合成法則と積分方程式(Convolution and Integral equation)

ラプラス変換の章を閉じる前にもうひとつ紹介しなければならない法則，合成法則があります．まず合成積(convolution)を定義します．

定義 5..5  

関数 $f(t), g(t)$は区分的に連続な関数であるとする．そのとき合成積 $f(t) \ast g(t)$は次のように定義される．

$$f(t) \ast g(t) = \int_{0}^{t}f(t-\tau)g(\tau)d\tau.$$

例題 5..27  

$\sin{t}$と$\cos{t}$の合成積を求めよ．

解

$$(\sin{t}) \ast (\cos{t}) = \int_{0}^{t}\sin{(t-\tau)}\cos{\tau} d\tau$$

$$= \frac{1}{2}\int_{0}^{t}(\sin{t} + \sin{(t-2\tau)})d\tau$$

$$= \frac{\tau\sin{t}}{2}\mid_{0}^{t} + \frac{\cos{(t-2\tau)}}{4}\mid_{0}^{t}$$

$$= \frac{t\sin{t}}{2}. \ensuremath{ \blacksquare}$$

定理 5..9 (合成法則)   $f(t), g(t)$が区分的に連続な関数で，指数位数の関数ならば，

$${\cal L}\{f(t) \ast g(t)\} = F(s)G(s).$$

証明

$${\cal L}\{f \ast g\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}[\int_{0}^{t}f(t-\tau)g(\tau)d\tau]dt$$

$$= \int_{0}^{\infty}e^{-st}[\int_{0}^{\infty}u_{\tau}(t)f(t-\tau)g(\tau)d\tau]dt$$

ここで内側の積分は $u_{\tau}(t)$を挿入することにより無限積分に拡張された． 次に積分順序の交換を行なうと

$${\cal L}\{f \ast g\} = \int_{0}^{\infty}g(\tau)[\int_{0}^{\infty}u_{\tau}(t)e^{-st}f(t-\tau)dt]d\tau$$

$$= \int_{0}^{\infty}[e^{-\tau s}F(s)]d\tau$$

$$= F(s)\int_{0}^{\infty}e^{-\tau s}g(\tau)d\tau$$

$$= F(s)G(s). \ensuremath{ \blacksquare}$$

系 5..2  

$${\cal L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = f(t) \ast g(t).$$

この定理より証明を引き伸ばしてきた積分法則の証明が示せます．

系 5..3   $f(t)$が区分的に連続で指数位数の関数ならば

$${\cal L}\{\int_{0}^{t}f(u)du\} = \frac{{\cal L}\{f(t)\}}{s}$$

証明 $f_{1}(t) = 1, f_{2}(t) = f(t)$とおくと，合成法則より

$${\cal L}\{f_{1} \ast f_{2}\} = {\cal L}\{\int_{0}^{t}f(u)du \} = ... ..._{1}\}{\cal L}\{f_{2}\} = \frac{{\cal L}\{f\}}{s}. \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 5..28  

合成法則を用いて次のラプラス逆変換を求めよ．

$${\cal L}^{-1}\{\frac{1}{s(s^2+1)}\}.$$

解

$$\frac{1}{s(s^2+1)} = \frac{1}{s}\cdot \frac{1}{s^2+1} = F(s)G(s)$$

と表わせる．また

$${\cal L}^{-1}\{F(s)\} = {\cal L}^{-1}\{\frac{1}{s}\} = 1,$$

$${\cal L}^{-1}\{G(s)\} = {\cal L}^{-1}\{\frac{1}{s^2 + 1}\} = \sin{t}$$

より

$${\cal L}^{-1}\{\frac{1}{s(s^2 + 1)}\} = 1 \ast \sin{t}$$

$$= \int_{0}^{t} \sin{\tau} d\tau$$

$$= 1 - \cos{t} . \ensuremath{ \blacksquare}$$

最後に合成法則の積分方程式(integral equation)への応用を紹介しましょう．積分方程式とは未知関数として積分を含んだ方程式のことです．

例題 5..29  

次の方程式を満たす関数$y$を求めよ．

$$y(t) = t + \int_{0}^{t}\sin{(t - \tau)}y(\tau)d\tau .$$

解 両辺にラプラス変換を施すと，

$$Y(s) = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s^2 + 1}Y(s) .$$

$Y(s)$について解くと，

$$Y(s) = \frac{s^2 +1}{s^4} = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s^4} .$$

したがって

$$y(t) = {\cal L}^{-1}\{Y(s)\} = t + \frac{t^3}{6} . \ensuremath{ \blacksquare}$$