不等式

微積分では不等式を解くことが要求されます．そこで，ここでは，不等式の解き方について学びます．不等式を解く方法は，方程式を解く方法とよく似ています．不等号の向きは，両辺に同じものを加えたり，両辺から同じものを引いたり，両辺に同じ正の数をかけたりしても変わりません．しかし，両辺に負の数をかけると不等号の向きは反転します．つまり，

の両辺に2を加えると，

となり，これより

となります．また，

の両辺に $\frac{1}{2}$ をかけると $\frac{1}{2}(2x) < \frac{1}{2}(10)$ となり，これより

となります．しかし，

の両辺に $-\frac{1}{2}$ をかけると不等号の向きが逆になり， $-\frac{1}{2}(-2x) > -\frac{1}{2}(10)$ となります．これを整理すると，

を得ます．ここで，求めた不等式を数直線上に記してみましょう．例えば，

は

より大きな全ての実数を表しています．そこで，

と書く代わりに，区間を用いて $(-5, \infty)$ と書くことができます．

区間を集合を用いて表すと

$\displaystyle [a,b] = \{x \in {\mathcal R} : a \leq x \leq b\}$

区間

を集合を用いて表すと

$\displaystyle (a,b) = \{x \in {\mathcal R} : a < x < b\}$

区間 $(-\infty,b]$ を集合を用いて表すと

$\displaystyle (-\infty,b] = \{x \in {\mathcal R} : -\infty < x \leq b\}$

区間 $(a,\infty)$ を集合を用いて表すと

$\displaystyle (a,\infty) = \{x \in {\mathcal R} : a < x < \infty\}$

となります．

例題 0..6

次の不等式を解いてみましょう．

$\displaystyle \frac{1}{2}(1 + x) \leq 6$

解この不等式を解くには，の周りにあるものを除いてやればよいでしょう．まず，両辺を2倍することにより $\frac{1}{2}$ を除きます．

$\displaystyle 1 + x \leq 12$

次に，1を両辺から引くと，

$\displaystyle x \leq 11$

したがって，不等式の解は $(-\infty, 11]$ となります． $\blacksquare$

例題 0..7

次の不等式を解いてみましょう．

$\displaystyle \frac{1}{5}(x^{2} - 4x + 3) < 0$

解まず，両辺を5倍することにより $\frac{1}{5}$ を除きます．

$\displaystyle x^{2} - 4x + 3 < 0$

この2次式を因数分解すると，

$\displaystyle (x-1)(x-3) < 0$

積

が0になるのは，1と3です．そこで，これらの点を数直線上に白抜きまるで印を付けておきます．これにより，数直線は次の3つの区間に分割されます．

$\displaystyle (-\infty, 1), (1,3), (3, \infty)$

これらの区間内では，積

の符号(sgn)は変わりません．

$(-\infty, 1)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-3)] = (-)(-) = +$
	${\rm sgn}[(x-1)(x-3)] = (+)(-) = -$
$(3, \infty)$	${\rm sgn}[(x-1)(x-3)] = (+)(+) = +$

これより，不等式の解はとなります． $\blacksquare$

例題 0..8

次の不等式を解いてみましょう．

$\displaystyle \frac{x+2}{1 - x} \geq 1$

解まず，両辺に-1を加えて右辺の１を削除します．

$\displaystyle \frac{x+2}{1 - x} - 1 \geq 0$

整理すると

$\displaystyle \frac{x+2 - (1 - x)}{1 - x}$	$\displaystyle \geq$	0
$\displaystyle \frac{2x + 1}{1-x} \geq 0$

ここで，分母を払うのですが

をかけて払うと，

の符号を気にする必要があります．そこで， $(1-x)^{2}$ を両辺にかけて分母を払うと

$\displaystyle (2x+1)(1-x) \geq 0$

となります．積

が0になるのは， $-\frac{1}{2}$ と1です．そこで，これらの点を数直線上に白抜きまるで印を付けておきます．次に，等号は分子が0のときだけ満たされるので， $-\frac{1}{2}$ の点を黒く塗ります．これにより，数直線は次の3つの区間に分割されます．

$\displaystyle (-\infty, -\frac{1}{2}], [-\frac{1}{2},1), (1, \infty)$

$(-\infty, -\frac{1}{2}]$	${\rm sgn}[(2x+1)(1-x)] = (-)(+) = -$
$[-\frac{1}{2},1)$	${\rm sgn}[(2x+1)(1-x)] = (+)(+) = +$
$(1, \infty)$	${\rm sgn}[(2x+1)(1-x)] = (+)(-) = -$

これより，不等式の解は $[-\frac{1}{2},1)$ となります． $\blacksquare$