線形微分方程式(Linear differential equation)

1階線形微分方程式は

$$a_{1}(x)y^{\prime} + a_{0}(x)y = f(x)$$

または標準形

$$y^{\prime} + P(x)y = Q(x)$$

または全微分形

$$(P(x)y - Q(x))dx + dy = 0$$

で表わすことができます．ここで $M(x,y) = P(x)y - Q(x), N(x,y) = 1$より $M_{y}, N_{x}$を求めると

$$M_{y} = P(x), N_{x} = 0$$

よって $(1/N)[M_{y} - N_{x}] = P(x)$は$x$だけの関数です． そこで前節で学んだように積分因子を求めると

$$\mu = e^{\int P(x)dx}$$

となります．この積分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$を標準形 $y^{\prime} + P(x)y = Q(x)$にかけると

$$y^{\prime}e^{\int P(x)dx} + P(x)ye^{\int P(x)dx} = Q(x)e^{\int P(x)dx}$$

となり，左辺は $ye^{\int P(x)dx}$の導関数より

$$ye^{\int P(x)dx} = \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + c .$$

よって一般解は

$$y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + c)$$

で与えられます．

1階線形微分方程式の解は上に示した公式で求められますが，この公式から解を求めるのはあまり推薦できません．それよりも，次の例題で示すように積分因子が $e^{\int P(x)dx}$であることを使って解を求めるほうがよいでしょう．

例題 1..17  

$xy^{\prime} + 2y = x^{2}$を解け．

解 この方程式は1階の線形です．標準形に直すと

$$y^{\prime} + \frac{2}{x}y = x$$

積分因子$\mu$は

$$\mu = e^{\int \frac{2}{x}}dx = e^{2\log{x}} = x^{2} .$$

これを標準形にかけると

$$x^{2}y^{\prime} + 2xy = x^{3} .$$

このとき左辺は積分因子かける従属変数$y$の導関数なので

$$\frac{d(x^{2}y)}{dx} = x^{3} .$$

この両辺を$x$で積分すると

$$x^{2}y = \int x^{3}dx = \frac{x^{4}}{4} + c .$$

よって一般解は

$$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{c}{x^{2}}$$

となる． $\blacksquare$

次の例題はKirchhoffの第2法則(Kirchhoff's 2nd law)を用いて$RL$回路とよばれている電気回路を流れる電流を求めます．そこで復習．

電気抵抗$R$オーム，インダクタンス$L$ヘンリー，容量$C$ファラデー，起電力$E$ボルトの電気回路に$i$アンペアの電流を流したとき，抵抗素子，コイル，コンデンサーを通るときの電圧降下は

図: RLC 直列回路

$$\begin{array}{l} 1. v_{R} = Ri\\ 2. v_{L} = L\frac{di}{dt}\\ 3. v_{C} = \frac{1}{C}\int idt \end{array}$$ で与えられます．またKirchhoffの第2法則とはひとつの網目に沿った電圧の降下の総和と，電圧の上昇の総和は等しいことです．よって

$$v_{R} + v_{L} + v_{C} = E .$$

または

$$L\frac{di}{dt} + R_{i} + \frac{1}{C}\int idt = E .$$

または

$$L\frac{di}{dt} + R_{i} + \frac{1}{C}\int idt = E .$$

例題 1..18  

$R, L, E$が定数, $i(0) = I_{0}$の$LR$回路に流れる電流を求めよ．

解 Kirchhoffの第2法則より

$$L\frac{di}{dt} + Ri = E .$$

標準形に直すと

$$\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}i = \frac{E}{L} .$$

これより積分因子$\mu$は$e^{Rt/L}$となる．積分因子を標準形にかけて整理すると

$$d(e^{Rt/L}i) = \frac{E}{L}e^{Rt/L}dt .$$

よって一般解は

$$i = \frac{E}{R} + ce^{-Rt/L}$$

となる．ここで初期条件を用いると， $i(0) = I_{0}$より $c = I_{0} - (E/R)$. よって

$$i = \frac{E}{R} + (I_{0} - \frac{E}{R})e^{-Rt/L} . \ensuremath{ \blacksquare}$$