部分積分法(integration by parts)

置換積分法を用いて．かなりの積分が求められるようになりました．しかし， $\int \log{x}dx$ のような単純に思えるものも，置換積分法では手に負えないのです．実際， $t = \log{x}$ とおくと $${dt = \frac{dx}{x}}$$．これより， $dx = x dt, x = e^{t}$ となり，

$$\int \log{x} dx = \int t e^{t} dt$$

これでは先に進めません．ではどうすればいいのでしょうか．そこで， 置換積分を用いても不定積分が求められないとき，最後の手段として用いるものに，部分積分法(integration by parts) があります．

定理 3..5  

[部分積分法] $f(x),g(x)$ が連続であるとき，次の式が成り立つ．

$$\int f(x)g^{\prime}(x) = f(x)g(x) - \int f^{\prime}(x)g(x)dx$$

証明

$$\frac{d}{dx}\{f(x)g(x) - \int f^{\prime}(x)g(x)dx \} = f^{\prime}(x)g(x) + f(x)g^{\prime}(x) - f^{\prime}(x)g(x)$$

$$= f(x)g^{\prime}(x)$$

これより， $f(x)g(x) - \int f^{\prime}(x)g(x)dx$ は $f(x)g^{\prime}(x)$ の不定積分となります． $\blacksquare$

上の式で， $u = f(x),v = g(x)$ とおくと，次の式が成り立ちます．

$$\int udv = uv - \int vdu$$

例題 3..8  

部分積分法を用いて， $${\int \log{x} dx}$$ を求めてみましょう．

解

$$\begin{array}{ll} u = \log{x}, & dv = dxとおくと\\ du = \frac{1}{x}dx, & v = \int dv = \int dx = x + c \end{array}$$

よって

$$\int \underbrace{\log{x}}_{u} \underbrace{dx}_{dv} = \underbrace{(x + c)}_{v} \underbrace{\log{x}}_{u} - \int \underbrace{(x + c)}_{v} \underbrace{\frac{1}{x} dx}_{du}$$

$$= x \log{x} + c\log{x} - x - c\log{x} + c$$

$$= x \log{x} - x + c$$

これより， $v = \int dv$ を求めるときは任意の定数 $c$ を無視できます． $\blacksquare$

例題 3..9  

$${\int \sin^{-1}{x}dx}$$ を求めてみましょう．

解 まず， $${t = \sin^{-1}{x}}$$ とおくと， $${x = \sin{t}, -\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}}$$ より， $${dx = \cos{t}dt}$$．よって

$$\int \sin^{-1}{x}dx = \int t \cos{t} dt$$

となり，積分公式(1)から(12)を用いて積分できません．そこで，部分積分を用います．

$u = \sin^{-1}{x}$,	$dv = dx$とおくと
$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx$,	$v = \int dv = \int dx = x$ (定数cは無視)

よって

$$\int \underbrace{\sin^{-1}{x}}_{u}\underbrace{dx}_{dv} = \underbr... ...x}}_{u} - \int \underbrace{x}_{v} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx}_{du}$$

ここで， $t = 1 - x^2$ とおくと， $dt = -2x dx$．よって

$$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx = -\int \frac{dt/2}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2}\int t^{-1/2} dt = - t^{1/2} + c = - \sqrt{1 - x^2} + c$$

これより，

$$\int \sin^{-1}{x} dx = x\sin^{-1}{x} + \sqrt{1 - x^{2}} + c \ensuremath{ \blacksquare}$$

例題 3..10  

$${\int x e^{-x} dx}$$ を求めてみましょう．

解

$u = x$,	$dv = e^{-x}dx$とおくと
$du = dx$,	$v = \int dv = -e^{-x}$ (定数cは無視)

よって

$$\int \underbrace{x}_{u}\underbrace{e^{-x} dx}_{dv} = \underbrace{x}_{u}\underbrace{(-e^{-x})}_{v} - \int \underbrace{-e^{-x}}_{v} \underbrace{dx}_{du}$$

$$= -xe^{-x} -e^{-x} + c \ensuremath{ \blacksquare}$$

確認問題

1.

次の不定積分を求めよう．

(a) $${\int{xe^{x}} dx}$$ (b) $${\int{x\sin{x}} dx}$$ (c) $${\int{xe^{2x}} dx}$$ (d) $${\int{x^{2}e^{x}} dx}$$

(e) $${\int{x^{2}\sin{x}} dx}$$ (f) $${\int{x^{5}e^{x^{3}}} dx}$$ (g) $${\int{x\cos{x}} dx}$$

演習問題

1.

次の不定積分を求めよう．

(a) $${\int{x\log{x}} dx}$$ (b) $${\int{x^2e^{-x}} dx}$$ (c) $${\int{(\log{x})^2} dx}$$

(d) $${\int{x(x+5)^{14}} dx}$$ (e) $${\int{x^{2}\cos{x}} dx}$$ (f) $${\int{e^{x}\sin{x}} dx}$$

(g) $${\int{\log{(1+x^2)}} dx}$$ (h) $${\int{x\tan^{-1}{x}} dx}$$ (i) $${\int{x^n\log{x}} dx}$$ (nは整数)

(j) $${\int{x^3\sin{x}} dx}$$ (k) $${\int{x\sinh{x}} dx}$$