線積分(Line integral)

2点 R，Q を結ぶ曲線 $C$ が与えられているとします． ただし，この曲線は滑らかな曲線とします．$C$ に沿って測った弧長を $s$ とします．すると2章で学んだように曲線上の点 $(x,y,z)$ は弧長 $s$ をパラメターとして表わすことができます．よって曲線 $C$ の方程式は

$$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s) = x(s)\:\boldsymbol{i} + y(s)\:\boldsymbol{j} + z(s)\:\boldsymbol{k}$$

で表わせます．ただし $s = a,b (a < b)$ にはそれぞれ点 R，Q が対応しているとします．このとき曲線 $C: \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s)$ 上の任意の点P $(x,y,z)$ に対して定義されたスカラー場を $f({\rm P}) = f(x,y,z)$ とします．

曲線 $C$ を $n$ 個の弧 $s_{1},s_{2},\ldots,s_{n}$ に分割し，この分割を $\Delta$ で表します．各曲線 $s_{i}$ の弧長を $\Delta s_{i}$ とし， $s_{i}$ の中に任意の点 ${\rm P}_{i}$ をとり次の和を考えます．

$$J(\Delta) = \sum_{i=1}^{n} f({\rm P}_{i})\Delta s_{i}$$

ここで，この分割を細かくし $\Delta$ を限りなく小さくしたとき $J(\Delta)$ が極限値 $J$ に近づくならば，この極限値 $J$ をスカラー場 $f$ の $C$ に沿っての 線積分(line integral) といい，

$$\int_{C}f({\rm P}) ds$$

で表わします．曲線 $C$ が閉じているときは

$$\oint_{C} f({\rm P}) ds$$

と表わします．

線積分の定義は，今までの積分と同じRiemann和によるものなので，線積分においても次の公式が成り立つのは明らかです．

$$\begin{array}{l} 1. \int_{C} k f({\rm P}) ds = k \int_{C}f(... ... = \int_{C} f({\rm P})ds + \int_{C}g({\rm P})ds \\ \end{array}$$

また，曲線 $C$ が滑らかではないが有限個の滑らかな曲線 $C_{1},C_{2},\ldots,C_{n}$ をつなげてできているとき，この曲線を 区分的に滑らかな曲線(piecewise smooth curve) といい，このような曲線に沿っての線積分は

$$\int_{C} = \int_{C_{1}} + \int_{C_{2}} + \cdots + \int_{C_{n}}$$

で表わせます．

例題 3..7  

$${\int_{C}(x^3 + y^4)ds}$$ を線積分してみましょう．ただし， $C$ は点 $(0,0,0)$ と $(1,1,1)$ を結ぶ直線とします．

解 点 $(0,0,0)$ と点 $(1,1,1)$ を結ぶ直線をパラメター表示すると

$$\left\{\begin{array}{l} x = t\\ y = t\\ z = t \end{array}\right. 0 \leq t \leq 1$$

となります．よって曲線 $C$ は $\boldsymbol{r}(t) = t\:\boldsymbol{i} + t\:\boldsymbol{j} + t\:\boldsymbol{k}$ で表され，曲線 $C$ の弧長 $s$ は

$$s(t) = \int_{0}^{t}\vert\frac{d \boldsymbol{r}}{dt}\vert dt = \in... ...}^{t} \vert\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}\vert dt = \sqrt{3}t$$

となります．これより $ds = \sqrt{3}dt$ となり，求める線積分は

$$\int_{C}(x^3 + y^4)ds = \int_{0}^{1} (t^3 + t^4) \sqrt{3}dt = \sqrt{3}(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) = \frac{9\sqrt{3}}{20}$$

ベクトル場の線積分

次に向きのついた曲線 $C : \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)$ と $C$ の上で定義されたベクトル場 $\boldsymbol{F} = F_{1}\:\boldsymbol{i} + F_{2}\:\boldsymbol{j} + F_{3}\:\boldsymbol{k}$ が与えられているとします．ここで $C$ の接線単位ベクトル ${\bf t}$ を曲線 $C$ の正の方向(長さが増加する方向)での接線単位ベクトルとします．すると $\boldsymbol{F}\cdot{\bf t}$ は $C$ 上で定義されたスカラー場となるので，このスカラー場の曲線 $C$ に沿っての線積分は

$$\int_{C} \boldsymbol{F} \cdot{\bf t} ds$$

で表わせ，これをベクトル場 $\boldsymbol{F}$ の向きのついた曲線 $C$ に沿っての線積分といいます．特に

$${\bf t} ds = \frac{d\boldsymbol{r}}{ds} ds = d \boldsymbol{r}$$

に注意すると

$$\int_{C} \boldsymbol{F} \cdot{\bf t} ds = \int_{C} \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r}$$

で表わすことができます．

図: ベクトル場の線積分

ここでベクトル場 $\boldsymbol{F}$が電場の場合を考えると， $\int_{{\rm P}}^{{\rm S}}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$ は正の電荷が点Pから点Sまで曲線 $C$ にそって移動するとき，電場 $\boldsymbol{F}$が行なう単位電荷あたりの仕事と考えることができ，これを2点間の電位差または電圧といいます．

例題 3..8  

質点が楕円 $${\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1}$$ の回りを一周するのに行なった仕事量を求めてみましょう．ただし，ベクトル場は

$$\boldsymbol{F} = (3x-4y+2z)\:\boldsymbol{i} + (4x+2y-3z^2)\:\boldsymbol{j} + (2xz-4y^2 + z^3)\:\boldsymbol{k}$$

解 $x = 4\cos{t}, y = 3\sin{t}$ とおくと．

$$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t) = 4\cos{t}\:\boldsymbol{i} + 3... ... d\boldsymbol{r}(t) = (-4\sin{t}\:\boldsymbol{i} + 3\cos{t}\:\boldsymbol{j})dt$$

また，

$$\boldsymbol{F} = (12\cos{t} - 12\sin{t})\:\boldsymbol{i} + (16\cos{t} + 6\sin{t})\:\boldsymbol{j} -36\sin^{2}{t}\:\boldsymbol{k}$$

よって

$$\int_{C} \boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r} = \int_{0}^{2\pi} [48 - 30\sin{t}\cos{t}]dt = 96\pi$$

例題 3..9  

$${\int_{C}(x^2 y\boldsymbol{i} + (x+y)\:\boldsymbol{j}) \cdot{\bf t}ds}$$ を求めてみましょう．ただし， $C$ は曲線 $${y = x^2}$$ の点 $(0,0)$ と点 $(2,4)$ を結ぶ曲線とします．

解

$$\int_{C} \boldsymbol{F} \cdot{\bf t} ds = \int_{C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$$

$$= \int_{C} (x^2 y\boldsymbol{i} + (x+y)\:\boldsymbol{j})\cdot(dx\:\boldsymbol{i} + dy\:\boldsymbol{j}) = \int_{C} (x^2 ydx + (x+y)dy)$$

$$= \int_{0}^{2} x^2 x^2 dx + \int_{0}^{2}(x + x^2)(2xdx) = \left[\fr... ...} + \left[\frac{2}{3}x^{3} + \frac{2}{4}x^{4} \right ]_{0}^{2} = \frac{296}{15}$$

別解 曲線 $C$ をパラメター$t$で表示すると

$$C : \boldsymbol{r}(t) = x\:\boldsymbol{i} + y\:\boldsymbol{j} = t\:\boldsymbol{i} + t^2\:\boldsymbol{j}, 0 \leq t \leq 2$$

よって

$$d\boldsymbol{r} = (\boldsymbol{i} + 2t\:\boldsymbol{j})dt, \bol... ...mbol{i} + (x+y)\:\boldsymbol{j} = t^4\:\boldsymbol{i} + (t+t^2)\:\boldsymbol{j}$$

これより

$$\int_{C} \boldsymbol{F} \cdot{\bf t} ds = \int_{C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$$

$$= \int_{0}^{2}(t^4\:\boldsymbol{i} + (t+t^2)\:\boldsymbol{j}) \cdot... ...5}t^{5} + \frac{2}{3}t^{3} + \frac{2}{4}t^{4} \right ]_{0}^{2} = \frac{296}{15}$$

この例題で $-C$ を曲線 $C$ の向きを $(2,4)$ から $(0,0)$ に変えた曲線とすると， 曲線 $-C$ のパラメター表示は

$$-C : \boldsymbol{r}(t) = \boldsymbol{r}(2 - t) = (2-t)\:\boldsymbol{i} + (2-t)^2\:\boldsymbol{j}, 0 \leq t \leq 2$$

となります．よって

$$d\boldsymbol{r} = (-\boldsymbol{i} -2(2-t)\:\boldsymbol{j})dt, ... ...x+y)\:\boldsymbol{j} = (2-t)^4\:\boldsymbol{i} + (2-t)+(2-t)^2\:\boldsymbol{j}$$

これより，

$$\int_{-C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{0}^{2} ((2-t... ...2-t)+(2-t)^2)\:\boldsymbol{j})\cdot(-\boldsymbol{i} -2(2-t)\:\boldsymbol{j})dt$$

ここで $2-t = u$ とおくと， $du = -dt$ より

$$\int_{-C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = - \int_{2}^{0}(u^4\:\boldsymbol{i} + (u+u^2)\:\boldsymbol{j}) \cdot(-\boldsymbol{i} -2u\:\boldsymbol{j})du$$

$$= - \int_{0}^{2}(u^4\:\boldsymbol{i} + (u+u^2)\:\boldsymbol{j}) \cd... ...bol{i} -2u\:\boldsymbol{j})du = - \int_{C} \boldsymbol{F} \cdot d\boldsymbol{r}$$

よって，

$$\int_{-C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = - \int_{C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}$$

または，

$$\int_{-C}\boldsymbol{F}\cdot {\bf t}ds = - \int_{C}\boldsymbol{F}\cdot {\bf t}ds$$

となります．

これまでに保存場では，ベクトル場はスカラー場の勾配と大きさが等しくなることをすでに学びました．では線積分との関係においては，どんなことが成り立つのか調べてみましょう．

定理 3..1  

ベクトル場 $\boldsymbol{F}(x,y,z)$ では次の条件は同値である．

(1) $\boldsymbol{F} = -\nabla \phi$ となるスカラー関数 $\phi(x,y,z)$ が存在する．( $\boldsymbol{F}$は保存場)

(2) 任意の閉曲線 $C$ について $\oint_{C}\boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r} = 0$ が成り立つ (積分経路無関係)．

位置エネルギー

力の場 $\boldsymbol{F}$がポテンシャル$U$をもつとします．つまり， $\boldsymbol{F} = - \nabla U$が成り立つとします．この力の場内に曲線$C$を考え，曲線$C$は点PからQに至るとします．質点がこの力の場の作用を受けながら，この曲線$C$に沿って点PからQまで移動したとき，この質点が $\boldsymbol{F}$から受ける仕事量$W$は

$$W = \int_{C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = U(P) - U(Q)$$

となり，2点P,Qを結ぶ曲線$C$の選び方に関係しません．そこで，ポテンシャル$U$の点Pに値 $U({\rm P})$を，この力の場の点Pにおける位置エネルギー(potential energy)といいます．

例題 3..10  

$\boldsymbol{r}= x\:\boldsymbol{i} + y\:\boldsymbol{j} + z\:\boldsymbol{k}$， $r= \vert\boldsymbol{r}\vert$とすると，ベクトル場 $\boldsymbol{F} = \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}$はスカラーポテンシャル $\phi = \frac{1}{r}$をもつことを示し，空間の各点における位置エネルギーを求めよう．

解 $\nabla \frac{1}{r} = -\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}$より， $\boldsymbol{F} = -\nabla \phi$. または，

$$\nabla \frac{1}{r} = \frac{\partial (r^{-1})}{\partial x}\:\boldsymbol{i} + \frac{\par... ...} + \frac{\partial (r^{-1})}{\partial r}\frac{d(r)}{\partial z}\:\boldsymbol{k}$$

$$= -r^{-2}(\frac{x\:\boldsymbol{i} + y\:\boldsymbol{j} + z\:\boldsymbol{k}}{r}) = - \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}$$

これより， $\boldsymbol{F} = - \nabla \frac{1}{r}$となり，ベクトル場 $\boldsymbol{F}$はポテンシャル $\phi = \frac{1}{r}$をもちます．したがって，点Pにおける位置エネルギーは $\frac{1}{r}$となります．

問 3..1  

力の場 $\boldsymbol{F}$がポテンシャル$U$をもつとする．この力の場内で質量$m$の質点が運動して，点Aから点Bまで移動したとき，次の式が成り立つことを証明せよ．

$$\frac{1}{2}mv_{A}^2 + U(A) = \frac{1}{2}mv_{B}^2 + U(B)$$

ここで， $v_{A},v_{B}$はそれぞれ点A,Bにおけるこの質点の速度ベクトルの大きさである．

演習問題3.3

1.

力の場 ${\mathbf F} = 3xy \boldsymbol{i} - 5{\bf z} + 10 x\boldsymbol{k}$の中で質点が曲線

$$C : x = t^2 + 1, y = 2t^2, z = t^3$$

に沿って$t = 1$から$t = 2$まで運動する間に力 ${\mathbf F}$がする仕事量 $W = \int_{C}{\mathbf F}\cdot d\boldsymbol{r}$を求めよ.

2.

スカラー場 $\phi = 2xyz^2$，ベクトル場 ${\mathbf F} = xy\boldsymbol{i} - z\boldsymbol{j} + x^2 \boldsymbol{k}$がある．媒介変数表示 $x = t^2, y = 2t, z = t^3 (0 \leq t \leq 1)$で表される曲線を$C$とする．次の線積分を求めよ．

(1) $\int_{C}\phi d\boldsymbol{r}$ (2) $\int_{C}{\mathbf F} \times d\boldsymbol{r}$

3.

$\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k}$とする．任意の閉曲線$C$について $\int_{C}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r} = 0$であることを証明せよ．

4.

力の場 ${\mathbf F}$がポテンシャル$U$をもつとする．この力の場内で質量$m$の質点が運動して，点Aから点Bまで移動したとき，次の式が成り立つことを証明せよ．

$$\frac{1}{2}mv_{A}^2 + U(A) = \frac{1}{2}mv_{B}^2 + U(B)$$

ここで， $v_{A},v_{B}$はそれぞれ点A,Bにおけるこの質点の速度ベクトルの大きさである．

5.

全空間から$z$軸を除外した領域$D$で $\phi = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$は定義されている．$xy$平面上で原点Oを中心とし，半径$a$の円を$C$とする．次の等式を証明せよ．

$$\int_{C}(\nabla \phi)\cdot d\boldsymbol{r} = 2\pi$$