行列の変換と固有値

基底変換の行列

線形写像$T$ が与えられたとき, ${\mathcal R}^{n}$ と ${\mathcal R}^{m}$ の基底の取り方によって $T$ の行列表現が変わることを学びました．ここでは ${\mathcal R}^{n}$ の基底から ${\mathcal R}^{m}$ の基底に移す行列, 変換行列(transition matrix) と行列表現の関係について考えます．

例題 3..5   $T : {\mathcal R}^{2} \longrightarrow {\mathcal R}^{2}$ が $T\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3x - 4y\\ x + 5y \end{array}\right)$ で与えられているとき, $R^{2}$ の標準基底 $\{\emph{ e}_{1},\emph{ e}_{2}\}$ から一般の基底 $\{\emph{ w}_{1} = \left(\begin{array}{r} 1\\ 3 \end{array}\right), \emph{ w}_{2} = \left(\begin{array}{r} 2\\ 5 \end{array}\right) \}$ への変換行列 $P$ を求めよ．また $A = [T]_\emph{ e}$ とするとき$P^{-1}AP$ を求めよう．

解 まず, $P\emph{ e}_{1} = \emph{ w}_{1}, P\emph{ e}_{2} = \emph{ w}_{2}$ となる行列を求める．

$$\emph{ w}_{1} = \left(\begin{array}{r} 1\\ 3 \end{array}\right) = \emph{ e}_{1} + 3\emph{ e}_{2},$$

$$\emph{ w}_{2} = \left(\begin{array}{r} 2\\ 5 \end{array}\right) = 2\emph{ e}_{1} + 5\emph{ e}_{2}$$

より変換行列 $P$ は

$$P = \left(\begin{array}{rr} 1&2\\ 3&5 \end{array}\right).$$

次に $P^{-1}AP$ を求める．例題3.3より $A = [T]_\emph{ e} = \left(\begin{array}{cc} 3 & -4\\ 1 & 5 \end{array}\right)$．よって

$$P^{-1}AP = \left(\begin{array}{rr} -5&2\\ 3&-1 \end{array}\right... ...n{array}{rr} 77&124\\ -43&-69 \end{array}\right). \ensuremath{\ \blacksquare}$$

この例題をよく見ると, $P^{-1}[T]_\emph{ e}P = [T]_\emph{ w}$ が成り立っています．これは偶然でしょうか．行列表現と基底の変換行列の間ではこのようなことがいつも成り立っているのか考えてみましょう．

定理 3..4   線形変換 $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ の基底 $\{\emph{ v}_{i}\}$ に関する行列表現を $A$, 基底 $\{\emph{ w}_{i}\}$ に関する行列表現を $B$ とする． $\{\emph{ v}_{i}\}$ から $\{\emph{ w}_{i}\}$ の基底の変換行列を $P$ とすると, $B = P^{-1}AP$ が成り立つ．

証明 演習問題3.2より $\{\emph{ v}_{i}\}_{i=1}^{n}$ から $\{\emph{ w}_{i}\}_{i=1}^{n}$ の基底の変換行列 $P$ は $n$ 次の正則行列で, $P = (p_{ij})$ は

$$\emph{ w}_{j} = p_{1j}\emph{ v}_{1} + \cdots + p_{nj}\emph{ v}_{n}, \ (j = 1,2,\ldots, n)$$

で与えられる． また $A = (a_{ij}), B = (b_{ij})$ とすると,

$$T(\emph{ v}_{i}) = a_{1i}\emph{ v}_{1} + \cdots + a_{mi}\emph{ v}_{m}, \ (i = 1,2,\ldots,n) ,$$

$$T(\emph{ w}_{j}) = b_{1j}\emph{ w}_{1} + \cdots + b_{mj}\emph{ w}_{m}, \ (j = 1,2,\ldots,n)$$

より,

$$(T(\emph{ v}_{1}),\ldots,T(\emph{ v}_{n})) = (\emph{ v}_{1},\ldots,\emph{ v}_{n})A,$$

$$(T(\emph{ w}_{1}),\ldots,T(\emph{ w}_{n})) = (\emph{ w}_{1},\ldots,\emph{ w}_{n})B$$

となる．このとき,

$$(T(\emph{ w}_{1}),\ldots,T(\emph{ w}_{n})) = (T(\emph{ v}_{1}),\ldots,T(\emph{ v}_{n}))P$$

$$= ((\emph{ v}_{1},\ldots,\emph{ v}_{n})A)P$$

$$= (\emph{ v}_{1},\ldots,\emph{ v}_{n})AP$$

$$= ((\emph{ w}_{1},\ldots,\emph{ w}_{n})P^{-1})(AP)$$

$$= (\emph{ w}_{1},\ldots,\emph{ w}_{n})(P^{-1}AP)$$

となるから,

$$P^{-1}AP = B$$

が成り立つ． $\blacksquare$

ふたつの $n$ 次の正方行列 $A,B$ に対して, $P^{-1}AP = B$ を満たす$n$ 次の正則行列 $P$ が存在するとき, $A$ と $B$ は 相似(similar)であるといい, $A \sim B$ と表します．

線形変換 $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ の性質は行列表現と密接な関係をもっていますが, 基底のとり方によっては $B = P^{-1}AP$ のほうが $A$よりも分りやすい行列になることがあります．こんなときには $T$ の性質は $A$よりも$B$ で調べた方がよいでしょう．そこで残りの章は, 行列 $A$ に対して, 正則行列 $P$ をうまく選んで, $P^{-1}AP$ を簡単な行列(対角行列, 三角行列など)に直す方法について学びます．この簡単な形を行列の 標準形(canonical form) とよんでいます．

固有値と固有ベクトル

ここまで私たちは実数だけをスカラーとして用いてきましたが, そろそろ限界のようです．そこでこれからは, 断りがない限り複素数もスカラーとして用いることにします．複素数全体は ${ C}$ で表し, $n$個の複素数の組を ${ C}^{n} = \{(c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}), c_{i} \in { C} \}$ で表します．

$n$ 次の正方行列を $A$ とし, $\lambda \in { C}$ に対して,

$$A{\mathbf x} = \lambda {\mathbf x} \ ({\mathbf x} \in { C}^{n}, {\mathbf x} \neq \emph{ 0})$$

が成り立つとき, $\lambda$ を $A$ の 固有値( eigenvalue) といい, ${\mathbf x}$ を固有値$\lambda$ に対する 固有ベクトル(eigenvector) といいます．では固有値と固有ベクトルは何なのか調べてみましょう．まず, 幾何学的に考えてみます．たとえば平面上で直線$y = x$を直線$y = 3x$ に移す線形変換$T$を考えてみます．$T$の表現行列は $\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}$で与えれるので， $\left(\begin{array}{c} 0\\ y \end{array}\right)$ の形をしたベクトルは線形変換の後でも $\lambda \left(\begin{array}{c} 0\\ y \end{array}\right)$ の形をしています．このように線形変換後にそれ自身のスカラー倍となって現れるベクトル, これが固有ベクトルです．またこのときのスカラー$\lambda$ が固有値です．それでは固有値と固有ベクトルはどうやって求めるのでしょうか．

$A{\mathbf x} = \lambda {\mathbf x}$ をかき直すと,

$$(A - \lambda I){\mathbf x} = \emph{ 0}$$

となり, これは同次の連立1次方程式と考えられます．ここで固有ベクトル ${\mathbf x}$ が存在するための必要十分条件は, 連立1次方程式が0でない解をもつことなので, 定理2.20より

$$\vert A - \lambda I\vert = 0$$

となります．よって, 固有値$\lambda$ は $t$ を未知数とする方程式

$$\vert A - tI\vert = 0$$

の解として求まります．逆に, この方程式の解$\lambda$ は $A$ の固有値であることが分ります． そこで $t$ の $n$ 次式

$$\Phi_{A}(t) = \det(A - tI) = t^{n} + c_{1}t^{n-1} + \cdots + c_{n}$$

を行列 $A$ の 固有多項式(characteristic polynomial) といい, $t$ の $n$ 次方程式

$$\Phi_{A}(t) = \det(A - tI) = 0$$

を行列 $A$ の 固有方程式(characteristic equation) といいます．これより固有値を求めるには固有方程式の解を求めればよいことが分ります．

例題 3..6   $A = \left(\begin{array}{rrr} 3&0&0\\ 0&2&-5\\ 0&1&-2 \end{array}\right)$ の固有値を求めよう．

解 $\Phi_{A}(t) = \left \vert\begin{array}{rrr} 3-t & 0 & 0\\ 0 & 2-t & -5\\ 0 & 1 & -2-t \end{array}\right \vert = (3-t)(t^{2} + 1) = 0$．よって $A$ の固有値は $\lambda = 3, \pm i .$ $\blacksquare$

この例題からもわかるように, 行列の成分がすべて実数でも固有値に複素数が表れることがあります．

例題 3..7   $A = \left(\begin{array}{rrr} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0 \end{array}\right)$ の固有値と固有ベクトルを求めよう．

解 $\Phi_{A}(t) = \left \vert\begin{array}{rrr} -t & 1 & 1\\ 1 & -t & 1\\ 1 & 1 & -t \end{array}\right \vert = -(t+1)^{2}(t-2).$ よって, $A$ の固有値は $\lambda = 2,-1$ である．次に $A$ の固有ベクトルを求める．

$\lambda = 2$ に対する固有ベクトルは $(A - 2I){\mathbf x} = \emph{ 0}$ を満たす 0でない ${\mathbf x}$ なので, この連立方程式を解くと

$$A - 2I = \left(\begin{array}{rrr} -2&1 & 1\\ 1& -2 & 1\\ 1&1&-2 \end{arr... ...htarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&1&-2\\ 1&-2&1\\ -2&1&1 \end{array}\right)$$

$$\stackrel{\begin{array}{cc} {}^{-R_{1} + R_{2}}\\ {}^{2R_{1} + R_{3}} \end{array}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&1&-2\\ 0&-3&3\\ 0 & 3&-3 \end{array}... ...rrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&1&-2\\ 0&1&-1\\ 0 & 0&0 \end{array}\right) .$$

これより自由度1となるので $x_{3} = \alpha$ とおくと,

$${\mathbf x} = \left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end... ...alpha \left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1 \end{array}\right) \ (\alpha \neq 0).$$

次に $\lambda = -1$ に対する固有ベクトルは $(A - 3I){\mathbf x} = \emph{ 0}$ を満たす 0でない ${\mathbf x}$ なので, 連立方程式を解くと

$$A+ I = \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{arra... ...htarrow} \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 0&0&0\\ 0 & 0&0 \end{array}\right)$$

となる．これより自由度2となるので $x_{2} = \beta \neq 0, x_{3} = \gamma \neq 0$ とおくと,

$${\mathbf x} = \left(\begin{array}{c} -x_{2} - x_{3}\\ x_{2}\\ x... ...(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 1 \end{array}\right). \ensuremath{\ \blacksquare}$$

ケイリー・ハミルトンの定理

$\Phi_{A}(t) = t^{n} + c_{1}t^{n-1} + \cdots + c_{n}$ のとき,

$$\Phi_{A}(A) = A^{n} + c_{1}A^{n-1} + \cdots + c_{n}I$$

と定義すると次の定理を得ます．この定理は ケイリー・ハミルトンの定理
(Cayley-Hamilton theorem) とよばれています．

定理 3..5 (ケイリー・ハミルトンの定理)   任意の正方行列 $A$ はその固有方程式 $\Phi_{A}(t)$ を満たす．つまり $\Phi_{A}(A) = \emph{ 0}$ である．

解 $A$ を $n$ 次の正方行列, $\Phi_{A}(t) = \det (A - t I) = t^{n} + c_{1}t^{n-1} + \cdots + c_{n}$ とする．$B(t)$ を $A - t I$ の余因子行列とすると, $B(t)$ の成分は $A - t I$ の余因子で, その多項式の次数は最高でも$n-1$ である．よって

$$B(t) = B_{1}t^{n-1} + B_{2}t^{n-2} + \cdots + B_{n}$$

と表せる．ただし, $B_{i} \ (i = 1,2,\ldots,n)$ は $n$ 次の正方行列． また余因子行列の性質より

$$(A - tI)B(t) = \Phi_{A}(t)I$$

または

$$(A - tI)(B_{1}t^{n-1} + B_{2}t^{n-2} + \cdots + B_{n}) = ( t^{n} + c_{1}t^{n-1} + \cdots + c_{n})I .$$

これより

$$\begin{array}{rrl} -B_{1} &=& I,\\ -B_{2} + AB_{1} &=& c_{1}I,\\ \vdots&&\vdots\\ AB_{n}&=&c_{n}I \end{array}$$

を得る．両辺に上から順に $A^{n},A^{n-1},\ldots,I$ をかけて加えると

$$\emph{ 0} = A^{n} + c_{1}A^{n-1} + \cdots + c_{n}I = \Phi_{A}(A). \ensuremath{\ \blacksquare}$$

固有空間

私たちの主題は正方行列 $A$ を正則行列 $P$ によって簡単な行列に変換すること, つまり $A$ に相似な簡単な行列 $B = P^{-1}AP$ を見つけることでした．そのための準備として次のようなベクトル空間を考えます．

$n$ 次の正方行列 $A$ の固有値$\lambda$ に対する固有ベクトル全体と $\emph{ 0}$ベクトルからなる集合

$$V(\lambda) = \{{\mathbf x} : (A - \lambda I){\mathbf x} = \emph{ 0}\}$$

を, $\lambda$ に対する 固有空間(eigenspace) といいます．これは ${\mathbf x}$ を未知ベクトルとする方程式

$$(A - \lambda I){\mathbf x} = \emph{ 0}$$

の解ベクトルからつくられる解空間と同じです．よって定理2.9より

$$\dim V(\lambda) = n - {\rm rank}(A - \lambda I)$$

となります．

演習問題3-4

1. ${\mathcal R}^{2}$ の基底 $\{\emph{ v}_{1} = \left(\begin{array}{r} 1\\ -1 \end{array}\right), \emph{ v}_{2} = \left(\begin{array}{r} 1\\ 1 \end{array}\right) \}$ から一般の基底 $\{\emph{ w}_{1} = \left(\begin{array}{r} 3\\ 1 \end{array}\right), \emph{ w}_{2} = \left(\begin{array}{r} -1\\ 2 \end{array}\right) \}$ への変換行列 $P$ を求めよ．

2. $R^{n}$ の基底 $\{\emph{ v}_{i}\}$ から $\{\emph{ w}_{i}\}$ への変換行列 $P$ は $n$ 次の正則行列であることを示せ．

3. 次の行列の固有値と固有空間を求めよ．

(a) $\left(\begin{array}{rr} 3&-1\\ 1&1 \end{array}\right)$ (b) $\left(\begin{array}{rrr} 2&1&0\\ 0&1&-1\\ 0&2&4 \end{array}\right)$ (c) $\left(\begin{array}{rrr} 1&4&-4\\ -1&-3&2\\ 0&2&-1 \end{array}\right)$

4. $A^{2} = A$ を満たす$n$ 次の正方行列 $A$ の固有値を求めよ．

5. 行列 $A$ の固有値を $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ とすると, $A^{m}$ の固有値は $\lambda_{1}^{m}, \lambda_{2}^{m}, . . , \lambda_{n}^{m}$ であることを証明せよ．

6. $A = \left(\begin{array}{rr} 3&1\\ -1&1 \end{array}\right)$ とするとき, ケイリー・ハミルトンの定理をもちいて $A^{4},A^{-1}$ を求めよ．

7. $X$ を2次の行列とするとき, $X^{2} - 3X + 2I = 0$ を満たす$X$ をすべて求めよ．