演習問題

1. 次の微分方程式の特異点をみつけ分類せよ．
$(a) \ x^2 y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + y = e^{x}$
$(b) \ x(x-1)^{3}y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + (x-1)^{2}y = 0$
$(c) \ (2 - x)y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + \frac{y}{(x-2)^{2}} = 0$
2. 次の微分方程式の$x = 0$のまわりでの級数解をひとつ求めよ．
$(a) \ x^2 y^{\prime\prime} + xy^{\prime} +(x^2 - 4)y = 0$
$(b) \ xy^{\prime\prime} + y^{\prime} + xy = 0$
$(c) \ 4x^2 y^{\prime\prime} - 2x(x-2)y^{\prime} - (3x+1)y = 0$
3. 次の微分方程式の付記した点のまわりでの整級数解を求めよ．
$(a) \ (1-x^2)y^{\prime\prime} -2xy^{\prime} + n(n+1)y = 0, \ a= 0$
この方程式は$n$次のLegendreの方程式といいます．
$(b) \ (1-x^2)y^{\prime\prime} -2xy^{\prime} + 12y = 0, \ a= 1$
$(c) \ x^2 y^{\prime\prime} + xy^{\prime} + (x^2 -\nu^{2}) y = 0, \ a = 0$
この方程式は$\nu$次のBesselの方程式といいます．