累乗

同じ数を2回以上かけあわせたものを，その数の累乗(power)またはべきといいます．例えば， $a$

を3回かけあわせたとすると，「 $a$

の3乗」といい， $a^{3}$ と表します．このとき， $a$

を底(base)テイといい，かけた回数を添え字として右肩に小さく書き指数(exponent)といいます．

例題 0..4

次の値を求めてみましょう．

(1) $2^{2},\hskip 0.5cm (2)\ 2^{3},\hskip0.5cm (3)\ (-2)^{2},\hskip 0.5cm (4)\ (-2)^{3}$

解

$2^{2} = 2 \cdot 2 = 4,\ 2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8, (-2)^{2} = (-2)(-2) = 4, \ (-2)^{3} = (-2)(-2)(-2) = -8$ $\ \blacksquare$

累乗どうしの掛け算はそれほど難しくはありません．例えば， $a^{3}$ と $a^{4}$ をかけると， $a$ を3回と4回の合計7回かけることになるので，

$\displaystyle a^{3} \cdot a^{4} = a^{3+4} = a^{7}$

一般に，

で

が整数のとき，

$\displaystyle a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$

が成り立ちます．さて，累乗どうしの割り算はどうでしょうか．例えば， $a^{5}$ を $a^{2}$ で割ってみましょう．

$\displaystyle \frac{a^{5}}{a^{2}} = \frac{aaaaa}{aa} = aaa = a^{3} = a^{5-2}$

となります．次に， $a^{2}$ を $a^{5}$ で割ってみましょう．

$\displaystyle \frac{a^{2}}{a^{5}} = \frac{aa}{aaaaa} = \frac{1}{aaa} = \frac{1}{a^{3}}$

となります．ちょっと不便ですね．そこで，

$\displaystyle a^{-1} = \frac{1}{a}$

と定め，これを負の指数(negative exponent)といいます．これを用いれば，

$\displaystyle \frac{a^{2}}{a^{5}} = \frac{aa}{aaaaa} = \frac{1}{aaa} = \frac{1}{a^{3}} = a^{-3}$

と表せます．一般に， $m,n$

が整数のとき，

$\displaystyle a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$

が成り立ちます．

例題 0..5

次の値を求めてみましょう．

(1) $\displaystyle{a^{3} \times a^{4}}$ (2) $\displaystyle{a^{3} \div a^{4}}$ (3) $\displaystyle{(a^{3})^{4}}$ (4) $\displaystyle{\left(\frac{a}{b}\right)^{3}}$

解
(1) $a^{3} \times a^{4} = a^{3+4} = a^{7}$ (2) $a^{3} \div a^{4} = a^{3-4} = a^{-1}$ (3) $(a^{3})^{4} = a^{3 \times 4} = a^{12}$
(4) $\left(\frac{a}{b}\right)^{3} = \frac{a^{3}}{b^{3}}$ $\ \blacksquare$

$x^{n} = a$ を満たす $x$ を $a$ の $n$ 乗根ということを以前説明しました．これを記号で表そうとすると， $n$ が偶数か奇数かと $a$ が正，零，負によって異なるので，簡単ではありません．そこで，一般に， $a^{\frac{n}{m}}$ と表すときには， $a > 0$ であるという条件をつけます．さて， $a^{\frac{n}{m}}$ とはなんでしょうか． $a^{\frac{1}{m}}$ は $\sqrt[m]{a}$ のことです．したがって，

$\displaystyle a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^{n}} = (\sqrt[m]{a})^{n}$

となります．このようにして，指数を整数から有理数へと拡張することができます．これより， $a, b > 0$

, $r_{1}, r_{2} \in {\mathcal Q}$ のとき，次の指数公式が成り立ちます．

$a^{r_{1}} \times a^{r_{2}} = a^{r_{1} + r_{2}}$
$a^{r_{1}} \div a^{r_{2}} = a^{r_{1} - r_{2}}$
$(a^{r_{1}})^{r_{2}} = a^{r_{1}r_{2}}$
$(ab)^{r_{1}} = a^{r_{1}}b^{r_{1}}$
$\left(\frac{a}{b}\right)^{r_{1}} = \frac{a^{r_{1}}}{b^{r_{1}}}$

これをさらに有理数から実数へと拡張しようとするためには，極限値の話が必要となります．

確認問題

1.: 次の数は有理数か無理数か答えよう．
(a) $\displaystyle{\frac{4}{7}}$ (b) $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$
2.: 次の数の絶対値を求めよう．
(a) $\displaystyle{-3.0}$ (b) $\displaystyle{\pi}$
3.: , , のとき，次の値を求めよう．
(a) $\displaystyle{\vert a + b + c\vert}$ (b) $\displaystyle{\vert a - b + c\vert}$
4.: 次の値を求めよう．
(a) $\displaystyle{9^{\frac{3}{2}}}$ (b) $\displaystyle{27^{-\frac{1}{3}}}$
5.: , を整数とするとき，次の式を簡単にしよう．
(a) $\displaystyle{\sqrt[4]{a^{5}}}$ (b) $\displaystyle{\sqrt{a^{-2}\sqrt[3]{a}}}$ (c) $\displaystyle{\sqrt{a}\times\sqrt[3]{a^{-2}}\div a^{\frac{1}{6}}}$
6.: 次の式を簡単にしよう．
(a) $\displaystyle{\sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{72}}$ (b) $\displaystyle{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^{2}}$ (c) $\displaystyle{(4\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} + 3\sqrt{3})}$
7.: 次の分母または分子を有理化しよう．
(a) $\displaystyle{\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}}$ (b) $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n-2}}}$ (c) $\displaystyle{\sqrt{n+2} - \sqrt{n-1}}$