ラプラス変換の存在

ラプラス変換はどのような関数に対しても存在するわけではありません．たとえば, $f(t) = e^{t^2}$のラプラス変換は存在しません．なぜなら

$$\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{t^2}dt = e^{-\frac{s^2}{4}}\int_{0}^{\... ...s}{2})^2}dt = e^{-\frac{s^2}{4}}\int_{-\frac{s}{2}}^{\infty}e^{u^2}du = \infty$$

ではどんなときラプラス変換は存在するのでしょうか．この疑問に答えるための準備として,次の定義をみてみましょう．

定義 5..2 (指数位数)   $t \geq t_{0}$のとき $\vert f(t)\vert \leq Me^{at}$を満たす定数$M,a$が存在するとき,関数$f(t)$は指数位数(exponential order)または指数位数$a$であるという．

例題 5..8   次の関数のうち指数位数のものをあげよ．
$(a) \ e^{5t} \ \ \ \ (b) \ t^3 \ \ \ \ (c) \ \sin{e^{t^2}} \ \ \ \ (d) \ e^{t^2}$

解 (a) $a > 5$のとき $e^{5t} < e^{at}$,よって$e^{5t}$は指数位数
(b) $a > 0$のとき $\lim_{t \rightarrow \infty}\frac{t^3}{e^{at}} = 0$,よって$t^3$は指数位数．
(c) $\sin{e^{t^2}} \leq 1 = e^{0t}$より $\sin{e^{t^2}}$は指数位数．
(d) $\lim_{t \rightarrow \infty}\frac{e^{t^2}}{e^{at}} = \infty$より,$e^{t^2}$は指数位数でない． $\ \blacksquare$

定義 5..3 (区分的に連続)   有限な区間$I$で定義された関数$f(t)$が次の条件を満たすとき,$f(t)$は区間$I$で区分的に連続(piecewise continuous function)であるという．
${\rm (i)} \ f(t)$は区間$I$で有限個の点を除いて連続である．
${\rm (ii)} \ f(t)$の不連続点$t_{0}$では,左側および右側極限値が存在する．

例題 5..9   下の図は区分的に連続な関数の一例です．

図: 区分的に連続な関数

定理 5..1   任意の$t > 0$に対して,関数$f(t)$が区間$[0,t]$で区分的に連続かつ指数位数$a$ならば,$f(t)$のラプラス変換は存在する．

証明 $f(t)$は指数位数$a$より, $t \geq t_{0}$のとき

$$\vert f(t)\vert < M_{1}e^{at}$$

を満たす$M_{1},a$が存在する．また$f(t)$は区分的に連続より,$\vert f(t)\vert$は$[0,t_{0}]$で有界．よって

$$\vert f(t)\vert < M_{2} \leq M_{2}e^{\vert a\vert t}, \ (0 \leq t \leq t_{0}).$$

$M$を$M_{1}$と$M_{2}$の大きい方とすると

$$\vert f(t)\vert < Me^{\vert a\vert t} \ (t \geq 0).$$

これより

$$\vert\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt\vert \leq \int_{0}^{\infty}\v... ...nfty}Me^{(\vert a\vert-s)t}dt = \frac{M}{s-\vert a\vert}, \ (s > \vert a\vert)$$

したがって,$f(t)$のラプラス変換は存在する． $\ \blacksquare$