は1変数のときの導関数と同じような性質を持っています.例えば,
と
がともに存在するとき,
,
も存在し,
となります.
ここでもう一度偏導関数の定義をみましょう.
とおくと,
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これから分かるように,偏導関数
は
は単位ベクトルより
とおくこともできます.ただし
はx軸の正方向と
のなす角です.
方向微分とgradientの間には次の定理で与えられるように密接な関係があります.
証明
が
で全微分可能より
が存在し,
ここで
より,方向微分は
の方向が
と同じ方向になったとき一番大きく,
と直交したとき 0 になります.これを等高線図6.5 で考えてみましょう.
のgradientを計算すると
解
まず,方向ベクトル
は単位ベクトルでなければならないので,
を求めると,
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(a) 点からどの方向に進むと,温度上昇が最も大きいか.また,そのときの温度の変化率を調べよう.
(b) 点からどの方向に進むと,温度下降が最も大きいか.また,そのときの温度の変化率を調べよう.