1.4 連続関数

1.

(a) 存在しない(b) $\infty$(c) $\sqrt{a}$(d) $-\sqrt{2}$(e) $1$(f) 0(g) 存在しない

2.

連続

3.

$a \in (0, \infty)$のとき $\lim_{x \rightarrow a}\sqrt{x} = \sqrt{a}$を示す．任意の正の数 $\varepsilon$に対して， $${\delta = \frac{\varepsilon}{\sqrt{a}}}$$ととると，

$$\vert\sqrt{x} - \sqrt{a}\vert = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{a}}\vert x - a\vert \leq \frac{\vert x - a\vert}{\sqrt{a}} \leq \varepsilon$$

4.

(a) $\max = 11, \min = -1$(b) $\min = 1$

(c) $${\max = \left\{\begin{array}{cl} 4-2a & a \leq 0\\ 4-2a & 0 < a ... ...\\ -\frac{a^2}{4} & 0 < a < 4\\ -\frac{a^2}{4} & a \geq 4 \end{array}\right.}$$

5.

$${f(x) = 2\sin{x} - x}$$とおくと，$f(x)$は $${[\frac{\pi}{2},\pi]}$$ で連続で $${f(\frac{\pi}{2}) = 2 - \frac{\pi}{2} > 0}$$ また $f(\pi) = - \pi < 0$ となるので，中間値の定理より $f(\xi) = 0$となる$\xi$が $${[(\frac{\pi}{2},\pi)}$$内に存在する．