偏導関数(partial derivatives)

図 6.2: z = f(x,y)

$z = f({\bf x}) = f(x,y)$ について点 ${\bf x}_{0} = (x_{0},y_{0})$ で次のような極限を考えます．$y = y_{0}$ をー定にして， $x$ の関数 $f(x,y_{0})$ が $x = x_{0}$ で微分可能なとき，つまり

$$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+h,y_{0}) - f(x_{0},y_{0})}{h}$$

が存在するとき， $f(x,y)$ は点 $(x_{0},y_{0})$ で $x$ に関して偏微分可能(partially differentiable) であるといいます．また，この極限値を $x$ に関する偏微分係数といい， $f_{x}(x_{0},y_{0})$ で表わします．$y$ の代わりに $x$ を一定にして考えると，上と同じようにして， $y$ に関しての偏微分可能性，偏微分係数が定義されます．また，集合 $D$ の各点で $x,y$ に関して偏微分可能のとき $f(x,y)$ は $D$ で偏微分可能であるといいます．

例題 6..2  

$${f(x,y) = x^{2} + y^{2}}$$ の偏微分係数 $f_{x}(1,1)$を求めてみましょう．

解

$$f_{x}(1,1) = \lim_{h \to 0}\frac{f(1+h,1) - f(1,1)}{h} = \lim_{h ... ... 1 - 2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2h + h^{2}}{h} = 2 \ensuremath{\ \blacksquare}$$

$D$ の各点 ${\bf x} = (x,y)$ に，その点における $x$ に関する偏微分係数を対応させることにより得られる関数を $f({\bf x})$ の $x$ に関する偏導関数(partial derivative) といい，

$$f_{x}(x,y) = \lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$$

で表わします．同様に $y$ に関する偏導関数を

$$f_{y}(x,y) = \lim_{k \rightarrow 0}\frac{f(x,y+k) - f(x,y)}{k}$$

で表わします．偏導関数を求めることを 偏微分(partial differentiation)するといいます．

例題 6..3  

次の関数を偏微分してみましょう．

$$f(x,y) = x^2 + 2xy + 3y^3, \ g(x,y) = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$$

解 $f_{x}(x,y)$ を求めるには， $y$ を定数と考えて， $f(x,y)$ を $x$ について微分します．

$$f_{x}(x,y) = 2x + 2y$$

また，$x$を定数と考えて$y$について微分すると

$$f_{y}(x,y) = 2x + 9y^2$$

同様にして,

$$g_{x}(x,y) = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot \frac{-y}{x^2} = \frac{-y}{x^2 + y^2}$$

$$g_{y}(x,y) = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{x^2 + y^2} \ \ensuremath{\ \blacksquare}$$

これから分かるように1変数の導関数が求められれば，何の問題もなく2変数の偏導関数が求められます．

偏導関数 $f_{x},f_{y}$ がさらに偏微分可能なとき，それらの偏導関数を 第2次偏導関数(2nd partial derivatives) といい，

$$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^2} = f_{xx}$$

$$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} = f_{xy}$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = f_{yx}$$

$$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial y^2} = f_{yy}$$

などで表わします．

例題 6..4  

$${f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} \frac{xy}{x^2 + y^2} & (x,y) \neq (0,0)\\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{array} \right.}$$ のとき $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$を求め， $(0,0)$ で偏微分可能か調べてみましょう．

解を見る前にある学生の解答をみてみましょう．

$f_{x}(0,0)$ を求めればよいので，まず， $f_{x}(x,y)$ を求めます．

$$f_{x}(x,y) = \frac{y(x^2 + y^2) - xy(2x)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^3 - x^2 y}{(x^2 + y^2)^2}$$

ここで $(0,0)$ を代入すると

$$f_{x}(0,0) = \frac{0}{0}$$

となるので偏微分不可能．

残念ながら，この学生の解答は正解ではありません(なぜでしょう?)．正解をみてみましょう．

解 $f(x,0) = 0， f(0,y) = 0$ より $f_{x}(x,0) = 0，f_{y}(0,y) = 0$ となるので， $f(x,y)$ は点 $(0,0)$ で偏微分可能となります． $\ \blacksquare$

2次以上の偏導関数を高次偏導関数といいます．高次偏導関数では，微分する順序に注意しなければならないことがあります．つまり，関数 $f(x,y)$ について常に $f_{xy} = f_{yx}$ が成り立つとは限りません．次の例題は $f_{xy}(0,0) \neq f_{yx}(0,0)$を示すのに，よく用いられる例題です．

例題 6..5  

$${f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} (xy)\frac{x^2 - y^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0)\\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{array}\right. }$$ のとき， $${f_{xy}(0,0) \neq f_{yx}(0,0)}$$を示してみましょう．

解

$$f_{x}(0,y) = \lim_{h \to 0}\frac{f(h,y) - f(0,y)}{h} = \lim_{h \to 0}(hy)\frac{h^2 - y^2}{h(h^2 + y^2)} = - y$$

より $f_{xy}(0,0) = -1$. 次に，

$$f_{y}(x,0) = \lim_{k \to 0}\frac{f(x,k) - f(x,0)}{k} = \lim_{k \to 0}(xk)\frac{x^2 - k^2}{k(x^2 + k^2)} = x$$

より $f_{yx}(0,0) = 1$. $\ \blacksquare$

このように $f_{xy}$ と $f_{yx}$ はいつも等しいとは限りません．そこで $f_{xy} = f_{yx}$ が成り立つための十分条件(この条件のもとなら必ず成り立つという条件)を述べておきます．その前に，ちょっと準備をします．

定義 6..1  

関数 $f(x,y)$ が領域 $D$ で第$n$次までの偏導関数をもち，かつそれらがすべて連続なとき， $f(x,y)$ は $D$ で $C^{n}$ 級であるといいます．

準備ができたので， $f_{xy} = f_{yx}$ が成り立つための十分条件を示してみましょう．

定理 6..1  

関数 $f(x,y)$ が領域 $D$ で $C^2$ 級であるならば， $f_{xy} = f_{yx}$ である.

証明 偏導関数の定義と平均値の定理をつかって証明できるので，各自に任せる．

確認問題

1.

次の関数の偏導関数を求めよう.

(a) $${f(x,y) = 3x^{2} - xy + y}$$ (b) $${f(x,y) = x^{2}e^{-y}}$$ (c) $${z = \sqrt{(x^2 + y^2)}}$$

(d) $${z = x\sin{y}}$$ (e) $${z = \frac{x-y}{x+y}}$$

2.

次の関数の第2次までの偏導関数をすべて求めよう．

(a) $${f(x,y) = ax^{2} + 2bxy + cy^{2}}$$ (b) $${f(x,y,z) = (x+y^{2}+z^{3})^{2}}$$

(c) $${f(x,y) = \sin(3x - 2y)}$$ (d) $${f(x,y) = xe^{2y}}$$

演習問題

1.

次の関数を偏微分しよう.

(a) $${z = x^3 + xy^2 + y^3}$$ (b) $${z = e^{x} \sin{y}}$$ (c) $${z = \log{(x^2 + y^2)}}$$

2.

次の関数の第2次までの偏導関数をすべて求めよう．

(a) $${z = x^3 y + x y^2}$$ (b) $${z = x y^2 e^{\frac{x}{y}}}$$

(c) $${z = \tan^{-1}{(x^2 + y^2)}}$$

3.

次の関数は原点で偏微分可能か調べよう．

(a) $${f(x,y) = \left\{\begin{array}{cl} \frac{y^3 - x^2 y}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0)\\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{array}\right.}$$ (b) $f(x,y) = \log{(1 + xy + y^2)}$