置換積分法(integration by substitution)

不定積分 $\int f(x)dx$ を求めるときに，被積分関数 $f(x)$ の原始関数が四則の演算により積分公式(1)から(12)の形に直せないことがよくあります．そんなとき， $f(x) dx$ の $x$ をある $t$ の関数 $\phi(t)$ に置き換えることにより， $f(x) dx$ を $f(\phi(t))\phi^{\prime}(t)dt$ という，公式(1)から(12)を用いることにより積分できる形に変形することを 置換積分法(integration by substitution) といいます．

定理 3..4  

[置換積分法]$f(x)$ が連続であるとき， $x = \phi(t)$ とおくと， $\phi(t)$ が微分可能であれば，

$$\int f(x)dx = \int f(\phi(t))\phi^{\prime}(t)dt$$

が成り立つ．

証明 $\int f(x)dx = F(x)$ とすると， $F^{\prime}(x) = f(x)$ である．そこで $x = \phi(t)$ とおき， $F(\phi(t))$ を考えると，

$$\frac{d}{dt}F(\phi(t)) = F^{\prime}(\phi(t))\phi^{\prime}(t) = f(\phi(t))\phi^{\prime}(t)$$

となるので，

$$\int f(\phi(t))\phi^{\prime}(t)dt = F(\phi(t)) = F(x) = \int f(x)dx$$

となります． $\ \blacksquare$

この定理により， $\int f(x)dx$ を求めるのに， $x = \phi(t)$ とその微分 $dx = \phi^{\prime}(t)dt$ とをもとの式に形式的に代入し， $\int f(\phi(t))\phi^{\prime}(t)dt$ としてこれを計算すればよいことがわかります．

例題 3..5  

$${\int \frac{2x + 1}{x^2 + x} dx}$$ を求めてみましょう．

解 このままの形では，公式(1)から(12)のどれも使えないことがわかります．そこで $t = x^2 + x$ とおきます．すると $dt = (2x + 1)dx$ となるので，これを用いて元の不定積分を書き直すと

$$\int \frac{2x + 1}{x^2 + x} dx = \int \frac{dt}{t}$$

となります．右辺をよく見てください．これは定理3.1(2)の形でダミー変数 $t$ が用いられています．よって

$$\int \frac{2x + 1}{x^2 + x} dx = \int \frac{dt}{t} = \log{\vert t\vert} + c = \log{\vert x^2 + x\vert} + c$$

となります． $\ \blacksquare$

この例題に用いたテクニックを一般化すると次の公式を得ます．

$$\int \frac{k g^{\prime}{(x)}}{g(x)} dx = k \log{\vert g(x)\vert} + c$$

この公式を用いると

$$\int \tan{x} dx = \int \frac{\sin{x}}{\cos{x}} dx = - \int \frac{-\sin{x}}{\cos{x}}dx = - \log{\vert\cos{x}\vert} + c$$

となります．これを定理3.1(6)と比較すると，

$$- \log{\vert\cos{x}\vert} + c = \log1 - \log{\vert\cos{x}\vert} + c = \log{\frac{1}{\vert\cos{x}\vert}} + c = \log{\vert\sec{x}\vert} + c$$

より同じものだとわかります．このように定理3.1の(6)から(12)までの公式は，置換積分を用いることにより定理3.1(2)，(4)，(5)からすべて求めることができることを次の何節かで学びます．

例題 3..6  

$${\int x^{2}\sqrt{x+1}dx}$$ を求めてみましょう．

解 $t = x+1$ とおくと， $dt = dx$．また $x = t - 1$ より，

$$\int x^{2}\sqrt{x+1}dx = \int (t-1)^{2}\sqrt{t}dt$$

$$= \int (t^{2} -2t + 1)t^{\frac{1}{2}}dt$$

$$= \int (t^{\frac{5}{2}} - 2t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{1}{2}})dt$$

$$= \frac{2}{7}t^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5}t^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}} + c\$$

$$= \frac{2}{7}(x+1)^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5}(x+1)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} + c \ensuremath{\ \blacksquare}$$

例題 3..7  

$${\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}dx}$$ を求めてみましょう．

解 $t = x^2 - 4$ とおくと， $dt = 2x dx$ となるので，

$$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}}dx = \int \frac{dt/2}{\sqrt{t}}$$

$$= \frac{1}{2}\int t^{-1/2}dt = \frac{1}{2}2t^{1/2} + c = \sqrt{x^2 - 4} + c \ensuremath{\ \blacksquare}$$

確認問題

1.

次の積分を求めよう．

(a) $${\int{\sin{2x}}\ dx}$$ (b) $${\int{\frac{x}{x^{2}+1}}\ dx}$$ (c) $${\int{e^{2x}}\ dx}$$ (d) $${\int{\frac{1}{x\log{x}}}\ dx}$$

(e) $${\int{xe^{x^{2}}}\ dx}$$ (f) $${\int{\sin^{2}{x}\cos{x}}\ dx}$$ (g) $${\int{x\sqrt{1+x}} \ dx}$$

(h) $${\int{\frac{\cos{x} - \sin{x}}{\sin{x} + \cos{x}}}\ dx }$$ (i) $${\int{\frac{e^x}{1 + e^{x}}} \ dx}$$

演習問題

1.

次の積分を求めよう．

(a) $${\int{e^{2-x}}\ dx}$$ (b) $${\int{\sec^2{(1-x)}}\ dx}$$ (c) $${\int{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}\ dx}$$ (d) $${\int{\frac{\sin{x}}{\cos^2{x}}}\ dx}$$ (e) $${\int{\frac{e^{1/x}}{x^2}} \ dx}$$ (f) $${\int{\frac{\sec^2{\theta}}{\sqrt{3\tan{\theta} + 1}}}\ d\theta}$$ (g) $${\int{\frac{1+\cos{2x}}{\sin^2{x}}} \ dx}$$ (h) $${\int{\frac{\log{x}}{x}}\ dx }$$ (i) $${\int{\frac{e^x}{1 + e^{2x}}} \ dx}$$ (j) $${\int{x\sin{(x^2)}} \ dx}$$