基本法則(Fundamental law)

ラプラス変換の基本法則について考える前に，簡単な変換の例として対数関数を考えてみましょう．対数をとると積・商・累乗がより簡単な和・差・積に変わります．ラプラス変換も大まかにいうと同じような働きをします．つまり，ラプラス変換をとると微分・積分・指数関数の積が$s$での積・$s$での商・そして移動に変わります．これらの性質と線形性によりラプラス変換は簡単に計算できるので応用範囲が広がり，便利な道具として発展してきました．

定理 5..2 (線形法則)   任意の定数 $c_{1},c_{2}$に対して，

$${\cal L}\{c_{1}f(t) + c_{2}g(t)\} = c_{1}{\cal L}\{f(t)\} + c_{2}{\cal L}\{g(t)\}.$$

証明

$${\cal L}\{c_{1}f(t) + c_{2}g(t)\} \equiv \int_{0}^{\infty}e^{-st}\{c_{1}f(t) + c_{2}g(t)\}dt$$

積分の線形性より

$${\cal L}\{c_{1}f(t) + c_{2}g(t)\} = c_{1}\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt + c_{2}\int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)dt$$

$$= c_{1}{\cal L}\{f(t)\} + c_{2}{\cal L}\{g(t)\} . \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 5..10  

${\cal L}\{t^2 - 2t - 5\}$を求めよ．

解 線形法則より

$${\cal L}\{t^2 - 2t - 5\} = {\cal L}\{t^2\} -2{\cal L}\{t\} - {\cal L}\{5\}$$

$$= \frac{2}{s^3} - \frac{2}{s^2} - \frac{5}{s}. \ensuremath{ \blacksquare}$$

定理 5..3 (第1移動法則)   $s > \alpha$のとき ${\cal L}\{f(t)\} = F(s)$ならば，

$${\cal L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a), (s > a+\alpha)$$

(注) $F(s-a)$とは$F(s)$を$a > 0$のときは右に$a$だけ移動し，$a < 0$のときは左に$\vert a\vert$だけ移動することです．

証明

$${\cal L}\{e^{at}f(t)\} = \int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}f(t)dt$$

$$= \int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}dt$$

$$= F(s-a), (s > a + \alpha) . \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 5..11  

${\cal L}\{te^{-t}\}$を求めよ．

解 表5.1より$t$のラプラス変換は$1/s^2$．よって第1移動法則より，

$${\cal L}\{te^{-t}\} = \frac{1}{(s+1)^2}, s > -1 . \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 5..12  

${\cal L}\{e^{2t}\cos{t}\}$を求めよ．

解 表5.1より$\cos{t}$のラプラス変換は$s/(s^2+1)$．よって第1移動法則より

$${\cal L}\{e^{2t}\cos{t}\} = \frac{s-2}{(s-2)^2 + 1}, s > 1 . \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 5..13  

${\cal L}\{f(t)\} = e^{-2s}/(s+2), s > -2$のとき， ${\cal L}\{e^{3t}f(t)\}$を求めよ．

解 $e^{3t}f(t)$のラプラス変換は$f(t)$のラプラス変換$F(s)$の$s$を$s-3$に置き換えることによって得られる．したがって

$${\cal L}\{e^{3t}f(t)\} = \frac{e^{-2(s-3)}}{s-1}, s > 2 . \ensuremath{ \blacksquare}$$

定理 5..4 (第２移動法則)   任意の正の数$a$に対して

$${\cal L}\{u_{a}(t)f(t-a)\} = e^{-as}{\cal L}\{f(t)\},$$

$${\cal L}\{u_{a}(t)f(t)\} = e^{-as}{\cal L}\{f(t+a)\}.$$

証明

$$e^{-as}F(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-s(\tau + a)}f(\tau)d\tau .$$

ここで $\tau = t -a$とおくと

$$e^{-as}F(s) = \int_{a}^{\infty}e^{-st}f(t-a)dt$$

$$= \int_{0}^{\infty}e^{-st}u_{a}(t)f(t-a)dt$$

$$= {\cal L}\{u_{a}(t)f(t-a)\} . \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 5..14  

$t^{2}u_{3}(t)$のラプラス変換を求めよ．

解 $t^{2}$を$t = 3$についてTaylor展開すると，

$$t^2 = (t-3+3)^2 = (t-3)^2 +6(t-3) + 9$$

よって

$${\cal L}\{t^{2}u_{3}(t)\} = {\cal L}\{(t-3)^{2}u_{3}(t)\} + {\cal L}\{6(t-3)u_{3}\} + {\cal L}\{9u_{3}(t)\}$$

$$= e^{-3s}{\cal L}\{t^2\} + 6e^{-3s}{\cal L}\{t\} + 9{\cal L}\{u_{3}(t)\}$$

$$= \frac{2e^{-3s}}{s^3} + \frac{6e^{-3s}}{s^2} + \frac{9e^{-3s}}{s}. \ensuremath{ \blacksquare}$$

別解

$${\cal L}\{t^{2}u_{3}(t)\} = e^{-3s}{\cal L}\{(t+3)^{2}\} = e^{-3s}{\cal L}\{t^2 + 6t + 9 \}$$

$$= e^{-3s}(\frac{2}{s^3} + \frac{6}{s^2} + \frac{9}{s}) . \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 5..15  

$f(t) = \left\{\begin{array}{rl} 2,& 0 \leq t \leq 4\\ t,& 4 < t \end{array}\right.$のラプラス変換を求めよ．

解 $f(t)$を単位ステップ関数を用いて表わすと

$$f(t) = 2(u_{0}(t) - u_{4}(t)) + tu_{4}(t) = 2u_{0}(t) + (t-2)u_{4}(t) .$$

よって

$${\cal L}\{f(t)\} = 2{\cal L}\{u_{0}(t)\} + {\cal L}\{(t-2)u_{4}(t)\}$$

$$= \frac{2}{s} +e^{-4s}{\cal L}\{t+2\} = \frac{2}{s} + \frac{e^{-4s}}{s^2} + \frac{2e^{-4s}}{s} . \ensuremath{ \blacksquare}$$