空間の点P の描く空間曲線は
次に,ベクトル関数
の導関数
は幾何学的に何を表しているのか考えてみましょう.
ベクトル関数
の導関数
は
の定義より
そこで,これを回避するために が小さいときに,大きな長さを得られるような次のベクトルを考えます.
ここで
に注意すると,例題5.1より
と
は直交します.そこで
を曲線
の 法線ベクトル(normal vector) といいます.また,
のとき,
解
求める直線は始点を にもち,方向が
と考えられるので,直線上の任意の点を
とすると,
解
より
.ここで注意しなければならないのは,
のとる値は
から
なので,求める曲線は
となります.
解 接線ベクトルは
曲線
が
のとき,曲線 r を 滑らかな曲線(smooth curve) といいます.滑らかな曲線
の
の部分の長さを 弧長(arc length) といい,
で表わします.では,弧長
はどうやったら求まるか考えてみましょう.
区間 内の微小区間
に対応する曲線
の弧 PQ の長さは線分 PQ で近似されると考えられます.このとき,
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||
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ここで気づいたと思いますが, を時間と考えると,
は微小時間内での位置の変化と考えられるので,点Pの動く速さを表わします.よって,曲線の長さ
は点Pが時間
内に動いた距離と考えることができます.
解
より,
となり,
は半径1の円柱の回りをらせん状に回転する滑らかな曲線だということが分かります.そこで
解
曲線
より
曲線 が弧長sをパラメターとして
で表わされているとき,接線ベクトルを求めると
でも表わせます.
ここで曲線の曲がり具合について考えてみましょう.まず平面上の曲線について考えてみましょう.曲線上の点Pでの接線 と
軸とが作る角度を
とします.点Pが動くに従って接線
と
は変化します.このとき,単位弧長あたりの
の変化率を 曲率(curvature) といい
で表わします.
ここで接線単位ベクトル
は
で表わすことができます.よって単位弧長あたりの接線ベクトルの変化率を調べると
解
まず,
を求めてみましょう.
は接線の傾きなので,
となります.よって
となります.
空間の曲線の曲率は
を定義として使います.すると,
(a) 点を通りベクトル
に平行.
(b) 点を通り線分
に平行.
(c) 点と
を通る.
(a)
ただし,
(b)
ただし,
(c)
ただし,