ラプラス逆変換(Laplace inverse transform)

ラプラス変換$F(s)$が与えられたとき，ラプラス変換が$F(s)$となるような関数$f(t)$を求める準備ができました．

定義 5..4  

${\cal L}\{f(t)\} = F(s)$となるような$t$の関数$f(t)$が存在するとき，$f(t)$を$F(s)$のラプラス逆変換といい，次のようにあらわします．

$${\cal L}^{-1}[F(s)] = f(t) .$$

ラプラス逆変換を求めるとき，次の変換表は便利です．

表: ラプラス逆変換表

$F(s)$	$f(t) = {\cal L}^{-1}\{F(s)\}$
$\frac{1}{(s-a)^{n}}$	$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{at}$
$\frac{s-a}{(s-a)^2 + b^2}$	$e^{at}\cos{bt}$
$\frac{b}{(s-a)^2 + b^2}$	$e^{at}\sin{bt}$

例題 5..22  

次の関数のラプラス逆変換を求めよ．

$$Y(s) = \frac{ 1 - e^{-\pi s}}{s(s^2 + 2s + 5)}.$$

解

$$Y(s) = \frac{1}{s(s^2 + 2s +5)} - \frac{e^{-\pi s}}{s(s^2 + 2s + 5)}$$

より，まず $\frac{1}{s(s^2 + 2s +5)}$の逆変換を求める．
$\frac{1}{s(s^2 + 2s +5)}$を部分分数分解すると

$$\frac{1}{s(s^2 + 2s +5)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 2s + 5}.$$

ここで定数$A,B,C$の求め方はいろいろありますが，ここでは次のようにして求めます．

$$A = s(\frac{1}{s(s^2 + 2s +5)})\mid_{s=0},$$

$$(Bs + C)\mid_{s^2+2s+5 = 0} = (s^2+2s+5)\frac{1}{s(s^2 + 2s +5)})\mid_{s=-1+2i} = \frac{1}{s}\mid_{s=-1+2i}.$$

これより　

$$A = \frac{1}{5}, B = -\frac{1}{5}, C = -\frac{2}{5}.$$

よって

$${\cal L}^{-1}[\frac{1}{s(s^2 + 2s +5)}] = {\cal L}^{-1}[\frac{1/5}{s}] -\frac{1}{5}\frac{s+2}{s^2+2s +5}$$

$$= \frac{1}{5} -\frac{1}{5}{\cal L}^{-1}[\frac{s+1+1}{(s+1)^2 + 2^2}]$$

$$= \frac{1}{5} -\frac{1}{5}(e^{-t}\cos{2t}+\frac{1}{2}e^{-t}\sin{2t}) .$$

次に $\frac{e^{-\pi s}}{s(s^2+2s+5)}$の逆変換は第２移動法則をつかって求める．第２移動法則より

$${\cal L}^{-1}[\frac{e^{-\pi s}}{s(s^2+2s+5)}] = u_{\pi}(t)f(t-\pi),$$

ただし，

$$f(t) = {\cal L}^{-1}[\frac{1}{s(s^2 + 2s +5)}] = \frac{1}{5} -\frac{1}{5}(e^{-t}\cos{2t}+\frac{1}{2}e^{-t}\sin{2t}).$$

よって

$${\cal L}^{-1}[\frac{e^{-\pi s}}{s(s^2+2s+5)}] = u_{\pi}(t)f(t-\pi)$$

$$= u_{\pi}(t)(\frac{1}{5} - \frac{1}{5}(e^{-(t-\pi)}(\cos{2(t-\pi)}+\frac{\sin{2(t-\pi)}}{2})))$$

となり，これより

$$y(t) = {\cal L}^{-1}[Y(s)] = \frac{1}{5} -\frac{1}{5}(e^{-t}\cos{2t}+\frac{1}{2}e^{-t}\sin{2t})$$

$$+ u_{\pi}(t)(\frac{1}{5} - \frac{1}{5}(e^{-(t-\pi)}(\cos{2(t-\pi)}+\frac{\sin{2(t-\pi)}}{2}))) . \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 5..23  

$F(s) = \frac{1}{(s-2)^{2}(s^2-2s-3)}$のとき ${\cal L}^{-1}[F(s)]$を求めよ．

解 $F(s)$を部分分数分解を用いて展開すると

$$F(s) = \frac{A}{s-2} + \frac{B}{(s-2)^{2}} + \frac{C}{s-3} + \frac{D}{s+1}$$

これより$A,B,C,D$を求めると，

$$B = (s-2)^{2}(\frac{1}{(s-2)^{2}(s^2-2s-3)})\mid_{s=2} = -\frac{1}{3}$$

$$A = \{(s-2)^{2}(\frac{1}{(s-2)^{2}(s^2-2s-3)})\}^{\prime}\mid_{s=2} = -\frac{2}{9}$$

$$C = (s-3)(\frac{1}{(s-2)^{2}(s+1)(s-3)})\mid_{s=3} = \frac{1}{4}$$

$$D = (s+1)(\frac{1}{(s-2)^{2}(s+1)(s-3)})\mid_{s=3} = -\frac{1}{36}$$

よって

$${\cal L}^{-1}\{F(s)\} = -\frac{2e^{2t}}{9} - \frac{te^{2t}}{3} + \frac{e^{3t}}{4} - \frac{e^{-t}}{36} . \ensuremath{ \blacksquare}$$