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関数の定義(definition of function)

2つの集合の間の関係を決める規則を関数といいます．ここでは，実数の集合を考えます． $ {\mathcal R}$ を実数全体の集合とします．

ある実数の集合 $ D$ に属する各数 $ x$ に対して，実数 $ y$ が1つ定まるような規則 $ f$ を $ D$ から $ {\mathcal R}$ への 1価関数(single-valued function)，または単に関数といいます．また，各数 $ x$ に対して，実数 $ y$ が2つ以上定まるような規則を 多価関数(multi-valued function) といい, 共に $ f : D \longrightarrow {\mathcal R}$ で表わし， $ y$ は $ x$ の関数であるといい， $ y = f(x)$ で表わします．このとき， $ x$ を独立変数， $ y$ を従属変数といいます．

例題 1..1  

$ -1 \leq x \leq 1$ の各数 $ x$ に対して，実数 $ y$ が $ x$ の 2乗を 4倍したものと， $ x$ の 3乗を -3倍したものの和となるように定めた規則 $ f$ は 1価関数でしょうか．また， $ f(x)$ を求めてみましょう．

解 各数 $ x$ に対して， $ 4x^2 - 3x^3$ という実数 $ y$ が1つ定まるので $ f$ は1価関数です．また， $ f(x) = 4x^2 - 3x^3$ となります． $ \blacksquare$

このように変数 $ x$ と定数との間に足し算，引き算，掛け算という3つの演算を用いて得られた関数 $ f(x) = 4x^2 - 3x^3$ を整式といいます．また， $ f(x)$ を $ x$ の2乗の6倍と $ x$ を3倍したものの和で割って得られる関数

$\displaystyle g(x) = \frac{f(x)}{6x^2 + 3x} = \frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x}$

を有理関数といいます．さらに， $ g(x)$ の平方根をとって得られる関数

$\displaystyle h(x) = \sqrt{g(x)} = \sqrt{\frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x}} $

を無理関数といいます．

上の関数の定義にでてきた $ D$ を関数 $ f$ の 定義域(domain) といい $ D(f)$ で表わします．つまり， $ D(f)$ は $ f(x)$ が実数となるような実数 $ x$ の集合のことです．そこで，これを

$\displaystyle D(f) = \{x \in {\mathcal R} : f(x) \in {\mathcal R}\} $


と表わします．ここで， $ x \in R$ とは， $ x$ は $ R$ の元である．つまり $ x$ は実数であることを意味しています．

また， $ f(x)$ を $ x$ の 像(image) といい，その集合を 値域(range) といい $ R(f)$ で表わします．つまり，

$\displaystyle R(f) = \{y \in {\mathcal R} : y = f(x), x \in D(f) \} $


これら $ x$ と $ f(x)$ を $ xy$ 平面上に点として描いていくと，関数 $ f$ のグラフとよばれるものができます．つまり，集合 $ \{(x,y) : y = f(x), x \in D(f) \}$ が関数 $ f$ の グラフ(graph) で， $ G(f)$ で表わします．

例題 1..2  

$ \displaystyle{g(x) = \frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x}}$ の定義域を求めてみましょう．

解

$\displaystyle D(g) = \{x \in R: g(x) \in R\} = \{x \in R: \frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x} \in R \} $

ここで， $ \displaystyle{\frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x}}$ が実数になるには分母が $ 6x^2 + 3x \neq 0$ であることに注意すると， $ 6x^2 + 3x = 3x(2x + 1) \neq 0$ より

$\displaystyle D(g) = \{x : x \neq 0, -\frac{1}{2} \} = (-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, 0) \cup (0, \infty) \ensuremath{ \blacksquare}$

例題 1..3  

$ \displaystyle{f(x) = \sqrt{x^{2} - 1}}$ の定義域と値域を求め， $ f(x)$ のグラフを描いてみましょう．

解

$\displaystyle D(f)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{x \in R : f(x) \in R\} = \{x \in R:\sqrt{x^2 - 1} \in R\} = \{x : x^2 - 1 \geq 0\}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle (-\infty, -1] \cup [1,\infty)$  

また値域は

$\displaystyle R(f) = \{y \in R:y = f(x), x \in D(f)\} = \{y \in R: 0 \leq y\} $

となり，そのグラフは図1.1 で与えられます． $ \blacksquare$

図 1.1: f(x)のグラフ
\begin{figure}\begin{center} \includegraphics[width=6cm]{CALCFIG/Fig1-1-1.eps} \end{center}\end{figure}

さて，関数 $f(x)，g(x)$ の作られ方をみていると， $ f(x)$ と $ g(x)$ の間に四則の演算を定義することができるでしょう．

定義 1..1  

$ x \in D(f) \cap D(g)$ のとき，
$ \displaystyle{(1) (f + g)(x) = f(x) + g(x)}$
$ \displaystyle{(2) (fg)(x) = f(x)g(x)}$
$ \displaystyle{(3) \frac{f}{g}(x) = \frac{f(x)}{g(x)} (g(x) \neq 0)}$


例題 1..4  

区分的に定義された次の2つの関数の和，差，積を求めよう．

$\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 - x^{2}, & x \leq 0\\ x, & x >... ...= \left\{\begin{array}{ll} -2x, & x < 1\\ 1 - x, & x \geq 1 \end{array}\right.$

解 区分的に定義された関数の和，差，積を求めるには，２つの関数の区分を同じにする必要があります．つまり，

$\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 - x^{2}, & x \leq 0\\ x, & 0 <... ...ll} -2x, & x \leq 0\\ -2x, & 0 < x < 1\\ 1 - x, & x \geq 1 \end{array}\right.$

とします．こうすれば，後は対応する区分での和，差，積をとればよいことになります．したがって，
$\displaystyle f(x) + g(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} 1-2x-x^{2}, & x \leq 0\\ -x, & 0 < x < 1\\ 1, & x \geq 1 \end{array}\right.$  
$\displaystyle f(x) - g(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} 1+2x-x^{2}, & x \leq 0\\ 3x, & 0 < x < 1\\ -1 + 2x, & x \geq 1 \end{array}\right.$  
$\displaystyle f(x)g(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} -2x+2x^{3}, & x \leq 0\\ -2x^{2}, & 0 < x < 1\\ x-x^{2}, & x \geq 1 \end{array}\right.$  

となります． $ \blacksquare$

合成関数(composite functions)

1.1 で関数どうしの四則の演算について学びました．ここでは関数どうしのつなぎ方として，合成法則(composition) とよばれる方法について考えます．

まず， $ f(x)$ と $ g(x)$2つの関数を用意します．次に任意の $ x$ に対して規則 $ g$ を用いて1つの実数 $ g(x)$ を取り出します．もしこの $ g(x)$ が関数 $ f(x)$ の定義域に入っていれば，規則 $ f$ を用いて1つの実数 $ f(g(x))$ を取り出すことができるでしょう．ところで，この実数 $ f(g(x))$ は何なのでしょうか．

もし $ g(x)$ の値域が $ f(x)$ の定義域に含まれていれば， $ g(x)$ の定義域内の各数 $ x$ に対して， $ f(g(x))$ を作ることができます．これは $ g(x)$ の定義域内の各数 $ x$ に対し，ただ1つの実数 $ f(g(x))$ を定める規則と考えられます．よってこの規則を $ f$ と $ g$ の 合成関数(composite function) といい， $ f \circ g$ で表わすと $ (f \circ g)(x) = f(g(x))$ となります．

例題 1..5  

$ \displaystyle{f(x) = x^2 - 5}$， $ \displaystyle{g(x) = \frac{1}{x} + 1}$ のとき $ (f \circ g)(x), (g \circ f)(x)$ を求めてみましょう．

解

$\displaystyle (f \circ g)(x) = f(g(x)) = (g(x))^2 - 5 = (\frac{1}{x} + 1)^2 - 5 $

となり，また $ (g \circ f)(x)$ を求めると

$\displaystyle (g \circ f)(x) = g(f(x)) = \frac{1}{f(x)} + 1 = \frac{1}{x^2 - 5} + 1 = \frac{x^2 -4}{x^2 - 5} $

となります． $ \blacksquare$

このように，合成の順序を変えると答が違ってくることがあります．これは実生活の中でも経験します．例えば，$ 10,000$ 円の商品を $ 1$ 割増しにしたものを $ 1,000$ 円引で売るのと，$ 1,000$ 円引にしてから $ 1$ 割増しにするので値段が違うことと同じ関係です．

逆関数(inverse functions)

関数 $ f$ の定義域 $ D(f)$ 内の任意の2数 $ x_{1},x_{2}$ に対して，

$\displaystyle x_{1} \neq x_{2} \Longrightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}) $

が成り立つとき， $ f$ は 1対1の関数(one-to-one function) であるといいます．ここで $ x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})$ とは， $ x_{1}$ と $ x_{2}$ が異なるならば， $ f(x_{1})$ と $ f(x_{2})$ は異なることを意味しています．この場合，値域 $ {\mathcal R}(f)$ の各数 $ y$ に対して， $ y = f(x)$ であるような $ x$ を1つ定めるような規則が考えられます(なぜでしょうか)．これを $ f$ の 逆関数(inverse function) とよび， $ f$ には逆関数が存在するといいます．また， $ f$ の逆関数を $ f^{-1}$ で表わします．$ f^{-1}$ の定義域は $ {\mathcal R}(f)$ で値域は $ D(f)$ です．つまり，

$\displaystyle f^{-1} : {\mathcal R}(f) \longrightarrow D(f), x = f^{-1}(y) \Leftrightarrow y = f(x) $

です．なお，このとき $ f^{-1}$ の独立変数は $ y$ で，従属変数は $ x$ ですが，独立変数を表わすときは $ x$ を使うのになれているので， $ x$ と $ y$ を入れ替えて $ y = f^{-1}(x)$ と表わすことがよくあります．つまり，

$\displaystyle y = f^{-1}(x) \Leftrightarrow x = f(y) $

合成関数を用いて表わすと

$\displaystyle y = f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(f^{-1}(x)) = x $

となります．

例題 1..6  

$ \displaystyle{y = f(x) = x^3 + 1}$ は 1対1の関数か調べてみましょう．

解 1対1であるためには

$\displaystyle x_{1} \neq x_{2} \Longrightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}) $

を示せばよいのですが，実際の問題ではこの対偶をとって

$\displaystyle f(x_{1}) = f(x_{2}) \Longrightarrow x_{1} = x_{2} $

を示すほうが簡単です．そこで
$\displaystyle f(x_{1}) = f(x_{2})$ $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle x_{1}^3 + 1 = x_{2}^3 + 1$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle x_{1}^3 = x_{2}^3$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle (x_{1} - x_{2})(x_{1}^2 + x_{1}x_{2} + x_{2}^2) = 0$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle (x_{1} - x_{2})[(x_{1} + \frac{x_{2}}{2})^2 + \frac{3x_{2}^2}{4}] = 0$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle x_{1} = x_{2}$  

より $ f(x)$ は1対1の関数であることが示せました． $ \blacksquare$

関数のグラフが描ける場合，$ x$軸と平行に線を引いて，2点以上グラフと交わるとこの関数は1対1ではありません．

もう少しして，微分について学ぶと関数 $ f$ が1対1か調べるのに便利な方法があります． 関数 $ f$ の定義域 $ D(f)$ に含まれる任意の2数 $ x_{1},x_{2}$ に対して，

$\displaystyle x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}) $

が成り立つとき， $ D(f)$ において，関数 $ f$ は 狭義の単調増加関数(strictly increasing function) であるといい，

$\displaystyle x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow f(x_{1}) > f(x_{2}) $

が成り立つとき， $ D(f)$ において，関数 $ f$ は 狭義の単調減少関数(strictly decreasing function) であるといいます． これらをあわせて狭義の単調関数といいます．この定義から明らかなように(なぜなら $ f(x_{1})$ と $ f(x_{2})$ はいつも異なる)，狭義の単調関数は1対1になります．よって次の定理を得ます．

定理 1..1  

[逆関数定理] 狭義の単調増加(または減少)関数 $ f$ に対して，関数 $ f^{-1}$ が存在し，すべての $ x \in R(f)$ に対し

$\displaystyle f(f^{-1}(x)) = x $

が成り立つ．


例題 1..7  

逆関数定理を利用して

$\displaystyle y = f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}, -\infty < x < 2 $

の逆関数 $ f^{-1}$ を求めてみましょう．

解 まず，この関数が1対1の関数であることを示します．

$\displaystyle f(x_{1}) = f(x_{2})$ $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle \frac{3x_{1} + 1}{x_{1} - 2} = \frac{3x_{2} + 1}{x_{2} - 2}$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle 3x_{1}x_{2} - 6x_{1} + x_{2} - 2 = 3x_{1}x_{2} + x_{1} - 6x_{2} - 2$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle -7x_{1} +7x_{2} = 0$  
  $\displaystyle \Longrightarrow$ $\displaystyle x_{1} = x_{2}$  

次に $ f(f^{-1}(x)) = x$ を用います．

$\displaystyle f(f^{-1}(x)) = f(y) = \frac{3y + 1}{y - 2} = x $

これを $ y$ について解くと $ 3y + 1 = xy - 2x $．よって $ \displaystyle{y = f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}}$ となります． $ \blacksquare$

確認問題


1.
$ x$の値が1のとき$ f(x)$の値を求めよう．

(a) $ \displaystyle{f(x) = \vert 2-x\vert}$ (b) $ \displaystyle{f(x) = 4 + 10x - x^{2}}$ (c) $ \displaystyle{f(x) = 1 + \cos{(x-1)}}$

2.
次の関数の定義域と値域を求めよう．

(a) $ \displaystyle{f(x) = x^{2} - 1}$ (b) $ \displaystyle{g(x) = \sqrt{1-x}}$ (c) $ \displaystyle{h(x) = \vert\sin{x}\vert}$

3.
$ y = \frac{1}{x}$および $ y = \sqrt{x}$のグラフをもとに次の関数のグラフの概形を描こう．

(a) $ \displaystyle{y = \frac{1}{x} + 1}$ (b) $ \displaystyle{y = \sqrt{1 - x}}$

4.
次の関数 $ f(x),g(x)$ について， $ (f \circ g)(x)$ と $ g(f(x))$ を求めよう．

(a) $ \displaystyle{f(x) = 2x+5, g(x) = x^{2}}$(b) $ \displaystyle{f(x) = \frac{1}{x}, g(x) = \frac{1}{x}}$

(c) $ \displaystyle{f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}, g(x) = \frac{1}{x^{2}}}$

5.
次の関数は1対1の関数か調べ，もしそうならば，逆関数を求めよう．

(a) $ \displaystyle{f(x) = 7x - 4}$(b) $ \displaystyle{f(x) = (x+1)^{3} + 2}$(c) $ \displaystyle{f(x) = \frac{x}{\vert x\vert}}$

6
関数$ f(x)$は， $ x \in D(f)$で， $ f(-x) = f(x)$を満たすとき偶関数(even function)であるといい， $ f(-x) = -f(x)$を満たすとき奇関数(odd function)であるといいます．次の関数は偶関数か奇関数か調べよう．

(a) $ \displaystyle{f(x) = x^{3}}$(b) $ \displaystyle{f(x) = x(x^{2} + 1)}$

演習問題


1.
次の規則は $ 1$価関数か多価関数か調べよう．

(a) $ \displaystyle{y^{2} = x, x > 0}$ (b) $ \displaystyle{y^{3} = x^2}$

2.
次の関数の定義域を求め， $ f(x)$ のグラフを描こう．

(a) $ \displaystyle{f(x) = \sqrt{4 - x^2}}$ (b) $ \displaystyle{h(x) = \sqrt{\frac{4x^2 - 3x^3}{6x^2 + 3x}}}$

3.
次の関数 $ f(x),g(x)$ について， $ (f \circ g)(x)$ と $ g(f(x))$ を求めよう．

(a) $ \displaystyle{f(x) = 2x - 1, g(x) = x^2 + 1}$

(b) $ \displaystyle{f(x) = \left\{\begin{array}{cl} 1 - x, & x \leq 0\\ x^2, & x > ... ...= \left\{\begin{array}{cl} -x, & x < 1\\ 1 + x, & x \geq 1 \end{array}\right.}$

4.
次の関数の逆関数を求めよう．

(a) $ \displaystyle{f(x) = \frac{1}{x+2}, -2 < x}$ (b) $ \displaystyle{f(x) = x^2 + 4x - 2}$

5.
次の関数は偶関数か奇関数か調べよう．

(a) $ \displaystyle{f(x) = \frac{x^{2}}{1 - \vert x\vert}}$ (b) $ \displaystyle{f(x) = \sin{x}}$

6.
次の問いに答えよう．

(a) 偶関数と偶関数の積と偶関数と奇関数の積はどうなるか．

(b) 偶関数の特徴と奇関数の特徴について述べよう．

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