行列表現

有限次元のベクトル空間の線形写像を調べるために, 線形写像に行列を対応させることがあります．このとき, 線形写像の性質は行列の性質として, より具体的に表されます．たとえば, $xy$平面上の点 $(x,y)$ を $\theta$だけ回転して点 $(X,Y)$ に対応させる線形変換$T$ を考えてみましょう．まず, $R^2$ の1組の基底 $\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right), \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right) \}$ を考えます． これより

$${\mathbf x} = \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right... ... \end{array} \right) + y \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right),$$

$${\mathbf y} = \left(\begin{array}{c} X\\ Y \end{array}\right) = T({\mathbf x})... ...1\\ 0 \end{array}\right) + y \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right))$$

$$= xT(\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) ) + y T(\left... ...) + y \left(\begin{array}{c} -\sin{\theta}\\ \cos{\theta} \end{array}\right) .$$

よって

$$\left(\begin{array}{c} X\\ Y \end{array}\right) = \left(\begin{a... ...os{\theta} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)$$

と行列を用いて表せます．一般に, 線形写像 $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$ を考え,

$$\{\textbf{ v}_{1},\ldots,\textbf{ v}_{n}\}, \{\textbf{ w}_{1},\ldots,\textbf{ w}_{m}\}$$

をそれぞれ ${\mathcal R}^{n},{\mathcal R}^{m}$ の1組の基底とし, 任意の ${\mathbf x} \in {\mathcal R}^{n}$ とその像 ${\mathbf y} = T({\mathbf x}) \in {\mathcal R}^{m}$ を

$${\mathbf x} = \textbf{ v}_{1}x_{1} + \textbf{ v}_{2}x_{2} + \cdots + \textbf{ v}_{n}x_{n},$$

$${\mathbf y} = \textbf{ w}_{1}y_{1} + \textbf{ w}_{2}y_{2} + \cdots + \textbf{ w}_{m}y_{m}$$

と表すとき, 写像$T$ の線形性により

$${\mathbf y} = T({\mathbf x}) = T(\textbf{ v}_{1}x_{1} + \textbf{ v}_{2}x_{2} + \cdots + \textbf{ v}_{n}x_{n})$$

$$= T(\textbf{ v}_{1})x_{1} + T(\textbf{ v}_{2})x_{2} + \cdots + T(\textbf{ v}_{n})x_{n}$$

となります．ここで $\{T(\textbf{ v}_{1}),\ldots,T(\textbf{ v}_{n})\}$ は ${\mathcal R}^{m}$ に含まれるので,

$$T(\textbf{ v}_{i}) = a_{1i}\textbf{ w}_{1} + a_{2i}\textbf{ w}_{2} + \cdots + a_{mi}\textbf{ w}_{m} (i = 1,2,\ldots,n)$$

と表せます．これより

$${\mathbf y} = (a_{11}\textbf{ w}_{1} + a_{21}\textbf{ w}_{2} + \cdots + a_{m1}\textbf{ w}_{m})x_{1}$$

$$+ (a_{12}\textbf{ w}_{1} + a_{22}\textbf{ w}_{2} + \cdots + a_{m2}\textbf{ w}_{m})x_{2}$$

$$+ \vdots$$

$$+ (a_{1n}\textbf{ w}_{1} + a_{2n}\textbf{ w}_{2} + \cdots + a_{mn}\textbf{ w}_{m})x_{n}$$

となります．ここで $\{\textbf{ w}_{1},\textbf{ w}_{2},\ldots,\textbf{ w}_{m}\}$ は ${\mathcal R}^{m}$ の基底をなしているので, 対応する係数は等しいはずです．よって次のような関係式が得られます．

$$\left \{ \begin{array}{rrr} y_{1}& =& a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} +... ...{m}& =& a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} . \end{array}\right .$$

これより右辺の係数行列 $A = (a_{ij})$ が定まります．この行列 $A$ を基底

$$\{\textbf{ v}_{1},\ldots,\textbf{ v}_{n}\}, \{\textbf{ w}_{1},\ldots,\textbf{ w}_{m}\}$$

に関する $T$ の 行列表現(matrix representation) といい $[T]_\textbf{ v}^\textbf{ w}$ と表します．とくに $V = W$ の場合は, 通常 $\{\textbf{ v}_{1},\ldots,\textbf{ v}_{n}\}$ と $\{\textbf{ w}_{1},\ldots,\textbf{ w}_{n}\}$ とを同一にとり $T$ の行列表現を $[T]_\textbf{ v}$ と表します．また $T: { R}^{n} \longrightarrow { R}^{n}$ のとき, 標準基底(usual basis)

$$\{\textbf{ e}_{1} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 ... ...bf{ e}_{n} = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1 \end{array}\right)\}$$

を用いて $T$ の行列表現は $[T]_\textbf{ e}$ または $[T]$ で表します．

ここまでをまとめると ${\mathcal R}^{n}$ から ${\mathcal R}^{m}$ への線形写像$T$ は, ${\mathcal R}^{n}$ の基底の像を ${\mathcal R}^{m}$ の基底で表したとき, $m \times n$型の行列 $A$ で表され,

$$[T({\mathbf x})]_\textbf{ w} = [T]_\textbf{ v}^\textbf{ w}[{\mathbf x}]_\textbf{ v}$$

を満たします．

例題 3..3  

$T : {\mathcal R}^{2} \longrightarrow {\mathcal R}^{2}$ が $T\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3x - 4y\\ x + 5y \end{array}\right)$ で与えられているとき, 標準基底 $\{\textbf{ e}_{1},\textbf{ e}_{2}\}$ に関する $T$ の行列表現$[T]$ と基底 $\{\textbf{ w}_{1} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 3 \end{array}\right), \textbf{ w}_{2} = \left(\begin{array}{c} 2\\ 5 \end{array}\right)\}$ に関する $T$ の行列表現 $[T]_\textbf{ w}$ を求めよ．また基底 $\{\textbf{ e}_{1},\textbf{ e}_{2}\}, \{\textbf{ w}_{1},\textbf{ w}_{2}\}$ に関する $T$ の行列表現 $[T]_\textbf{ e}^\textbf{ w}$ を求めよう．

解

$$\begin{array}{l} T(\textbf{ e}_{1}) = T(\left(\begin{array}{c... ...rray}\right) = -4\textbf{ e}_{1} + 5\textbf{ e}_{2} \end{array}$$

より $[T] = \left(\begin{array}{cc} 3&-4\\ 1&5 \end{array}\right)$.

$$T(\textbf{ w}_{1}) = T(\left(\begin{array}{c} 1\\ 3 \end{array}\right)) = \left(\begin{array}{c} -9\\ 16 \end{array}\right) = a\textbf{ w}_{1} + b\textbf{ w}_{2},$$

$$T(\textbf{ w}_{2}) = T(\left(\begin{array}{c} 2\\ 5 \end{array}\right)) = \left(\begin{array}{c} -14\\ 27 \end{array}\right) = c\textbf{ w}_{1} + d\textbf{ w}_{2}$$

とおくと $a\textbf{ w}_{1} + b\textbf{ w}_{2} = \left(\begin{array}{c} -9\\ 16 \end{arra... ...w}_{1} + d\textbf{ w}_{2} = \left(\begin{array}{c} -14\\ 27 \end{array}\right)$より $a = 77,b = -43, c = 124, d = -69$ を得る．よって $[T]_\textbf{ w} = \left(\begin{array}{cc} 77&124\\ -43&-69 \end{array}\right)$.
また

$$T(\textbf{ e}_{1}) = T(\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)) = \left(\begin{array}{c} 3\\ 1 \end{array}\right) = -13\textbf{ w}_{1} + 8\textbf{ w}_{2},$$

$$T(\textbf{ e}_{2}) = T(\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)) = \left(\begin{array}{c} -4\\ 5 \end{array}\right) = 30\textbf{ w}_{1} - 17\textbf{ w}_{2}$$

より $[T]_\textbf{ e}^\textbf{ w} = \left(\begin{array}{cc} -13&30\\ 8&-17 \end{array}\right)$. $\ \blacksquare$