無理関数の積分法(integration of irrational functions)

無理関数の積分は残念ながらいつでも求められるとは限りません．ここでは適当な変換により，有理関数に帰着できるものを扱います．$R(x,y)$ を $x,y$ の有理関数とすると，

$${(1) \ \int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx}$$, $(a,b,c,d:$定数$,ad-bc \neq 0)$ は $${t = \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}}$$ より，有理関数になります．

例題 3..18  

$${\int \frac{dx}{1 - \sqrt{x}}}$$ を求めてみましょう．

解 無理関数の積分は，無理関数を有理関数に変えれればよいので $\sqrt{x} = t$ とおいてみましょう．すると $x = t^2$ より $dx = 2t dt$ となります．よって

$$\int \frac{dx}{1 - \sqrt{x}} = \int \frac{2t}{1 - t}dt = \int (-2 + \frac{2}{1-t})dt$$

$$= -2t - 2\log{\vert 1 - t\vert} + c = - 2\sqrt{x} - 2\log{\vert 1 - \sqrt{x}\vert} + c \ensuremath{\ \blacksquare}$$

$(2) \ \int R(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c})dx, \ (a \neq 0)$ は $ax^{2}+bx+c$ が $ax^{2}+bx+c = a(x + \alpha)^{2} + \beta^{2}$ または $ax^{2}+bx+c = a(x + \alpha)^{2} - \beta^{2}$ のいずれかで表わされます．そこで， $a(x + \alpha)^{2} + \beta^{2}$ のときは斜辺が $\sqrt {a(x + \alpha )^{2} + \beta ^{2}}$ となるような直角三角形を考えます．

図 3.1: $\sqrt {a(x + \alpha )^{2} + \beta ^{2}}$

すると $\sqrt{a}(x + \alpha) = \beta \tan{t}$ より

$$x = \frac{\beta}{\sqrt{a}}\tan{t} - \alpha , \sqrt{a(x + \alpha)^{2} + \beta^{2}} = \beta \sec{t}, \ dx = \frac{\beta}{\sqrt{a}}\sec^{2}{t} dt$$

となり三角関数の有理式の積分に変換できます．

$ax^{2}+bx+c = a(x + \alpha)^{2} - \beta^{2}$ の場合は $\sqrt {a(x + \alpha )^{2} - \beta ^{2}}$ が対辺となるような直角三角形を考えます．

図 3.2: $\sqrt {a(x + \alpha )^{2} - \beta ^{2}}$

すると $\sqrt{a}(x + \alpha) = \beta \sec{t}$ より

$$x = \frac{\beta}{\sqrt{a}}\sec{t} - \alpha ,\sqrt{a(x + \alpha)^{2} - \beta^{2}} = \beta \tan{t}, \ dx = \frac{\beta}{\sqrt{a}}\sec{t}\tan{t} dt$$

となり三角関数の有理式の積分に変換できます．

$(3)\ ax^{2} + bx + c$が実数解 $\alpha, \beta$を持つときは， $t = \sqrt{\frac{x - \beta}{x - \alpha}}$とおくと，$x$と $\sqrt{ax^{2} + bx + c}$の有理関数の積分は$t$の有理関数の積分に変換できます．

例題 3..19  

$${\int \frac{xdx}{\sqrt{x^2 - 4}}}$$ を求めてみましょう．

解 分母が2乗の差の平方根なので，これが対辺にくるような直角三角形を考えます． すると $x = 2\sec{t}$ と表わせるので， $dx = 2\sec{t}\tan{t}dt$．また， $\sqrt{x^2 - 4} = 2\tan{t}$ と表わせます．よって

$$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}dx = \int \frac{2\sec{t}}{2\tan{t}} 2\sec{t}\tan{t}dt$$

$$= 2\int \sec^{2}{t}dt = 2 \tan{t} + c$$

$$= \sqrt{x^2 - 4} + c \ensuremath{\ \blacksquare}$$

例題 3..20  

$${\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 4}}}$$ を求めてみましょう．

解 $x^{2} - 4 = (x+2)(x-2)$より， $t = \sqrt{\frac{x-2}{x+2}}$とおくと， $\sqrt{x^{2} - 4} = \sqrt{(x+2)(x-2)} = t(x+2)$となります．両辺を2乗して$x$について解くと， $x = \frac{-2(t^{2} + 1)}{t^{2} - 1}$, $\sqrt{x^{2} - 4} = t(\frac{-2(t^{2} + 1)}{t^{2} - 1} + 2) = \frac{-4t}{t^{2} - 1}$, $dx = \frac{8t}{(t^{2} - 1)^{2}}$.

よって，

$$I = \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 - 4}} = \int \frac{-(t^{2} - 1)}{2(t^{2} + 1)} \cdot \frac{t^{2} - 1}{-4t} \cdot \frac{8t}{(t^{2} - 1)^{2}} dt$$

$$= \int \frac{1}{t^{2} + 1}dt = \tan^{-1}(t) + c = \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}\right) + c \ \ensuremath{\ \blacksquare}$$

確認問題

1.

次の積分を求めよう．

(a) $${\int{\frac{1}{1+\sqrt{x}}}\ dx}$$ (b) $${\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}}\ dx}$$ (c) $${\int{\frac{dx}{\sqrt{1 - e^x}}}}$$ (d) $${\int{\frac{x}{\sqrt{x - 1}}}\ dx}$$(e) $${\int{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}}\ dx}$$ (f) $${\int{\frac{x^{3}}{\sqrt{x^2 + 4}}}\ dx}$$ (g) $${\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2 - 2x - 3}}}}$$

(h) $${\int{\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}}\ dx}$$

演習問題

1.

次の積分を求めよう．

(a) $${\int{x\sqrt{1+x}} \ dx}$$ (b) $${\int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}}\ dx}$$ (c) $${\int{\frac{dx}{\sqrt{1 + e^x}}}}$$ (d) $${\int{x^2 \sqrt{x - 1}}\ dx}$$

(e) $${\int{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}\ dx}$$

2.

次の積分を求めよう．

(a) $${\int{\frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}}\ dx}$$ (b) $${\int{\frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}}}\ dx}$$ (c) $${\int{\frac{e^x}{9 - e^{2x}}}\ dx}$$ (d) $${\int{\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x^4}}\ dx}$$ (e) $${\int{\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2 - a^2}}}}$$ (f) $${\int{\frac{dx}{e^x\sqrt{4 + e^{2x}}}}}$$ (g) $${\int{\frac{dx}{\sqrt{x^2 - 2x - 3}}}}$$

(h) $${\int{\frac{x}{\sqrt{6x - x^2}}}\ dx}$$ (i) $${\int{\frac{x}{\sqrt{x^2 - 2x - 3}}}\ dx}$$ (j) $${\int{\sqrt{6x - x^2 - 8}}\ dx}$$

(k) $${\int{x\sqrt{x^2 + 6x}}\ dx}$$