点の運動(motion of objects)

曲線

$$C : {\bf r}(t) = (x(t), y(t), z(t)), \ t \in [a,b]$$

は空間を運動している点Pが描いた軌跡と考えることができます．ここで区間 $[a,b]$ は時間の区間と考え， ${\bf r}(t)$ を時間 $t$ における物体の位置と考えます．すると 運動 ${\bf r} = {\bf r}(t)$ に対して， ${\bf r}^{\prime}(t)$ は運動の 速度ベクトル(velocity)．また， ${\bf r}^{\prime\prime}(t)$ は 加速度ベクトル(acceleration) となり，それぞれ ${\bf v}(t),{\bf a}(t)$ で表わします．つまり，

$${\bf v}(t) = {\bf r}'(t) , {\bf a}(t)={\bf r}''(t)$$

すでに学んだように，接線単位ベクトルは $${\hat{\bf t} = \frac{d {\bf r}}{ds}}$$ で表わせるので，速度ベクトルは

$${\bf v}(t) = \frac{d{\bf r}(t)}{dt} = \frac{d{\bf r}(t)}{ds} \frac{ds}{dt} = \frac{ds}{dt} \hat{\bf t}$$

となります．よって，速度ベクトルは点の軌跡に対して接線方向のベクトルです．速度ベクトル ${\bf v}$ の大きさ， $${\frac{ds}{dt}}$$ は弧の長さの変化率または速さで $v$ で表わされます．つまり，

$$v = \Vert{\bf v}\Vert = \Vert{\bf r}'(t)\Vert = \frac{ds}{dt}$$

次に加速度についてもう少しよく理解するために，速度ベクトルを考えてみましょう．

$${\bf v}(t) = {\bf r}'(t) = \frac{ds}{dt}\hat{\bf t} = v\hat{\bf t}$$

の両辺を微分すると

$${\bf a} = \frac{d{\bf v}}{dt} = \frac{dv}{dt}\hat{\bf t} + v\frac... ...{dt} = \frac{dv}{dt}\hat{\bf t} + v\Vert\frac{d\hat{\bf t}}{dt}\Vert\hat{\bf n}$$

ここで

$$\frac{d\hat{\bf t}}{dt} = \frac{d\hat{\bf t}}{ds}\frac{ds}{dt} = v\frac{d\hat{\bf t}}{ds}$$

より

$$\Vert\frac{d\hat{\bf t}}{dt}\Vert = \Vert v \frac{d\hat{\bf t}}{ds} \Vert = v \Vert\frac{d\hat{\bf t}}{ds}\Vert = v\kappa$$

これより

$${\bf a} = \frac{dv}{dt}\hat{\bf t} + v^{2}\kappa\hat{\bf n}$$

$$= a_{\hat{\bf t}} + a_{\hat{\bf n}}$$

これが加速度の接線方向と法線方向への分解です．つまり

$$a_{\hat{\bf t}} = ({\bf a}\cdot\hat{\bf t})\hat{\bf t} , a_{\hat{\bf n}} = ({\bf a}\cdot\hat{\bf n})\hat{\bf n}$$

例題 5..10  

$${\bf r}(t) = (\cos\pi t, \sin\pi t, t)$$

$t = 1$ のとき ${\bf v}(t),{\bf a}(t),v,\hat{\bf t},\hat{\bf n}$ を求めてみましょう．

解

$${\bf r}(t) = (\cos\pi t, \sin\pi t, t)$$

$${\bf v}(t) = {\bf r}'(t) = (-\pi\sin\pi t, \pi\cos\pi t, 1)$$

$${\bf a}(t) = {\bf r}''(t) = (-\pi^{2}\cos\pi t, -\pi^{2}\sin\pi t, 0)$$

より $t = 1$ のとき

$${\bf v}(1) = (0, \pi, 1)$$

$${\bf a}(1) = (\pi^{2}, 0, 0)$$

となるので

$$v = \Vert{\bf v}(1)\Vert = \sqrt{\pi^{2} + 1}$$

$$\hat{\bf t} = \frac{{\bf v}(1)}{\Vert{\bf v}(1)\Vert} = \frac{(0, \pi, 1)}{\sqrt{\pi^{2} + 1}}$$

ここで $\hat{\bf n}$ を求めるには色々な方法があります．ここでは計算が簡単な方法を考えます．

$${\bf a} = a_{\hat{\bf t}} + a_{\hat{\bf n}},a_{\hat{\bf t}} = ({\bf a}\cdot\hat{\bf t})\hat{\bf t} = 0$$

より

$$a_{\hat{\bf n}} = {\bf a} - {\bf a}_{\hat{\bf t}} = (\pi^{2}, 0, 0)$$

したがって，

$$\hat{\bf n} = \frac{a_{\hat{\bf n}}}{\Vert a_{\hat{\bf n}}\Vert} = (1, 0, 0)．$$

他にも

$$v = \Vert{\bf v}(t)\Vert = \sqrt{\pi^{2}\sin^{2}\pi t + \pi^{2}\cos^{2}\pi t + 1} = \sqrt{\pi^{2} + 1} より$$

$$a_{\hat{\bf t}} = \frac{dv}{dt} = 0$$

よって $${\hat{\bf n} = \frac{a_{\hat{\bf n}}}{\Vert a_{\hat{\bf n}}\Vert} = (1, 0, 0)}$$ と求めることができます． $\ \blacksquare$

接線単位ベクトル $\hat{\bf t}$，主法線ベクトル $\hat{\bf n}$ と直交するベクトル

$${\bf b} = \hat{\bf t} \times \hat{\bf n}$$

を 従法線単位ベクトル(binormal unit vector) といいます．また，

$$\frac{d \hat{\bf b}}{ds} = - \tau \hat{\bf n}$$

を満たす $\tau$ をねじれ率(torsion)といいます．

ここで，これまでにでてきた3つの単位ベクトル $\hat{\bf t}, \hat{\bf n}, \hat{\bf b}$ について調べてみましょう．図5.2参照．

まず， $\hat{\bf t}, \hat{\bf n}, \hat{\bf b}$ は互いに直交するベクトルです．また，これらのベクトルの間には Frenet-Serret (1819-1885) によって示された次の関係が成り立ちます．

定理 5..3  

[Frenet-Serret]

$$\frac{d \hat{\bf t}}{ds} = \kappa \hat{\bf n}, \frac{d \hat{\bf n... ... \hat{\bf t} + \tau \hat{\bf b}, \frac{d \hat{\bf b}}{ds} = - \tau \hat{\bf n}$$

証明 式5.1 より $${\frac{d \hat{\bf t}}{ds} = \kappa \hat{\bf n}}$$ また，ねじれ率の定義より $${\frac{d \hat{\bf b}}{ds} = - \tau \hat{\bf n}}$$．次に． $\hat{\bf n} \times \hat{\bf t}$ を $s$ で微分すると

$$\frac{d \hat{\bf n}}{ds} = \frac{d \hat{\bf b}}{ds} \times \hat{\... ...\bf t}}{ds} = \tau \hat{\bf b} - \kappa \hat{\bf t} \ensuremath{\ \blacksquare}$$

例題 5..11  

曲線 ${\bf r} = \left(2a(\sin^{-1}{t} + t\sqrt{1- t^2}), 2at^2, 4at\right)$ について，次のものを求めよう． ただし，$a$ は任意の正の定数とする．

$(a)$ $t_{1} \leq t \leq t_{2}$ に対する弧長

$(b)$ 接線単位ベクトル $\hat{\bf t}$

$(c)$ 主法線単位ベクトル $\hat{\bf n}$ と 曲率 $\kappa$

$(d)$ 従法線単位ベクトル $\hat{\bf b}$ とねじれ率 $\tau$

解 (a) $${\frac{d {\bf r}}{dt} = (4a \sqrt{1 - t^2}, 4at, 4a)}$$ より

$$\Vert\frac{d {\bf r}}{dt}\Vert = \sqrt{16a^2 (1- t^2) + 16a^2 t^2 + 16a^2} = \sqrt{32 a^2} = 4\sqrt{2} a$$

したがって，

$$s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \Vert \frac{d {\bf r}}{dt}\Vert dt = 4\sqrt{2} a (t_{2} - t_{1})$$

(b)

$$\hat{\bf t} = \frac{d {\bf r}}{ds} = \frac{d {\bf r}/dt}{ds/dt} = \frac{(4a \sqrt{1 -t^2}, 4at, 4a)}{4\sqrt{2} a}$$

(c) $${\frac{d \hat{\bf t}}{dt} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{-t}{\sqrt{1 - t^2}}, 1, 0\right), \frac{ds}{dt} = 4\sqrt{2} a}$$ より

$$\kappa = \Vert\frac{d \hat{\bf t}}{ds}\Vert = \Vert\frac{d \hat{\... ...Vert = \frac{1}{8a}\sqrt{\frac{t^2}{1 - t^2} + 1} = \frac{1}{8a \sqrt{1 - t^2}}$$

また， $${\hat{\bf n} = \frac{1}{\kappa}\frac{d \hat{\bf t}}{ds}}$$ より

$$\hat{\bf n} = (-t, \sqrt{1 - t^2}, 0)$$

(d)

$$\hat{\bf b} = \hat{\bf t} \times \hat{\bf n} = \frac{1}{\sqrt{2}}... ...t^2} & 0 \end{array} \right\vert = \frac{1}{\sqrt{2}}(-\sqrt{1 - t^2}, -t, 1)$$

また，

$$\frac{d \hat{\bf b}}{ds} = \frac{d \hat{\bf b}/dt}{ds/dt} = \frac{1}{8a}\left(\frac{t}{\sqrt{1- t^2}}, -1, 0\right) = - \tau \hat{\bf n}$$

より $${\tau = \frac{1}{8a \sqrt{1 - t^2}}}$$ $\ \blacksquare$

演習問題

1.

次のベクトル値関数で与えられる点運動に対して $t = 1$ のとき ${\bf v}(t),{\bf a}(t),v,\hat{\bf t},\hat{\bf n}$ を求めよう．

(a) $${{\bf r}(t) = (a\cos{\pi t} + bt^2, a\sin{\pi t} - bt^2)}$$

(b) $${{\bf r}(t) = (t^3, t)}$$ (c) $${{\bf r}(t) = (2, t^2, (t-1)^2)}$$

2.

次の曲線について， $\hat{\bf t}, \hat{\bf n}, \hat{\bf b}$，曲率 $\kappa$，ねじれ率 $\tau$ を求めよう．

(a) $${{\bf r}(t) = (t,t^2,\frac{2}{3}t^3)}$$ (b) $${{\bf r}(t) = (\cos{t}, \sin{t}, t)}$$