}) + \beta S(\emph{ u}_{2}))$$

$$= \alpha (T \circ S)(\emph{ u}_{1}) + \beta (T \circ S)(\emph{ u}_{2})$$

より合成写像 $T \circ S : U \longrightarrow W$も線形写像． $\blacksquare$

同型写像

ベクトル空間からベクトル空間の上への1対1の線形写像をとくに 同型写像(isomorphism) といいます．また, $V$ から $W$ への同型写像が存在するとき, $V$ と $W$ は 同型(isomorphic)であるといい, $V \sim W$ と表します．また $T : V \longrightarrow W$ が同型写像で, $T(\emph{ v}) = \emph{ w}$ のとき, $S(\emph{ w}) = \emph{ v}$ と定めることにより, $W$ から $V$ への写像$S$ を得ます．このとき, $S$ を $T$ の 逆写像(inverse mapping) といい, $S = T^{-1}$ と表します．ここで同型写像について次のことが成り立ちます．

定理 3..1   線形写像 $T : V \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ について次の条件は同値である．
$(1)$ $\dim V = n$
$(2)$ $T$ は同型写像である．つまり $V \sim {\mathcal R}^{n}$
$(3)$ $\ker(T) = \{\emph{ 0}\}, \ Im(T) = {\mathcal R}^{n}$
$(4)$ 逆写像 $T^{-1} : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow V$ は同型写像である．
$(5)$ $\{\emph{ w}_{1},\emph{ w}_{2}, \ldots , \emph{ w}_{n}\}$ が ${\mathcal R}^{n}$ の基底ならば, 逆写像$T^{-1}$ による像の集合

$\{T^{-1}(\emph{ w}_{1}),T^{-1}(\emph{ w}_{2}), \ldots , T^{-1}(\emph{ w}_{n})\}$ は $V$ の基底となる．

証明 $(1) \Rightarrow (2)$
$V$ の1組の基底を $\{\emph{ v}_{1},\emph{ v}_{2}\ldots,\emph{ v}_{n}\}$ とし, $\{\emph{ w}_{1},\emph{ w}_{2}, \ldots , \emph{ w}_{n}\}$ を ${\mathcal R}^{n}$ の基底とする．ここで $T : V \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ を $T(\alpha_{1}\emph{ v}_{1} + \alpha_{2}\emph{ v}_{2} + \cdots + \alpha_{n}\emph{... ...a_{1}\emph{ w}_{1} + \alpha_{2}\emph{ w}_{2} + \cdots + \alpha_{n}\emph{ w}_{n}$ と定義すると, $T$ は線形写像となる(演習問題3.1)．また $\emph{ a},\emph{ b} \in V$ とすると, ある $c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}, \ d_{1},d_{2},\ldots,d_{n} \in R$ で

$$\emph{ a} = c_{1}\emph{ v}_{1} + \cdots + c_{n}\emph{ v}_{n},$$

$$\emph{ b} = d_{1}\emph{ v}_{1} + \cdots + d_{n}\emph{ v}_{n}．$$

よって

$$T(\emph{ a}) = T(\emph{ b}) \Longrightarrow T(c_{1}\emph{ v}_{1} + \cdots + c_{n}\emph{ v}_{n}) = T(d_{1}\emph{ v}_{1} + \cdots + d_{n}\emph{ v}_{n})$$

$$\Longrightarrow c_{1}T(\emph{ v}_{1}) + \cdots + c_{n}T(\emph{ v}_{n}) = d_{1}T(\emph{ v}_{1}) + \cdots + d_{n}T(\emph{ v}_{n})$$

$$\Longrightarrow c_{1}\emph{ w}_{1} + \cdots + c_{n}\emph{ w}_{n} = d_{1}\emph{ w}_{1} + \cdots + d_{n}\emph{ w}_{n}$$

$$\Longrightarrow c_{1} = d_{1}, \ldots , c_{n} = d_{n}$$

$$\Longrightarrow \emph{ a} = \emph{ b}$$

となり $T$ は単射．つぎに ${\mathbf y} \in {\mathcal R}^{n}$ とすると, ${\mathbf y} = c_{1}\emph{ w}_{1} + \cdots + c_{n}\emph{ w}_{n}$ と表され, これは $c_{1}\emph{ v}_{1} + \ldots + c_{n}\emph{ v}_{n}$ の $T$ による像である．よって $T$ は全射である．これより $T$ は全単射な線形写像となり $T$ は同型写像であることが示せた．
$(2) \Rightarrow (3)$
$T(\emph{ a}) = \emph{ 0}$ とすると $T(\emph{ 0}) = \emph{ 0} = T(\emph{ a})$ となるので, 仮定より $\emph{ a} = \emph{ 0}$．よって $\ker(T) = \{\emph{ 0}\}$. また$T$ は全射であるから $Im(T) = {\mathcal R}^{n}$ となる．
$(3) \Rightarrow (4)$
$T$ が同型写像なので $\emph{ w}_{i},\emph{ w}_{j} \in R^{n}$ に対して, $T(\emph{ v}_{i}) = \emph{ w}_{i}, T(\emph{ v}_{j}) = \emph{ w}_{j}$ となる $\emph{ v}_{i},\emph{ v}_{j} \in V$ が存在する．また$T$ の線形性により

$$T(\alpha\emph{ v}_{i} + \beta\emph{ v}_{j}) = \alpha T(\emph{ v}_{i}) + \beta T(\emph{ v}_{j}) = \alpha \emph{ w}_{i} + \beta \emph{ w}_{j}.$$

よって

$$T^{-1}(\alpha \emph{ w}_{i} + \beta \emph{ w}_{j}) = \alpha\emph{ v}_{i} + \beta\emph{ v}_{j}.$$

次に $T^{-1}$ が全単射であることを示す．まず $T^{-1}(\emph{ w}_{i}) = T^{-1}(\emph{ w}_{j})$より $\emph{ w}_{i} = \emph{ w}_{j}$ を示す．

$$\emph{ w}_{i} - \emph{ w}_{j} = T(\emph{ v}_{i}) - T(\emph{ v}_{j}) = T(\emph{ v}_{i} - \emph{ v}_{j}) = T(\emph{ 0}) = \emph{ 0} .$$

最後に $Im(T) = {\mathcal R}^{n}$より

$$\emph{ v}_{i} = T^{-1}(\emph{ w}_{i}) .$$

よって $T^{-1}$ は同型写像．
$(4) \Rightarrow (5)$
$\{T^{-1}(\emph{ w}_{1}),T^{-1}(\emph{ w}_{2}), \ldots , T^{-1}(\emph{ w}_{n})\}$ が $V$ の基底であることを示すには, この組が1次独立でかつこの組のベクトルで張られる空間が $V$ であることを示せばよい．

$$c_{1}T^{-1}(\emph{ w}_{1})+c_{2}T^{-1}(\emph{ w}_{2}) + \cdots + c_{n}T^{-1}(\emph{ w}_{n}) = \emph{ 0}$$

より

$$T^{-1}(c_{1}\emph{ w}_{1}+c_{2}\emph{ w}_{2} + \cdots + c_{n}\emph{ w}_{n}) = \emph{ 0}.$$

ここで $T^{-1}$ は同型写像なので

$$c_{1}\emph{ v}_{1} + c_{2}\emph{ v}_{2} + \cdots + c_{n}\emph{ v}_{n} = \emph{ 0}.$$

このとき, $\{\emph{ v}_{1},\ldots,\emph{ v}_{n}\}$ は1次独立であるから $c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{n} = 0$ を得る．よって

$$\{T^{-1}(\emph{ w}_{1}),T^{-1}(\emph{ w}_{2}), \ldots , T^{-1}(\emph{ w}_{n})\}$$

は1次独立である．つぎに $\emph{ v} \in V$ とすると,

$$\emph{ v} = c_{1}\emph{ v}_{1} + \cdots + c_{n}\emph{ v}_{n} = c_{1}T^{-1}(\emph{ w}_{1}) + \cdots + c_{n}T^{-1}(\emph{ w}_{n}) .$$

よって $\langle\emph{ w}_{1},\emph{ w}_{2},\ldots,\emph{ w}_{n}\rangle = V$.
$(5) \Rightarrow (1)$
$\{T^{-1}(\emph{ w}_{1}),T^{-1}(\emph{ w}_{2}), \ldots , T^{-1}(\emph{ w}_{n})\}$ は $V$ の基底より $\dim V = n$. $\blacksquare$

このように $n$ 次元のベクトル空間$V$ は ${\mathcal R}^{n}$ と同型となるので, $V$ のベクトル間の関係は同型写像によって ${\mathcal R}^{n}$ のベクトル間の関係として扱うことができます．

行列表現

有限次元のベクトル空間の線形写像を調べるために, 線形写像に行列を対応させることがあります．このとき, 線形写像の性質は行列の性質として, より具体的に表されます．たとえば, $xy$平面上の点 $(x,y)$ を $\theta$だけ回転して点 $(X,Y)$ に対応させる線形変換$T$ を考えてみましょう．まず, $R^2$ の1組の基底 $\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right), \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right) \}$ を考えます． これより

$${\mathbf x} = \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right... ... \end{array} \right) + y \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right),$$

$${\mathbf y} = \left(\begin{array}{c} X\\ Y \end{array}\right) = T({\mathbf x})... ...1\\ 0 \end{array}\right) + y \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right))$$

$$= xT(\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) ) + y T(\left... ...) + y \left(\begin{array}{c} -\sin{\theta}\\ \cos{\theta} \end{array}\right) .$$

よって

$$\left(\begin{array}{c} X\\ Y \end{array}\right) = \left(\begin{a... ...os{\theta} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)$$

と行列を用いて表せます．一般に, 線形写像 $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$ を考え,

$$\{\emph{ v}_{1},\ldots,\emph{ v}_{n}\}, \{\emph{ w}_{1},\ldots,\emph{ w}_{m}\}$$

をそれぞれ ${\mathcal R}^{n},{\mathcal R}^{m}$ の1組の基底とし, 任意の ${\mathbf x} \in {\mathcal R}^{n}$ とその像 ${\mathbf y} = T({\mathbf x}) \in {\mathcal R}^{m}$ を

$${\mathbf x} = \emph{ v}_{1}x_{1} + \emph{ v}_{2}x_{2} + \cdots + \emph{ v}_{n}x_{n},$$

$${\mathbf y} = \emph{ w}_{1}y_{1} + \emph{ w}_{2}y_{2} + \cdots + \emph{ w}_{m}y_{m}$$

と表すとき, 写像$T$ の線形性により

$${\mathbf y} = T({\mathbf x}) = T(\emph{ v}_{1}x_{1} + \emph{ v}_{2}x_{2} + \cdots + \emph{ v}_{n}x_{n})$$

$$= T(\emph{ v}_{1})x_{1} + T(\emph{ v}_{2})x_{2} + \cdots + T(\emph{ v}_{n})x_{n}$$

となります．ここで $\{T(\emph{ v}_{1}),\ldots,T(\emph{ v}_{n})\}$ は ${\mathcal R}^{m}$ に含まれるので,

$$T(\emph{ v}_{i}) = a_{1i}\emph{ w}_{1} + a_{2i}\emph{ w}_{2} + \cdots + a_{mi}\emph{ w}_{m} \ (i = 1,2,\ldots,n)$$

と表せます．これより

$${\mathbf y} = (a_{11}\emph{ w}_{1} + a_{21}\emph{ w}_{2} + \cdots + a_{m1}\emph{ w}_{m})x_{1}$$

$$+ (a_{12}\emph{ w}_{1} + a_{22}\emph{ w}_{2} + \cdots + a_{m2}\emph{ w}_{m})x_{2}$$

$$+ \vdots$$

$$+ (a_{1n}\emph{ w}_{1} + a_{2n}\emph{ w}_{2} + \cdots + a_{mn}\emph{ w}_{m})x_{n}$$

となります．ここで $\{\emph{ w}_{1},\emph{ w}_{2},\ldots,\emph{ w}_{m}\}$ は ${\mathcal R}^{m}$ の基底をなしているので, 対応する係数は等しいはずです．よって次のような関係式が得られます．

$$\left \{ \begin{array}{rrr} y_{1}& =& a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} +... ...{m}& =& a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} . \end{array}\right .$$

これより右辺の係数行列 $A = (a_{ij})$ が定まります．この行列 $A$ を基底

$$\{\emph{ v}_{1},\ldots,\emph{ v}_{n}\}, \{\emph{ w}_{1},\ldots,\emph{ w}_{m}\}$$

に関する $T$ の 行列表現(matrix representation) といい $[T]_\emph{ v}^\emph{ w}$ と表します．とくに $V = W$ の場合は, 通常 $\{\emph{ v}_{1},\ldots,\emph{ v}_{n}\}$ と $\{\emph{ w}_{1},\ldots,\emph{ w}_{n}\}$ とを同一にとり $T$ の行列表現を $[T]_\emph{ v}$ と表します．また $T: { R}^{n} \longrightarrow { R}^{n}$ のとき, 標準基底(usual basis)

$$\{\emph{ e}_{1} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \e... ...ph{ e}_{n} = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1 \end{array}\right)\}$$

を用いて $T$ の行列表現は $[T]_\emph{ e}$ または $[T]$ で表します．

ここまでをまとめると ${\mathcal R}^{n}$ から ${\mathcal R}^{m}$ への線形写像$T$ は, ${\mathcal R}^{n}$ の基底の像を ${\mathcal R}^{m}$ の基底で表したとき, $m \times n$型の行列 $A$ で表され,

$$[T({\mathbf x})]_\emph{ w} = [T]_\emph{ v}^\emph{ w}[{\mathbf x}]_\emph{ v}$$

を満たします．

例題 3..3   $T : {\mathcal R}^{2} \longrightarrow {\mathcal R}^{2}$ が $T\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3x - 4y\\ x + 5y \end{array}\right)$ で与えられているとき, 標準基底 $\{\emph{ e}_{1},\emph{ e}_{2}\}$ に関する $T$ の行列表現$[T]$ と基底 $\{\emph{ w}_{1} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 3 \end{array}\right), \emph{ w}_{2} = \left(\begin{array}{c} 2\\ 5 \end{array}\right)\}$ に関する $T$ の行列表現 $[T]_\emph{ w}$ を求めよ．また基底 $\{\emph{ e}_{1},\emph{ e}_{2}\}, \{\emph{ w}_{1},\emph{ w}_{2}\}$ に関する $T$ の行列表現 $[T]_\emph{ e}^\emph{ w}$ を求めよう．

解

$$\begin{array}{l} T(\emph{ e}_{1}) = T(\left(\begin{array}{c} ... ...nd{array}\right) = -4\emph{ e}_{1} + 5\emph{ e}_{2} \end{array}$$

より $[T] = \left(\begin{array}{cc} 3&-4\\ 1&5 \end{array}\right)$.

$$T(\emph{ w}_{1}) = T(\left(\begin{array}{c} 1\\ 3 \end{array}\right)) = \left(\begin{array}{c} -9\\ 16 \end{array}\right) = a\emph{ w}_{1} + b\emph{ w}_{2},$$

$$T(\emph{ w}_{2}) = T(\left(\begin{array}{c} 2\\ 5 \end{array}\right)) = \left(\begin{array}{c} -14\\ 27 \end{array}\right) = c\emph{ w}_{1} + d\emph{ w}_{2}$$

とおくと $a\emph{ w}_{1} + b\emph{ w}_{2} = \left(\begin{array}{c} -9\\ 16 \end{array}\r... ...{ w}_{1} + d\emph{ w}_{2} = \left(\begin{array}{c} -14\\ 27 \end{array}\right)$より $a = 77,b = -43, c = 124, d = -69$ を得る．よって $[T]_\emph{ w} = \left(\begin{array}{cc} 77&124\\ -43&-69 \end{array}\right)$.
また

$$T(\emph{ e}_{1}) = T(\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)) = \left(\begin{array}{c} 3\\ 1 \end{array}\right) = -13\emph{ w}_{1} + 8\emph{ w}_{2},$$

$$T(\emph{ e}_{2}) = T(\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)) = \left(\begin{array}{c} -4\\ 5 \end{array}\right) = 30\emph{ w}_{1} - 17\emph{ w}_{2}$$

より $[T]_\emph{ e}^\emph{ w} = \left(\begin{array}{cc} -13&30\\ 8&-17 \end{array}\right)$. $\blacksquare$

次元公式

線形写像の行列表現を用いて, もう一度線形写像の核と像について調べてみましょう．線形写像$T$ を $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$ とします．このとき$\ker(T)$ は $T$ の像が $\emph{ 0}$ になる ${\mathcal R}^{n}$ の要素の集まりでした．つまり連立1次方程式

$$\left \{ \begin{array}{rrr} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + ... ...\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n}& = & 0 \end{array}\right .$$

の解からつくられる解空間と同じになります．また定理2.9より, 解空間の次元は

$$\dim \ker(T) = n - {\rm rank}(A)$$

となります．では $Im(T)$ はどうでしょうか．$Im(T)$ は ${\mathcal R}^{n}$ のすべての元の像の集まりなので $\dim Im(T) = {\rm rank}(A)$ となります．これから 次元公式とよばれる次の定理を得ます．

定理 3..2   $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$ を線形写像とするとき,

$$\dim {\mathcal R}^{n} = \dim \ker(T) + \dim Im(T)$$

が成り立つ．

例題 3..4   $T : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{3}$ の行列表現を $A = \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 2&2&2\\ 3&3&3 \end{array}\right )$ とするとき, $\dim \ker(T)$ を求めよう．

解 $\dim \ker(T)$ は $\dim {\mathcal R}^{3} - \dim Im(T)$ と等しく, $\dim Im(T) = {\rm rank}(A)$より ${\rm rank}(A)$ を求めれば $\dim \ker(T)$ が求まる．

$$A = \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 2&2&2\\ 3&3&3 \end{array}\... ...ightarrow \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}\right )$$

より ${\rm rank}(A) = 1$. したがって $\dim \ker(T) = 3 - 1 = 2$. $\blacksquare$

ベクトル空間 $,{\mathcal R}^{l},{\mathcal R}^{n},{\mathcal R}^{m}$ の間に線形写像

$$S : { R}^{l} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}, \ T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$$

が与えられたとき, その合成写像 $T \circ S : { R}^{l} \longrightarrow { R}^{m}$も線形写像となりました(例題3.2)．そこで各空間に基底をとり, それらに関する $S,T$ の行列を $A,B$ とすると ${\mathbf x} = (x_{i}), {\mathbf y} = (y_{j}), {\mathbf z} = (z_{k})$ に対して

$$(y_{i}) = A(x_{j}), \ (z_{k}) = B(y_{i}) = BA(x_{j})$$

となるので $T \circ S$ の行列表現は $BA$ となります．

定理 3..3   線形変換 $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ の基底 $\{\emph{ v}_{i}\}$ に関する行列表現を $A$ とするとき, 次の条件は同値である．
$(1)$ $T$ は同型写像である．
$(2)$ 行列 $A$ は正則行列である．

証明 $(1) \Rightarrow (2)$
$T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ の行列表現を $A$ とする．$T$ は同型写像より $T^{-1}$ が存在する．$T^{-1}$ の行列表現を $B$ とすると, $BA = I$ が成り立つから, $A$ は正則行列である．
$(2) \Rightarrow (1)$
$A$ が正則行列ならば$BA = I$ となる行列が存在し, この $B$ に対する写像を $S$すると $T \circ S = 1$．よって, 演習問題3.1より $T$ は同型写像． $\blacksquare$

演習問題3-2

1. 次の写像のうち線形写像はどちらか．

$$T_{1} : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{2},\ T_{1}... ...y}\right) = \left(\begin{array}{c} x_{3}\\ x_{1} + x_{2} \end{array}\right) .$$

$$T_{2} : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{2},\ T_{2}... ...ight) = \left(\begin{array}{c} x_{1} + 1\\ x_{2} + x_{3} \end{array}\right) .$$

2. $V$ は $n$ 次元ベクトル空間, $\{\emph{ v}_{1},\ldots,\emph{ v}_{n}\}$ を $V$ の基底とする． $T : V \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ を $T(\alpha_{1}\emph{ v}_{1} + \alpha_{2}\emph{ v}_{2} + \cdots + \alpha_{n}\emph{... ...a_{1}\emph{ e}_{1} + \alpha_{2}\emph{ e}_{2} + \cdots + \alpha_{n}\emph{ e}_{n}$ と定義すると, $T$ は線形写像になることを示せ．

3. 線形写像 $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ について, 次の条件は同値であることを証明せよ．

(a)

$T$ は同型写像である．

(b)

$T \circ S = 1$ を満たす線形写像 $S : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ が存在する．

4. $T : V \longrightarrow W$ が線形写像のとき, $\ker(T),Im(T)$ は $V,W$ の部分空間であることを示せ．

5. $T : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{3}$ が $T\left(\begin{array}{r} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right) = \left(\beg... ...x_{3}\\ 2x_{1} + x_{2} + 3x_{3}\\ 2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} \end{array}\right)$ のとき, 標準基底 $\{\emph{ e}_{1},\emph{ e}_{2},\emph{ e}_{3}\}$ に関する $T$ の行列表現$[T]$ と基底 $\{\emph{ w}_{1} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\right), \emph{... ...ight), \emph{ w}_{3} = \left(\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right)\}$ に関する行列表現 $[T]_\emph{ w}$ を求めよ．
また $\dim \ker(T)$ を求めよ．

6. $T : {\mathcal R}^{2} \longrightarrow {\mathcal R}^3$が， $T(\begin{pmatrix}2\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 0\end{pmatrix}$, $T(\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$をみたすとき，$T$の行列表現を求めよ．