絶対値の不等式

実数

の絶対値は

$\displaystyle \vert a\vert = \left\{\begin{array}{ll} a & (a \geq 0)\\ -a & (a... ...end{array}\right. \vert a\vert = \max\{a, -a\}, \vert a\vert = \sqrt{a^{2}}$

で与えられます．ここで，2つのギリシャ文字 $\delta$ (デルタ)と $\varepsilon$ (イプシロン)を用います．

まず，不等式

$\displaystyle \vert x\vert < \delta$

を考えます．ただし， $\delta$ は正の数． $\vert x\vert < \delta$ とは，

が原点から $\delta$ の範囲内にあるということです．つまり，

は $-\delta$ から $\delta$ の間にあるということです．したがって，

$\displaystyle \vert x\vert < \delta \Leftrightarrow -\delta < x < \delta$

(0.2)

次に， $\vert x - c\vert < \delta$ とは，が点から $\delta$ の範囲にあるということです．したがって，

$\displaystyle \vert x - c\vert < \delta \Leftrightarrow -\delta < x-c < \delta \Leftrightarrow c -\delta < x < c + \delta$

(0.3)

最後に， $0 < \vert x - c\vert < \delta$ とは， $0 < \vert x - c\vert$ でかつ $\vert x - c\vert < \delta$ であるということです．最初の不等号は $x \neq c$ であるといっています．したがって，

$\displaystyle 0 < \vert x-c\vert < \delta \Leftrightarrow c-\delta < x < c {\rm or} c < x < c + \delta$

(0.4)

となります．

例題 0..9

次の不等式を解いてみましょう．

$\displaystyle \vert x + 2\vert < 3$

解式(3)より，

$\displaystyle \vert x+2\vert < 3 \Leftrightarrow -3 < x+2 < 3 \Leftrightarrow -5 < x < 1$

したがって，不等式の解は

$\blacksquare$

$\varepsilon > 0$ のとき， $\vert a\vert > \varepsilon$ とは，原点からまでの距離が $\varepsilon$ より大きいことを表している．したがって，

$\displaystyle \vert a\vert > \varepsilon \Leftrightarrow a > \varepsilon {\rm or} a < -\varepsilon$

(0.5)

例題 0..10

次の不等式を解いてみましょう．

$\displaystyle \vert 2x + 3\vert > 5$

解式(5)より，

$\displaystyle \vert 2x+3\vert > 5 \Leftrightarrow 2x+3 > 5 {\rm or} 2x+3 < -5$

最初の不等式から

よって

. また，2つ目の不等式から

よって

．したがって，不等式の解は $(-\infty,-4)\cup(1, \infty)$ $\blacksquare$

微分積分学の基本的な不等式の中に，三角不等式(triangle inequality)とよばれるものがあります．

定理 0..1

全ての実数

に対して

$\displaystyle \vert a+b\vert \leq \vert a\vert + \vert b\vert$

が成り立つ．

証明 $\vert x\vert$ を $\sqrt{x^{2}}$ とおくと証明は簡単です．まず，

$\displaystyle (a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \leq \vert a\vert^{2} + 2\vert a\vert\vert b\vert + \vert b\vert^{2} = (\vert a\vert + \vert b\vert)^{2}.$

両辺の平方根をとると，

$\displaystyle \sqrt{(a+b)^{2}} \leq \vert a\vert + \vert b\vert$

ここで，

$\displaystyle \sqrt{(a+b)^{2}} = \vert a+b\vert$

であることに注意すると，不等式が得られる． $\blacksquare$

微分積分学で用いられる不等式には，次のものもあります．

$\displaystyle \vert\vert a\vert - \vert b\vert\vert \leq \vert a - b\vert$

確認問題

1.

次の不等式を解こう．

(a) $\displaystyle{2+3x \leq 5}$ (b) $\displaystyle{\frac{1}{2}(1+x) < \frac{1}{3}(1 - x)}$ (c) $\displaystyle{4(x^{2} - 3x + 2) > 0}$

(d) $\displaystyle{\frac{1}{x} < x}$ (e) $\displaystyle{\frac{x^{2} - 9}{x+1} > 0}$ (f) $\displaystyle{\frac{1}{x-1} + \frac{4}{x-6} > 0}$

2.

どちらが大きいか比較しよう．

$\displaystyle \sqrt{\frac{x}{x+1}}, \sqrt{\frac{x+1}{x+2}}$

3.

次の不等式を解こう．

(a) $\displaystyle{\vert x\vert < 2}$ (b) $\displaystyle{\vert x + 2\vert < \frac{1}{4}}$ (c) $\displaystyle{0 < \vert x-3\vert < 8}$ (d) $\displaystyle{\vert 2x + 5\vert > 3}$

4.

全ての実数

に対して，

$\displaystyle \vert a - b\vert \leq \vert a\vert + \vert b\vert$

が成り立つことを示そう．