線形写像

写像

第1章, 第2章でベクトル空間について学んできました．この章では写像を用いてふたつのベクトル空間の関係を調べます．そこで写像について簡単に復習をしておきます．

ふたつの集合VとWを考えます．Vの任意の要素$v$ に対してWのただひとつの要素$w$ を対応させるような規則$T$ があるとき, この対応関係$T$ をVからWへの 写像(mapping) といい記号 $T : V \longrightarrow W$ で表します．この考え方を用いると $m \times n$型の行列は $n$項列ベクトルを $m$項列ベクトルに移す写像, 言い換えると, ${\mathcal R}^{n}$ から ${\mathcal R}^{m}$ への写像ということになります．

線形写像

ベクトル空間には和とスカラー倍が定義されていました．そこで, ふたつのベクトル空間の関係を調べるのに使う写像は, 和とスカラー倍を保つのが望ましいでしょう．そのような写像を線形写像といい次のように定義します．

定義 3..1   $V,W$ がベクトル空間のとき, 写像 $T : V \longrightarrow W$ で次の条件を満たすものを 線形写像(linear mapping) という．
$1. T(\textbf{ v} + \textbf{ w}) = T(\textbf{ v}) + T(\textbf{ w}) (\textbf{ v},\textbf{ w} \in V)$
$2. T(\alpha \textbf{ v}) = \alpha T(\textbf{ v}) (\textbf{ v} \in V, \alpha \in R)$
とくに $V = W$ のとき, $T$ を $V$ の 線形変換(linear transformation) という．

線形写像は $V$ から $W$ への写像のうちベクトル空間の性質を保つ写像です．$T$ により $V$ の移る先全体を $T$ の 像(image) といい,

$$Im (T) = T(V) = \{\textbf{ w} \in W : T(\textbf{ v}) = \textbf{ w}$$を満たす$$\textbf{ v} \in V$$が存在する$$\}$$

で表します．また$T$ による像が $\textbf{ 0}$ になるような$V$ の要素の集まりを $T$ の 核(kernal) といい,

$$\ker (T) = \{\textbf{ v} \in V : T(\textbf{ v}) = 0 \}$$

で表します．これらは線形写像の性質より, それぞれ$W,V$ の部分空間になることがわかります(演習問題3.3参照)．

例題 3..1  

$A$ を $m \times n$型の行列とする．

$$T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$$

を $T({\mathbf x}) = A{\mathbf x}$ で定義すると $T$ は線形写像になることを示そう．

解 行列どうしの積および実数との積の性質から, ${\mathcal R}^{n}$ の任意のベクトル ${\mathbf x}_{1},{\mathbf x}_{2}$および任意の実数 $\alpha$ に対して,

$$T({\mathbf x}_{1} + {\mathbf x}_{2}) = A({\mathbf x}_{1} + {\math... ...mathbf x}_{1}) + A({\mathbf x}_{2}) = T({\mathbf x}_{1}) + T({\mathbf x}_{2}),$$

$$T(\alpha {\mathbf x}_{1}) = A(\alpha {\mathbf x}_{1}) = \alpha A({\mathbf x}_{1}) = \alpha T({\mathbf x}_{1})$$

が成り立つ．よって $T$ は線形写像である． $\ \blacksquare$

線形写像 $T : V \longrightarrow W$ が

$$\textbf{ v}_{1} \neq \textbf{ v}_{2}$$   ならば$$T(\textbf{ v}_{1}) \neq T(\textbf{ v}_{2}) (\textbf{ v}_{1},\textbf{ v}_{2} \in V)$$

を満たすとき, $T$ は 1対1(one-to-one)であるといい, このような写像を 単射(injective) といいます．

線形写像 $T : V \longrightarrow W$ が $Im(T) = W$ を満たすとき, $T$ を $V$ から $W$ の 上への(onto)線形写像といい, このような写像を 全射(surjective) といいます．

例題 3..2  

$S : U \longrightarrow V, T : V \longrightarrow W$ がともに線形写像であるとき, 合成写像 $T \circ S : U \longrightarrow W$も線形写像であることを示そう．

解

$$(T \circ S)(\alpha\textbf{ u}_{1} + \beta\textbf{ u}_{2}) = T(S(\alpha\textbf{ u}_{1} + \beta\textbf{ u}_{2}))$$

$$= T(\alpha S(\textbf{ u}_{1}) + \beta S(\textbf{ u}_{2}))$$

$$= \alpha (T \circ S)(\textbf{ u}_{1}) + \beta (T \circ S)(\textbf{ u}_{2})$$

より合成写像 $T \circ S : U \longrightarrow W$も線形写像． $\ \blacksquare$

同型写像

ベクトル空間からベクトル空間の上への1対1の線形写像をとくに 同型写像(isomorphism) といいます．また, $V$ から $W$ への同型写像が存在するとき, $V$ と $W$ は 同型(isomorphic)であるといい, $V \sim W$ と表します．また $T : V \longrightarrow W$ が同型写像で, $T(\textbf{ v}) = \textbf{ w}$ のとき, $S(\textbf{ w}) = \textbf{ v}$ と定めることにより, $W$ から $V$ への写像$S$ を得ます．このとき, $S$ を $T$ の 逆写像(inverse mapping) といい, $S = T^{-1}$ と表します．ここで同型写像について次のことが成り立ちます．

定理 3..1  

線形写像 $T : V \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ について次の条件は同値である．
$(1)$ $\dim V = n$
$(2)$ $T$ は同型写像である．つまり $V \sim {\mathcal R}^{n}$
$(3)$ $\ker(T) = \{\textbf{ 0}\}, Im(T) = {\mathcal R}^{n}$
$(4)$ 逆写像 $T^{-1} : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow V$ は同型写像である．
$(5)$ $\{\textbf{ w}_{1},\textbf{ w}_{2}, \ldots , \textbf{ w}_{n}\}$ が ${\mathcal R}^{n}$ の基底ならば, 逆写像$T^{-1}$ による像の集合

$\{T^{-1}(\textbf{ w}_{1}),T^{-1}(\textbf{ w}_{2}), \ldots , T^{-1}(\textbf{ w}_{n})\}$ は $V$ の基底となる．

証明 $(1) \Rightarrow (2)$
$V$ の1組の基底を $\{\textbf{ v}_{1},\textbf{ v}_{2}\ldots,\textbf{ v}_{n}\}$ とし, $\{\textbf{ w}_{1},\textbf{ w}_{2}, \ldots , \textbf{ w}_{n}\}$ を ${\mathcal R}^{n}$ の基底とする．ここで $T : V \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ を $T(\alpha_{1}\textbf{ v}_{1} + \alpha_{2}\textbf{ v}_{2} + \cdots + \alpha_{n}\t... ...textbf{ w}_{1} + \alpha_{2}\textbf{ w}_{2} + \cdots + \alpha_{n}\textbf{ w}_{n}$ と定義すると, $T$ は線形写像となる(演習問題3.3)．また $\textbf{ a},\textbf{ b} \in V$ とすると, ある $c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}, d_{1},d_{2},\ldots,d_{n} \in R$ で

$$\textbf{ a} = c_{1}\textbf{ v}_{1} + \cdots + c_{n}\textbf{ v}_{n},$$

$$\textbf{ b} = d_{1}\textbf{ v}_{1} + \cdots + d_{n}\textbf{ v}_{n}．$$

よって

$$T(\textbf{ a}) = T(\textbf{ b}) \Longrightarrow T(c_{1}\textbf{ v}_{1} + \cdots + c_{n}\textbf{ v}_{n}) = T(d_{1}\textbf{ v}_{1} + \cdots + d_{n}\textbf{ v}_{n})$$

$$\Longrightarrow c_{1}T(\textbf{ v}_{1}) + \cdots + c_{n}T(\textbf{ v}_{n}) = d_{1}T(\textbf{ v}_{1}) + \cdots + d_{n}T(\textbf{ v}_{n})$$

$$\Longrightarrow c_{1}\textbf{ w}_{1} + \cdots + c_{n}\textbf{ w}_{n} = d_{1}\textbf{ w}_{1} + \cdots + d_{n}\textbf{ w}_{n}$$

$$\Longrightarrow c_{1} = d_{1}, \ldots , c_{n} = d_{n}$$

$$\Longrightarrow \textbf{ a} = \textbf{ b}$$

となり $T$ は単射．つぎに ${\mathbf y} \in {\mathcal R}^{n}$ とすると, ${\mathbf y} = c_{1}\textbf{ w}_{1} + \cdots + c_{n}\textbf{ w}_{n}$ と表され, これは $c_{1}\textbf{ v}_{1} + \ldots + c_{n}\textbf{ v}_{n}$ の $T$ による像である．よって $T$ は全射である．これより $T$ は全単射な線形写像となり $T$ は同型写像であることが示せた．
$(2) \Rightarrow (3)$
$T(\textbf{ a}) = \textbf{ 0}$ とすると $T(\textbf{ 0}) = \textbf{ 0} = T(\textbf{ a})$ となるので, 仮定より $\textbf{ a} = \textbf{ 0}$．よって $\ker(T) = \{\textbf{ 0}\}$. また$T$ は全射であるから $Im(T) = {\mathcal R}^{n}$ となる．
$(3) \Rightarrow (4)$
$T$ が同型写像なので $\textbf{ w}_{i},\textbf{ w}_{j} \in R^{n}$ に対して, $T(\textbf{ v}_{i}) = \textbf{ w}_{i}, T(\textbf{ v}_{j}) = \textbf{ w}_{j}$ となる $\textbf{ v}_{i},\textbf{ v}_{j} \in V$ が存在する．また$T$ の線形性により

$$T(\alpha\textbf{ v}_{i} + \beta\textbf{ v}_{j}) = \alpha T(\textb... ...}) + \beta T(\textbf{ v}_{j}) = \alpha \textbf{ w}_{i} + \beta \textbf{ w}_{j}.$$

よって

$$T^{-1}(\alpha \textbf{ w}_{i} + \beta \textbf{ w}_{j}) = \alpha\textbf{ v}_{i} + \beta\textbf{ v}_{j}.$$

次に $T^{-1}$ が全単射であることを示す．まず $T^{-1}(\textbf{ w}_{i}) = T^{-1}(\textbf{ w}_{j})$より $\textbf{ w}_{i} = \textbf{ w}_{j}$ を示す．

$$\textbf{ w}_{i} - \textbf{ w}_{j} = T(\textbf{ v}_{i}) - T(\textb... ...}_{j}) = T(\textbf{ v}_{i} - \textbf{ v}_{j}) = T(\textbf{ 0}) = \textbf{ 0} .$$

最後に $Im(T) = {\mathcal R}^{n}$より

$$\textbf{ v}_{i} = T^{-1}(\textbf{ w}_{i}) .$$

よって $T^{-1}$ は同型写像．
$(4) \Rightarrow (5)$
$\{T^{-1}(\textbf{ w}_{1}),T^{-1}(\textbf{ w}_{2}), \ldots , T^{-1}(\textbf{ w}_{n})\}$ が $V$ の基底であることを示すには, この組が1次独立でかつこの組のベクトルで張られる空間が $V$ であることを示せばよい．

$$c_{1}T^{-1}(\textbf{ w}_{1})+c_{2}T^{-1}(\textbf{ w}_{2}) + \cdots + c_{n}T^{-1}(\textbf{ w}_{n}) = \textbf{ 0}$$

より

$$T^{-1}(c_{1}\textbf{ w}_{1}+c_{2}\textbf{ w}_{2} + \cdots + c_{n}\textbf{ w}_{n}) = \textbf{ 0}.$$

ここで $T^{-1}$ は同型写像なので

$$c_{1}\textbf{ v}_{1} + c_{2}\textbf{ v}_{2} + \cdots + c_{n}\textbf{ v}_{n} = \textbf{ 0}.$$

このとき, $\{\textbf{ v}_{1},\ldots,\textbf{ v}_{n}\}$ は1次独立であるから $c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{n} = 0$ を得る．よって

$$\{T^{-1}(\textbf{ w}_{1}),T^{-1}(\textbf{ w}_{2}), \ldots , T^{-1}(\textbf{ w}_{n})\}$$

は1次独立である．つぎに $\textbf{ v} \in V$ とすると,

$$\textbf{ v} = c_{1}\textbf{ v}_{1} + \cdots + c_{n}\textbf{ v}_{n} = c_{1}T^{-1}(\textbf{ w}_{1}) + \cdots + c_{n}T^{-1}(\textbf{ w}_{n}) .$$

よって $\langle\textbf{ w}_{1},\textbf{ w}_{2},\ldots,\textbf{ w}_{n}\rangle = V$.
$(5) \Rightarrow (1)$
$\{T^{-1}(\textbf{ w}_{1}),T^{-1}(\textbf{ w}_{2}), \ldots , T^{-1}(\textbf{ w}_{n})\}$ は $V$ の基底より $\dim V = n$. $\ \blacksquare$

このように $n$ 次元のベクトル空間$V$ は ${\mathcal R}^{n}$ と同型となるので, $V$ のベクトル間の関係は同型写像によって ${\mathcal R}^{n}$ のベクトル間の関係として扱うことができます．