関数の定義(definition of functions)

平面 ${R}^{2}$ の部分集合 $D$ に属する各点 ${\bf x} = (x,y)$ に対して，実数 $z$ が1つ定まるような規則 $f$ を $D$ から ${\mathcal R}$ への2変数関数といい， $f:D \subset R^2 \rightarrow R$ または $z = f(x,y)$ で表わします．このとき $x,y$ を独立変数， $z$ を従属変数といいます．またこのような $D$ を関数 $f$ の 定義域(domain) といい $D(f)$ で表わします．つまり，

$$D(f) = \{(x,y) \in {\mathcal R}^{2} : f(x,y) \in {\mathcal R}\}$$

また， $f(x,y)$ を $(x,y)$ の 像(image) といい，その集合は 値域(range) といい $R(f)$ で表わします．つまり，

$$R(f) = \{z \in {\mathcal R} : z = f(x,y), (x,y) \in D(f) \}$$

$(x,y)$ の像$f(x,y)$ を空間上に描いたものを関数 $f$ の グラフ(graph) といい， $G(f)$ で表わします．つまり，

$$G(f) = \{(x,y,z) : z = f(x,y), (x,y) \in D(f) \}$$

よって2変数関数のグラフは曲面を表わします．

例題 6..1  

$${z = f(x,y) = \sqrt{1-(x^2 + y^2)}}$$ の定義域を求め， $z = f(x,y)$ のグラフを描いてみましょう．

解 まず，定義域は

$$D(f) = \{(x,y) \in {\mathcal R}^2 : \sqrt{1 - (x^2 + y^2)} \in {\mathcal R} \}$$

$$= \{(x,y) \in {\mathcal R}^2 : x^2 + y^2 \leq 1 \}$$

となります．

$z = f(x,y) = \sqrt{1 - (x^2 + y^2)}$ のグラフは次のように描きます．まず， $x = 0$ とおくと $z = \sqrt{1 - y^2}$ となり， $yz$ 平面上でのグラフを得ます．次に， $y = 0$ とおくと $z = \sqrt{1 - x^2}$ となり， $xz$ 平面上でのグラフを得ます．最後に， $z = c$ とおくと $x^2 + y^2 = 1 - c^2$ となり，平面 $z = c$ 上でのグラフを得ます．この平面 $z = c$ 上のグラフを 等高線(level curve) といいます． これらの情報よりグラフを描きます．

図: f(x,y)のグラフ

ただ，一般に2変数関数のグラフは難しすぎて，描けないことがしばしばあります．これが3変数関数 $w = f(x,y,z)$ となると，グラフを描くには4次元の空間が必要となるため描けません．そこで3変数関数はどんな行動をとるのか，等位面(level surface) とよばれるものをもちいて調べます．等位面とは

$$f(x,y,z) = c \ (c : 定数)$$

を満たす点 $(x,y,z)$ の集まりのことです．つまり

$$c : \{(x,y,z) : f(x,y,z) = c \}$$

このとき，この等位面を等位 $c$ の等位面といいます．等高線でも同じことがいえます．

$$c : \{(x,y) : f(x,y) = c \}$$

で等高線が与えられるとき，この等高線を高度 $c$ の等高線といいます．

2次曲面 1変数の関数は$xy$平面を用いて表しましたが，2変数の関数は$xyz$空間を用いて表わすことを学びました．そこで，ここでは，次の2次式で表される曲面について分類します．

$$Ax^{2} + By^{2} + Cz^{2} + Dxy + Exz + Fyz + Hx + Iy + Jz + K = 0.$$

適当な変数変換により，非退化な2次式は次の9個の型に分類されます．ここで，退化な2次式とは， $1 + x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0$や $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 0$のように，式を満たす点が無い場合や1点しか無い場合をいいます．

1. 楕円面(ellipsoid) $${\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1}$$
2. 1葉双曲面(hyperboloid of one sheet) $${\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1}$$
3. 2葉双曲面(hyperboloid of two sheet) $${\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}} = -1}$$
4. 2次錐面(quadric cone) $${\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = z^{2}}$$
5. 楕円放物面(elliptic paraboloid) $${\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = z}$$
6. 双曲放物面(hyperbolic paraboloid) $${\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = z}$$
7. 放物柱(parabolic cylinder) $${x^{2} = 4cy}$$
8. 楕円柱(elliptic cylinder) $${\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1}$$
9. 双曲柱(hyperbolic cylinder) $${\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1}$$

確認問題

1.

次の関数の定義域と値域を求めよう．

(a) $${f(x,y) = \sqrt{xy}}$$ (b) $${f(x,y) = \frac{1}{x+y}}$$ (c) $${f(x,y) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}}$$

(d) $${f(x,y) = \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}}$$ (e) $${f(x,y) = \log(1-xy)}$$ (f) $${f(x,y,z) = \frac{z}{x^{2} - y^{2}}}$$

2.

次の曲面を分類しよう．

(a) $${x^{2} + 4y^{2} - 16z^{2} = 0}$$ (b) $${x^{2} + 4y^{2} + 16z^{2}- 12 = 0}$$ (c) $${x - 4y^{2} = 0}$$

(d) $${x^{2} - 4y^{2} - 2z = 0}$$ (e) $${2x^{2} + 4y^{2} - 1 = 0}$$ (f) $${x^{2} + 4y^{2} - 4z = 0}$$

(g) $${2x^{2} - 4y^{2} - 6 = 0}$$ (h) $${x^{2} + y^{2} - 2z^{2} -10 = 0}$$ (i) $${x^{2} + y^{2} - 2z^{2} +10 = 0}$$

演習問題

1.

次の関数の定義域をもとめそのグラフを描こう．

(a) $${f(x,y) = x^2 - y^2}$$ (b) $${f(x,y) = \frac{x^2}{x^2 + y^2}}$$ (c) $${f(x,y) = \log{(1 - xy)}}$$