三角関数の積分法(integration of trigonometric functions)

前節ですべての有理関数は積分できることを学びました．そこで，三角関数の積分も三角関数を有理関数に直すことができればよいわけです．実は三角関数を有理関数に必ず直す方法があります．その最も一般的な方法として， $t = \tan{\frac{x}{2}}$ とおく置換があります． $t = \tan{\frac{x}{2}}$ より， $x = 2\tan^{-1}{t}$．次に，

$$\cos^{2}{\frac{x}{2}} + \sin^{2}{\frac{x}{2}} = 1$$

より，

$$1 + \tan^{2}{\frac{x}{2}} = \frac{1}{\cos^{2}{\frac{x}{2}}}$$

ここで， $t = \tan{\frac{x}{2}}$ に注意すると

$$1 + t^2 = \frac{1}{\cos^{2}{\frac{x}{2}}} となり \cos^{2}{\frac{x}{2}} = \frac{1}{1 + t^2}$$

また，

$$\sin^{2}{\frac{x}{2}} = 1 - \cos^{2}{\frac{x}{2}} = \frac{t^2}{1 + t^2}$$

これより，

[1] $t = \tan{\frac{x}{2}}$ のとき，

$$dx = d(2 \tan^{-1}{t}) = \frac{2dt}{1+t^{2}}$$

$$\sin{x} = \sin{2\cdot\frac{x}{2}} = 2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}} = 2 \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} = \frac{2t}{1+t^{2}}$$

$$\cos{x} = \cos{2\cdot \frac{x}{2}} = \cos^{2}{\frac{x}{2}} - \sin^{2}{\frac{x}{2}} = \frac{1}{1 + t^2} - \frac{t^2}{1 + t^2} = \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$$

となり，すべての三角関数の積分は必ず有理関数の積分に直せます．しかし，この置換はあくまで最後に用いるもので，もっと簡単に有理関数に変えれる場合はそちらを用います．次のような場合があります．

$R(u)$ が $u$ の有理関数のとき

[2] $\sin{x} = t$ とおくと， $\cos{x}dx = dt$より，

$$\int R(\sin{x})\cos{x}dx = \int R(t) dt$$

[3] $\cos{x} = t$ とおくと， $-\sin{x}dx = dt$より，

$$\int R(\cos{x})\sin{x}dx = -\int R(t) dt$$

$\int R(\tan{x})dx, \int R(\sin^{2}{x})dx, \int R(\cos^{2}{x})dx$ は $\tan{x} = t$ とおくと，

$$\cos^{2}{x} + \sin^{2}{x} = 1$$   より$$1 + \tan^{2}{x} = \frac{1}{\cos^{2}{x}}$$

よって

[4] $t = \tan{x}$ より，

$$\cos^{2}{x} = \frac{1}{1+t^{2}}$$

$$\sin^{2}{x} = 1 - \cos^{2}{x} = 1 - \frac{1}{1+t^{2}} = \frac{t^{2}}{1+t^{2}}$$

$$dx = d(\tan^{-1}{x}) = \frac{dt}{1+t^{2}}$$

となり， $t$ の有理関数に変換できます．

例題 3..15  

$${\int \sin^{3}{x}\cos^{3}{x} dx}$$ を求めてみましょう．

解 この積分は $\sin^{3}{x}\cos^{3}{x}$ を

$$\sin^{3}{x}\cos^{2}{x} \cos{x} = \sin^{3}{x}(1 - \sin^{2}{x})\cos{x}$$

と書き換えると， $\sin{x}$ の有理関数と $\cos{x}$ の積となります．そこで， $\sin{x} = t$ とおくことにより $dt = \cos{x} dx$ となり， $t$ の有理関数に帰着することができます．よって

$$\int \sin^{3}{x}\cos^{3}{x} dx = \int \sin^{3}{x}(1 - \sin^{2}{x})\cos{x} dx$$

$$= \int t^{3}(1 - t^{2})dt = \frac{t^{4}}{4} - \frac{t^{6}}{6} + c$$

$$= \frac{\sin^{4}{x}}{4} - \frac{\sin^{6}{x}}{6} + c \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 3..16  

$${\int \tan^{2}{x} dx}$$ を求めてみましょう．

解 $\tan{x}$ の有理関数は $\tan{x} = t$ とおくと， $x = \tan^{-1}{t}$ より

$$dx = \frac{1}{1 + t^{2}} dt$$

よって $\tan^{2}{x}$ は $t$ の有理関数．また， $dx$ も $t$ の有理関数と $dt$ の積で表わせることがわかります．これより

$$\int \tan^{2}{x} dx = \int \frac{t^{2}}{1 + t^2} dt$$

$$= \int \frac{1 + t^{2} - 1}{1+ t^{2}} dt$$

$$= \int [1 - \frac{1}{1+ t^2}] dt = t - \tan^{-1}{t} + c$$

$$= \tan{x} - x + c$$

別解

$$\int \tan^{2}{x} dx = \int \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}} dx = \int \frac{1 - \cos^{2}{x}}{\cos^{2}{x}} dx$$

$$= \int (\sec^{2}{x} - 1) dx = \tan{x} - x + c \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 3..17  

$${\int \frac{dx}{1 + \cos{x}}}$$ を求めてみましょう．

解 [2],[3],[4]のどちらの形もしていないので，最後の手段 $x = 2\tan^{-1}{t}$ を用います．

$$dx = \frac{2}{1+ t^2}dt, \cos{x} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$$

より

$$\int \frac{dx}{1 + \cos{x}} = \int \frac{\frac{2dt}{1 + t^2}}{1 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} = \int \frac{2}{1 + t^2 + 1 - t^2}dt$$

$$= \int dt = t + c = \tan{\left(\frac{x}{2}\right)} + c \ensuremath{ \blacksquare}$$

確認問題

1.

次の積分を求めよう．

(a) $${\int{\sin^3{x}\cos{x}} dx}$$ (b) $${\int{\sin^2{3x}\cos{3x}} dx}$$ (c) $${\int{\cos^2{x}} dx}$$

(d) $${\int{\cos^{3}{x}} dx }$$ (e) $${\int{\cos^{4}{x}\sin^3{x}} dx}$$ (f) $${\int{\sin{2x}\cos{3x}} dx}$$

(g) $${\int{\sin{2x}\sin{x}} dx}$$ (h) $${\int{\cos{x}\cos{2x}} dx}$$ (i) $${\int{\tan{x}\sec^2{x}} dx}$$

(j) $${\int{\sec^3{x}} dx}$$

演習問題

1.

次の積分を求めよう．

(a) $${\int{\sin^3{x}} dx}$$ (b) $${\int{\sin^2{3x}} dx}$$ (c) $${\int{\sin^3{x}\cos^2{x}} dx}$$

(d) $${\int{\cos{3x}\sin{2x}} dx }$$ (e) $${\int{\sin^5{x}} dx}$$ (f) $${\int{\sec^2{\pi x}} dx}$$ (g) $${\int{\tan^3{x}} dx}$$

(h) $${\int{\tan^2{x}\sec^2{x}} dx}$$ (i) $${\int{\tan^3{x}\sec^3{x}} dx}$$ (j) $${\int{\sec^5{x}} dx}$$

(k) $${\int{\frac{dx}{3 - 2\cos{x}}}}$$ (l) $${\int{\frac{\sin{x}}{2 - \sin{x}}} dx}$$ (m) $${\int{\frac{1 + \sin{x}}{1 + \cos{x}}} dx}$$

(n) $${\int{\frac{\sin^2{x}}{\sin^2{x} - \cos^2{x}}} dx}$$ (o) $${\int{\frac{dx}{1 + \tan{x}}}}$$