曲線(space curves)

空間の点P $(x,y,z)$ の描く空間曲線は

$$C = \{(x,y,z) : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t \in [a,b] \}$$

で与えられますが，これは原点を O とする点Pの位置ベクトル ${\bf r} = \vec{\rm OP} = (x,y,z)$ が $t$ のベクトル関数として

$${\bf r}(t) = (x(t),y(t),z(t))$$

のように与えられるのと同じことです．

図 5.1: 接線ベクトル

次に，ベクトル関数 ${\bf r}(t)$ の導関数 ${\bf r}^{\prime}(t)$ は幾何学的に何を表しているのか考えてみましょう．

ベクトル関数 ${\bf r}(t)$ の導関数 ${\bf r}^{\prime}(t)$ は ${\bf r}^{\prime}(t)$ の定義より

$${\bf r}^{\prime}(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{{\bf r}(t + \Delta t) - {\bf r}(t)}{\Delta t}$$

ここで， ${\bf r}(t + \Delta t) - {\bf r}(t)$ は ${\bf r}^{\prime}(t) \neq 0$ ならば，たとえ$\Delta t$ が0に近づいても ${\bf0}$ にならず，接線の方向ベクトルに近づいていくことが分かります．よってこの極限値

$$\lim_{\Delta t \rightarrow 0} {\bf r}(t + \Delta t) - {\bf r}(t)$$

を接線の方向ベクトルとして用いることができないでしょうか． 残念ながら，この極限値を接線の方向ベクトルとして使うことはできません．なぜなら，この極限値は ${\bf0}$ となり， ${\bf0}$ には方向がありません．

そこで，これを回避するために $\Delta t$ が小さいときに，大きな長さを得られるような次のベクトルを考えます．

$$\frac{{\bf r}(t + \Delta t) - {\bf r}(t)}{\Delta t}$$

このベクトルは $\Delta t$ が0でないとき ${\bf r}(t + \Delta t) - {\bf r}(t)$ と平行です．つまり，このベクトルは接線の方向ベクトルと平行です．よってこの極限値 ${\bf r}^{\prime}(t)$ が存在するとき，この極限値を接線の方向ベクトルと考えることができるので， ${\bf r}^{\prime}(t)$ を曲線 ${\bf r} = {\bf r}(t)$ の 接線ベクトル(tangent vector) といいます． また

$$\hat{\bf t}(t) = \frac{{\bf r}^{\prime}(t)}{\Vert{\bf r}^{\prime}(t)\Vert}$$

を 接線単位ベクトル(unit tangent vector) といいます．

ここで $\Vert\hat{\bf t}(t)\Vert = 1$ に注意すると，例題5.1より $\hat{\bf t}^{\prime}(t)$ と $\hat{\bf t}(t)$ は直交します．そこで $\hat{\bf t}^{\prime}(t)$ を曲線 ${\bf r}(t)$ の 法線ベクトル(normal vector) といいます．また， ${\bf t}^{\prime}(t) \neq 0$ のとき，

$$\hat{\bf n}(t) = \frac{\hat{\bf t}^{\prime}(t)}{\Vert\hat{\bf t}^{\prime}(t)\Vert}$$

を 主法線単位ベクトル(principal unit normal vector) といいます．

図 5.2: 法線ベクトル

例題 5..4  

2点 $(-1,0,2),(1,4,3)$ を通る直線の方程式を求めてみましょう．

解 求める直線は始点を $(-1,0,2)$ にもち，方向が $(1,4,3) - (-1,0,2) = (2,4,1)$ と考えられるので，直線上の任意の点を $(x,y,z)$ とすると，

$$(x,y,z) = (-1,0,2) + (2,4,1)t, t \in R$$

またはこの式を $t$ について解くと

$$t = \frac{x+1}{2} = \frac{y}{4} = \frac{z-2}{1}$$

が得られます． $\blacksquare$

例題 5..5  

平面曲線 $${{\bf r}(t) = (\sin{t}, \sin{t})}$$ を描いてみましょう．

解 $x(t) = \sin{t}, y(t) = \sin(t)$ より $x = y$．ここで注意しなければならないのは， $\sin{t}$ のとる値は $-1$ から $1$ なので，求める曲線は $y = x, -1 \leq x \leq 1$ となります． $\blacksquare$

例題 5..6  

曲線 $${{\bf r}(t) = (\cos{t}, \sin{t})}$$ の $${t = \frac{\pi}{4}}$$ における接線の方程式を求めてみましょう．

解 接線ベクトルは

$${\bf r}^{\prime}(\frac{\pi}{4}) = (- \sin{t}, \cos{t})\mid_{t = \frac{\pi}{4}} = \left(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

で与えられます． よって接線の方程式は

$$(x,y) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)t + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

または

$$t = \frac{x - \sqrt{2}/{2}}{-{\sqrt{2}}/{2}} = \frac{y - {\sqrt{2}}/{2}}{{\sqrt{2}}/{2}}$$

となります． $\blacksquare$

曲線 ${\bf r} = {\bf r}(t)$ が ${\bf r}^{\prime}(t) \neq 0, {\bf r}^{\prime}(t) \in C[a,b]$ のとき，曲線 r を 滑らかな曲線(smooth curve) といいます．滑らかな曲線 ${\bf r} = {\bf r}(t)$ の $a \leq t \leq b$ の部分の長さを 弧長(arc length) といい， $s$ で表わします．では，弧長 $s$ はどうやったら求まるか考えてみましょう．

区間 $[a,b]$ 内の微小区間 $[t, t+\Delta t]$ に対応する曲線 ${\bf r} = {\bf r}(t) = (x(t),y(t),z(t))$ の弧 PQ の長さは線分 PQ で近似されると考えられます．このとき，

$${\rm PQ} = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2} + (\Delta z)^{2}... ...(\frac{\Delta y}{\Delta t})^{2} + (\frac{\Delta z}{\Delta t})^{2} } \Delta t$$

したがって曲線の長さ $s$ は定積分

$$s = \lim \sum \sqrt{(\frac{\Delta x}{\Delta t})^{2} + (\frac{\Delta y}{\Delta t})^{2} + (\frac{\Delta z}{\Delta t})^{2} } \Delta t$$

$$= \int_{a}^{b}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2} + (\frac{dy}{dt})^{2} + (\frac{dz}{dt})^{2}} dt$$

$$= \int_{a}^{b} \Vert\frac{d{\bf r}}{dt}\Vert dt$$

で表わされます．なお ${\bf r}(a)$ から ${\bf r}(t)$ までの弧長 $s(t)$ は

$$s(t) = \int_{a}^{t}\Vert\frac{d{\bf r}}{dt}\Vert dt$$

で与えられます．よって

$$\frac{ds}{dt} = \Vert\frac{d {\bf r}}{dt}\Vert$$

となります．

定理 5..2  

曲線 ${\bf r} = {\bf r}(t)$ が滑らかな曲線のとき， ${\bf r}(a)$ から ${\bf r}(t)$ までの弧長 $s(t)$ は

$$s(t) = \int_{a}^{t}\Vert\frac{d{\bf r}}{dt}\Vert dt$$

となる．

ここで気づいたと思いますが， $t$ を時間と考えると， $${\Vert\frac{d{\bf r}}{dt}\Vert}$$ は微小時間内での位置の変化と考えられるので，点Pの動く速さを表わします．よって，曲線の長さ $s(t)$ は点Pが時間 $t$ 内に動いた距離と考えることができます．

例題 5..7  

$${{\bf r}(t) = (\cos{t}, \sin{t},t)}$$ の $0 \leq t \leq 2\pi$ の部分の長さを求めてみましょう．

解 $x = \cos{t}, y = \sin{t}, z = t$ より， $x^2 + y^2 = 1$ となり， ${\bf r}(t)$ は半径1の円柱の回りをらせん状に回転する滑らかな曲線だということが分かります．そこで

$$\frac{d {\bf r}}{dt} = (-\sin{t}, \cos{t}, 1)$$

より

$$\Vert\frac{d {\bf r}}{dt}\Vert = \sqrt{(-\sin{t})^{2} + (\cos{t})^{2} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

よって

$$s = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{2}dt = 2\sqrt{2}\pi$$

となります． $\blacksquare$

例題 5..8  

弧長 $s$ をパラメターとして曲線 $${{\bf r}(t) = (5\cos{t}, 5\sin{t})}$$ を表わしてみましょう．

解 曲線 ${\bf r}(t) = (5\cos{t}, 5\sin{t})$ より

$$\Vert\frac{d{\bf r}}{dt}\Vert = \Vert(-5\sin{t},5\cos{t})\Vert = 5$$

よって

$$s = \int_{0}^{t} 5 dt = 5t$$

または， $\Vert{\bf r}(t)\Vert^{2} = x^2 + y^2 = 25$ より曲線 ${\bf r}(t)$ は原点を中心とする半径5の円です．よって弧長sは $s = 5t$．これより

$${\bf r}(s) = {\bf r}(t(s)) = (5\cos{\frac{s}{5}}, 5\sin{\frac{s}{5}})$$

となります． $\blacksquare$

曲線 $C$ が弧長sをパラメターとして ${\bf r}(s)$ で表わされているとき，接線ベクトルを求めると

$$\frac{{\bf r}(s + \Delta s) - {\bf r}(s)}{\Delta s} = \frac{\mbox{弦の長さ}}{\mbox{弧の長さ}} \longrightarrow 1$$

よって，接線単位ベクトル $\hat{\bf t}$ は

$$\hat{\bf t} = \frac{d {\bf r}}{ds}$$

でも表わせます．

図 5.3: 曲率

ここで曲線の曲がり具合について考えてみましょう．まず平面上の曲線について考えてみましょう．曲線上の点Pでの接線 $l$ と $x$ 軸とが作る角度を $\phi$ とします．点Pが動くに従って接線 $l$ と $\phi$ は変化します．このとき，単位弧長あたりの $\phi$ の変化率を 曲率(curvature) といい

$$\kappa = \vert\frac{d\phi}{ds}\vert$$

で表わします．

ここで接線単位ベクトル $\hat{\bf t}$ は $\hat{\bf t} = (\cos{\phi}, \sin{\phi})$ で表わすことができます．よって単位弧長あたりの接線ベクトルの変化率を調べると

$$\frac{d\hat{\bf t}}{ds} = (-\sin{\phi}\frac{d\phi}{ds}, \cos{\phi}\frac{d\phi}{ds}) = \frac{d\phi}{ds}(-\sin{\phi},\cos{\phi})$$

これより

$$\Vert\frac{d\hat{\bf t}}{ds}\Vert = \Vert\frac{d\phi}{ds}(-\sin{\phi},\cos{\phi})\Vert = \vert\frac{d\phi}{ds}\vert = \kappa$$

よって曲率$\kappa$ は，単位弧長あたりの接線ベクトルの変化率でも表わすことができます．

例題 5..9  

曲線 $y = f(x)$ の曲率を求めてみましょう．

解 まず， $${\vert\frac{d\phi}{ds}\vert}$$ を求めてみましょう． $\tan{\phi}$ は接線の傾きなので， $\tan{\phi} = y^{\prime}(x)$ となります．よって

$$\phi = \tan^{-1}(y^{\prime})$$

これを $x$ について微分すると

$$\frac{d\phi}{dx} = \frac{1}{1 + (y^{\prime})^{2}} \cdot \frac{d}{dx}(y^{\prime}) = \frac{y^{\prime\prime}}{1 + (y^{\prime})^{2}}$$

ここで，

$$\frac{d \phi}{dx} = \frac{d \phi}{ds} \frac{ds}{dx} = \frac{d \phi}{ds} \sqrt{1 + (y^{\prime})^2}$$

に注意すると

$$\frac{d \phi}{ds} \sqrt{1 + (y^{\prime})^2} = \frac{y^{\prime\prime}}{1 + (y^{\prime})^2}$$

よって

$$\kappa = \vert\frac{d \phi}{ds}\vert = \frac{\vert y^{\prime\prime}\vert}{[1 + (y^{\prime})^2]^{3/2}}$$

となります． $\blacksquare$

空間の曲線の曲率は $\kappa = \Vert\frac{d \hat{\bf t}}{ds} \Vert$ を定義として使います．すると，

$$\frac{d \hat{\bf t}}{ds} = \frac{d \hat{\bf t}/dt}{ds/dt}, \hat... ...\Vert\hat{\bf t}'\Vert} = \frac{d \hat{\bf t}/dt}{\Vert d \hat{\bf t}/dt\Vert}$$

より

$$\frac{d \hat{\bf t}}{ds} = \hat{\bf n} \frac{\Vert d \hat{\bf t}/... ...}{ds/dt} = \hat{\bf n} \Vert\frac{d \hat{\bf t}}{ds} \Vert = \hat{\bf n} \kappa$$ (5.1)

確認問題

1.

次の条件を満たす直線のベクトル方程式を求めよ．

(a) 点$(1,-1,2)$を通りベクトル$(2,-3,1)$に平行．

(b) 点$(3,1,0)$を通り線分 ${\bf r}(t) = (3t, -t, t)$に平行．

(c) 点$(1,0,3)$と$(2,-1,4)$を通る．

2.

次の曲線の接線ベクトルと与えられた点を通る接線の方程式を求めよう．

(a) $${{\bf r}(t) = (1,t,t^{2})}, t = 1$$ (b) $${{\bf r}(t) = (2t^{2}, 1-t, 3+2t^{2})}, t = 1$$

3.

次の曲線の弧長を求めよう．

(a) $${{\bf r}(t) = (\cos{t}, \sin{t}, t) \ \mbox{ただし}， 0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}}$$

(b) $${{\bf r}(t) = (t^{3}, t^{2}) \ \mbox{ただし}， 0 \leq t \leq 1}$$

4.

次の曲線の曲率を求めよう．

(a) $${y = x^{3}}$$ (b) $${y = x - x^{2}}$$ (c) $${y = \tan{x}}$$

演習問題

1.

次の曲線の接線ベクトルと与えられた点を通る接線の方程式を求めよう．

(a) $${{\bf r}(t) = (e^{t}, e^{-t}, -\log{t}) t = 1}$$ (b) $${{\bf r}(t) = (\cos{\pi t}, \sin{\pi t}, t) t = 2}$$

2.

次のパラメター化された曲線を $x,y,z$ の方程式で表わそう．

(a) $${{\bf r}(t) = (at, bt^{2})}$$ (b) $${{\bf r}(t) = (t^{3}, t^{2})}$$ (c) $${{\bf r}(t) = (\cos{2t},\sin{2t},t)}$$

3.

次の曲線の弧長を求めよう．

(a) $${{\bf r}(t) = (t, \log{(\sec{t})}, 3)}$$ ただし, $0 \leq t \leq \frac{\pi}{4}$

(b) $${{\bf r}(t) = e^{t}(\cos{t}, \sin{t})}$$ ただし， $0 \leq t \leq \pi$

(c) $${x^{2/3} + y^{2/3} = 1}$$ ただし，$y \geq 0$

4.

次の曲線の曲率を求めよう．

(a) $${y = e^{-x}}$$ (b) $${y = \log{(\sec{x})}}$$ (c) $${{\bf r}(t) = (3\cos{t},3\sin{t})}$$