演習問題解答

演習問題詳解3.2

1.

(1) $\phi = x^2 z + e^{y/x}$より，

$$\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\boldsymbol{i} + \f... ...x^2}))\boldsymbol{i} + (e^{y/x}(\frac{1}{x}))\boldsymbol{j} + x^2\boldsymbol{k}$$

$\psi = 2z^2 y - xy^2$より，

$$\nabla \psi = \frac{\partial \psi}{\partial x}\boldsymbol{i} + \f... ...symbol{k} = -y^2\boldsymbol{i} + (2z^2 - 2xy)\boldsymbol{j} + 4zy\boldsymbol{k}$$

(2) $\nabla (\phi \psi) = (\nabla \phi)\psi + \phi \nabla \psi$. (1)より，

$$\nabla (\phi \psi) = ((2xz + e^{y/x}(-\frac{y}{x^2}))\boldsymbol{i} + (e^{y/x}(\frac{1}{x}))\boldsymbol{j} + x^2\boldsymbol{k})(2z^2 y - xy^2)$$

$$+ (x^2 z + e^{y/x})(-y^2\boldsymbol{i} + (2z^2 - 2xy)\boldsymbol{j} + 4zy\boldsymbol{k})$$

より，点P$(1,0,-2)$での値は

$$\nabla (\phi \psi)_{P} = (-4\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k})(0) + (-2+1)(8)\boldsymbol{j} = -8\boldsymbol{j}$$

2. $\phi$の点P$(2,-1,2)$における${\bf u}$方向への方向微分係数は，

$$\frac{\partial \phi(2,-1,2)}{\partial u} = \nabla \phi(1,0,-2) \cdot {\bf u}$$

ここで，

$$\nabla \phi(2,-1,2) = (4z^3 - 6xyz)\boldsymbol{i} + (-3x^2 z)\boldsymbol{j} + (12xz^2 - 3x^2y)\boldsymbol{k}\mid_{(2,-1,2)}$$

$$= (32 + 24)\boldsymbol{i} + (-24)\boldsymbol{j} +(96 + 12))\boldsymbol{k}$$

より，

$$\frac{\partial \phi(2,-1,2)}{\partial u} = (56\boldsymbol{i} - 24... ...ldsymbol{j} + 6\boldsymbol{k}}{7} = \frac{1}{7}(112 + 72 + 648) = \frac{832}{7}$$

3. $\nabla r^{n} = nr^{n-1}\nabla r = nr^{n-1}\frac{\boldsymbol{r}}{r} = nr^{n-2}\boldsymbol{r}$を用いると簡単である．

(1)

$${\bf A} = \nabla \left(2r^2 - 4\sqrt{r} + \frac{6}{3\sqrt{r}}\rig... ...oldsymbol{r}) = (4 - \frac{2}{r\sqrt{r}} - \frac{1}{r^2\sqrt{r}})\boldsymbol{r}$$

(2)

$${\bf B} = \nabla (r^2 e^{-r}) = (\nabla r^{2})e^{-r} + r^{2} (\na... ...boldsymbol{r} -r^2 e^{-r}\frac{\boldsymbol{r}}{r} = (2 - r)e^{-r}\boldsymbol{r}$$

別解 $\nabla f(\phi) = \frac{d f}{d\phi} \nabla \phi$を用いると，

$${\bf B} = \nabla (r^2 e^{-r}) = \frac{d (r^2 e^{-r})}{dr} \nabla r = (2re^{-r} -r^2 e^{-r})\frac{\boldsymbol{r}}{r} = (2 - r)e^{-r}\boldsymbol{r}$$

4. $\phi(x,y,z) = x^2 y + 2xz$の勾配 $\nabla \phi$は点Pでこの曲面 $\phi(x,y,z) = 4$に垂直である．したがって， 単位法ベクトル $\boldsymbol{n}$は

$$\boldsymbol{n} = \frac{(\nabla \phi)_{P}}{\vert\nabla \phi\vert _{P}}$$

ここで， $(\nabla \phi)_{P} = (2xy +2z)\boldsymbol{i} + x^2 \boldsymbol{j} + 2x\boldsymbol{k})\mid_{(2,-2,3)} = -2\boldsymbol{i} + 4\boldsymbol{j} + 4\boldsymbol{k}$より，

$$\boldsymbol{n} = \frac{-2\boldsymbol{i} + 4\boldsymbol{j} + 4\bol... ... + 16 + 16}} = \frac{1}{3}(-\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j} + 2\boldsymbol{k})$$

5. $\nabla = \boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol{k}\frac{\partial }{\partial z}$より，

$$\boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\phi}{\psi}) = \boldsymbol{i}\frac{\phi_{x}\psi - \phi \psi_{x}}{\psi^2} = \frac{\psi \phi_{x}\boldsymbol{i} - \phi \psi_{x}\boldsymbol{i}}{\psi^2}$$

$$\boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial y} (\frac{\phi}{\psi}) = \boldsymbol{j}\frac{\phi_{y}\psi - \phi \psi_{y}}{\psi^2} = \frac{\psi \phi_{y}\boldsymbol{j} - \phi \psi_{y}\boldsymbol{j}}{\psi^2}$$

$$\boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z} (\frac{\phi}{\psi}) = \boldsymbol{k}\frac{\phi_{z}\psi - \phi \psi_{z}}{\psi^2} = \frac{\psi \phi_{z}\boldsymbol{k} - \phi \psi_{z}\boldsymbol{k}}{\psi^2}$$

ここで， $\phi_{x}\boldsymbol{i} + \phi_{y}\boldsymbol{j} + \phi_{z}\boldsymbol{k} = \nabla \phi$, $\psi_{x}\boldsymbol{i} + \psi_{y}\boldsymbol{j} + \psi_{z}\boldsymbol{k} = \nabla \psi$であるから，

$$\nabla \left(\frac{\phi}{\psi}\right) = \frac{\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi}{\phi^2}$$

6.

(1) $r = \sqrt{(\xi -x)^2 + (\eta - y)^2 + (\zeta - z)^2}$， $\nabla_{Q} = \boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial \xi} + \boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial \eta} + \boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial \zeta}$, $\nabla_{P} = \boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z}$とすると，

$$\nabla_{Q}r = \boldsymbol{i}\frac{\partial r}{\partial \xi} + \boldsymbol{j}\frac{\partial r}{\partial \eta} + \boldsymbol{k}\frac{\partial r}{\partial \zeta}$$

$$= \boldsymbol{i}\frac{2(\xi-x)}{2r} + \boldsymbol{j}\frac{2(\eta -y)}{2r} + \boldsymbol{k}\frac{2(\zeta - z)}{2r}$$

$$\nabla_{P}r = \boldsymbol{i}\frac{\partial r}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{\partial r}{\partial y} + \boldsymbol{k}\frac{\partial r}{\partial z}$$

$$= \boldsymbol{i}\frac{-2(\xi-x)}{2r} + \boldsymbol{j}\frac{-2(\eta -y)}{2r} + \boldsymbol{k}\frac{-2(\zeta - z)}{2r} = -\nabla_{Q}r$$

(2)

$$\nabla_{Q}(\frac{1}{r}) = \boldsymbol{i}\frac{\partial r^{-1}}{\partial \xi} + \boldsymbol{... ...l r^{-1}}{\partial \eta} + \boldsymbol{k}\frac{\partial r^{-1}}{\partial \zeta}$$

$$= \boldsymbol{i}(-r^{-2}\frac{(\xi-x)}{r}) + \boldsymbol{j}(-r^{-2}\frac{(\eta-y)}{r}) + \boldsymbol{k}(-r^{-2}\frac{(\zeta-z)}{r})$$

$$\nabla_{P}(\frac{1}{r}) = \boldsymbol{i}\frac{\partial r^{-1}}{\partial x} + \boldsymbol{j}... ...\partial r^{-1}}{\partial y} + \boldsymbol{k}\frac{\partial r^{-1}}{\partial z}$$

$$= \boldsymbol{i}(r^{-2}\frac{(\xi-x)}{r}) + \boldsymbol{j}(r^{-2}\f... ...-y)}{r}) + \boldsymbol{k}(r^{-2}\frac{(\zeta-z)}{r}) = -\nabla_{Q}(\frac{1}{r})$$

演習問題詳解3.3 1. $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k} = (t^2 + 1)\boldsymbol{i} + 2t^2\boldsymbol{j} + t^3 \boldsymbol{k}$より，

$$d\boldsymbol{r} = ( 2t\boldsymbol{i} + 4t\boldsymbol{j} + 3t^2 \boldsymbol{k})dt$$

また， ${\mathbf F} = 3xy\boldsymbol{i} - 5z\boldsymbol{j} + 10x \boldsymbol{k} = 3(t^2+1)(2t^2)\boldsymbol{i} - 5(t^3)\boldsymbol{j} + 10(t^2 + 1)\boldsymbol{k}$． したがって，

$$W = \int_{C}{\mathbf F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{1}^{2}\left(12t^3(t^2+1) - 20t^4 + 30(t^2+1)t^2\right)dt$$

$$= \int_{1}^{2} (12t^5 + 10t^4 + 12t^3 + 30t^2 )dt = \left[2t^6 + 2t^5 + 3t^4 + 10t^3\right]_{1}^{2}$$

$$= 2(64 -1) + 2(32 - 1) + 3(16-1) + 10(8-1) = 303$$

2.

(1) $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k} = t^2\boldsymbol{i} + 2t\boldsymbol{j} + t^3\boldsymbol{k} (0 \leq t \leq 1)$より，

$$d\boldsymbol{r} = 2t\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j} + 3t^2\boldsymbol{k}$$

また， $\phi = 2xyz^2 = 2t^2(2t)(t^3)^2 = 4t^9$．したがって，

$$\int_{C}\phi d\boldsymbol{r} = \int_{0}^{1}4t^{9} (2t\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j} + 3t^2\boldsymbol{k})dt$$

$$= \int_{0}^{1}(8t^{10}\boldsymbol{i} + 8t^{9}\boldsymbol{j} + 12t^{... ...bol{i} + \frac{8}{10}t^{10}\boldsymbol{j} + t^{12}\boldsymbol{k}\right]_{0}^{1}$$

$$= \frac{8}{11}\boldsymbol{i} + \frac{4}{5}\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}$$

(2) $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + \boldsymbol{j} + \boldsymbol{k} = t^2\boldsymbol{i} + 2t\boldsymbol{j} + t^3\boldsymbol{k} (0 \leq t \leq 1)$より，

$$d\boldsymbol{r} = 2t\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j} + 3t^2\boldsymbol{k}$$

また， ${\mathbf F} = xy\boldsymbol{i} - z\boldsymbol{j} + x^2 \boldsymbol{k} = 2t^3\boldsymbol{i} - t^3\boldsymbol{j} + t^4\boldsymbol{k}$．したがって，

$$\int_{C}{\mathbf F} \times d\boldsymbol{r} = \int_{0}^{1}\left\vert\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsy... ...dsymbol{i} - (6t^5 - 2t^5)\boldsymbol{j} + (4t^3 + 2t^4)\boldsymbol{k}\right)dt$$

$$= \left[(-\frac{t^6}{2} - \frac{2t^5}{5})\boldsymbol{i} - \frac{4t^6}{6}\boldsymbol{j} + (t^4 + \frac{2t^5}{5})\boldsymbol{k}\right]_{0}^{1}$$

$$= (-\frac{1}{2} - \frac{2}{5})\boldsymbol{i} - \frac{2}{3}\boldsymb... ...ac{9}{10}\boldsymbol{i} - \frac{2}{3}\boldsymbol{j} + \frac{7}{5}\boldsymbol{k}$$

3. ベクトル場${\bf A}$は ${\bf A} = -\nabla \phi$のとき，がスカラー・ポテンシャルを持つといい，そのとき， $\int_{C}{\bf A}\cdot d\boldsymbol{r} = 0$である. そこで， $\boldsymbol{r} = \nabla \phi$であるような$\phi$を求める．

$$\nabla (\boldsymbol{r} \cdot\boldsymbol{r}) = \nabla r^2 = 2 \boldsymbol{r}$$

より， $\boldsymbol{r} = \frac{1}{2} \nabla (\boldsymbol{r} \cdot\boldsymbol{r})$．したがって，

$$\int_{C}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r} = \frac{1}{2}\int_{C}\nabla (\boldsymbol{r} \cdot\boldsymbol{r})d\boldsymbol{r} = 0$$

4. 力の場 ${\mathbf F}$がポテンシャル$U$をもつことより， ${\mathbf F} = -\nabla U$．これより，この質点の運動方程式は

$$m \frac{d{\bf v}}{dt} = {\mathbf F} = -\nabla U$$

また， ${\bf v} = \frac{d\boldsymbol{r}}{dt}$．そこで，

$$m \frac{d^2{\bf v}}{dt^2} \cdot{\bf v} = -\nabla U \cdot\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}$$

これより，

$$m{\bf v}\cdot\frac{d{\bf v}}{dt} + \frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \cdot\nabla U = 0$$

ここで， $\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \cdot\nabla U$を計算すると，

$$\frac{d\boldsymbol{r}}{dt} \cdot\nabla U = (\frac{dx}{dt}\boldsym... ...al y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial U}{\partial z}\frac{dz}{dt} = \frac{dU}{dt}$$

よって，

$$m{\bf v}\cdot \frac{d{\bf v}}{dt} + \frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m{\bf v}\cdot {\bf v} + U)= 0$$

これより，

$$\frac{1}{2}mv^2 + U = C (C 定数)$$

したがって，

$$\frac{1}{2}mv_{A}^2 + U(A) = \frac{1}{2}mv_{B}^2 + U(B)$$

5. $xy$平面上で原点Oを中心とし，半径$a$の円を$C$とすると， $C : x = a\cos{t}, y = a\sin{t}, 0 \leq t \leq 2\pi$とパラメター化できる．これより，

$$\nabla \phi = \frac{-\frac{y}{x^2}}{1 + (\frac{y}{x})^2}\boldsymb... ...dsymbol{j} = \frac{-\sin{t}}{a}\boldsymbol{i} + \frac{\cos{t}}{a}\boldsymbol{j}$$

また，

$$d\boldsymbol{r} = (-a\sin{t}\boldsymbol{i} + a\cos{t}\boldsymbol{j})dt$$

したがって，

$$\int_{C}(\nabla \phi) \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{0}^{2\pi}(-\s... ...} +\cos{t}\boldsymbol{j})\cdot(-\sin{t} + \cos{t})dt = \int_{0}^{2\pi}dt = 2\pi$$

演習問題詳解3.4

1.

(1) 曲面$S$を$xy$平面に正射影すると，$S$は $\Omega = \{(x,y): 2x + 2y \leq 2, x \geq 0, y \geq 0\}$に移る．また，曲面 $S : 2x + 2y + z = 2$より，対応する $\boldsymbol{r}$を位置ベクトルとすると，

$$\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + (2-2x-2y)\boldsymbol{k}$$

これより，曲面$S$の法線ベクトル $\boldsymbol{r}_{x} \times \boldsymbol{r}_{y}$を求めると，

$$\boldsymbol{r}_{x} \times \boldsymbol{r}_{y} = \left\vert\begin{a... ... -2 \end{array}\right\vert = 2\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}$$

ここで， $dS = \vert\boldsymbol{r}_{x} \times \boldsymbol{r}_{y}\vert dx dy = \sqrt{4 + 4 + 1}dxdy = 3dxdy$に注意すると，

$$\int_{S}fdS = 3\int_{\Omega}(x^2 + 2y + z - 1)dxdy = 3\int_{0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}(x^2 + 2y + (2-2x-2y) -1)dydx$$

$$= 3\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(x^2 - 2x + 1)dydx = 3\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(x-1)^2\;dydx$$

$$= 3\int_{0}^{1}\left[(x-1)^2y\right]_{0}^{1-x}dx = 3\int_{0}^{1}(1-x)^3\;dx = -3\left[\frac{1}{4}(1-x)^{4}\right]_{0}^{1} = \frac{3}{4}$$

(2) $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + (2-2x-2y)\boldsymbol{k}$とすると， $\boldsymbol{n} = \frac{\boldsymbol{r}_{x} \times \boldsymbol{r}_{y}}{\vert\bold... ...bol{r}_{y}\vert} = \frac{2\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}}{3}$. よって，

$${\bf A} \cdot\boldsymbol{n} = (x^2 \boldsymbol{i} + z\boldsymbol{... ...rac{2\boldsymbol{i} + 2\boldsymbol{j} + \boldsymbol{k}}{3} = \frac{2x^2 + z}{3}$$

したがって，

$$\int_{S}{\bf A} \cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{\Omega}\frac{2x^2 + z}{3}3dxdy = \int_{\Omega}(2x^2 + (2-2x-2y))dxdy$$

$$= \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(2x^2 - 2x - 2y + 2)dy dx = \int_{0}^{1}\left[2x^2 y - 2xy -y^2 + 2y\right]_{0}^{1-x}dx$$

$$= \int_{0}^{1}(2x^2(1-x) - 2x(1-x) - (1-x)^2 + 2(1-x))dx$$

$$= \int_{0}^{1}(1-x)(2x^2 - 2x - (1-x) + 2)dx = \int_{0}^{1}(1-x)(2x^2 - x + 1)dx$$

$$= \int_{0}^{1}(-2x^3 +3x^2 - 2x + 1)dx = \left[-\frac{x^4}{2} + x^3 - x^2 + x\right]_{0}^{1}$$

$$= -\frac{1}{2} + 1 - 1 + 1 = \frac{1}{2}$$

2. 曲面$S$は$xy$平面上領域より，法線単位ベクトルは $\boldsymbol{n} = \boldsymbol{k}$となる．

$${\bf A} \times \boldsymbol{n} = (x\boldsymbol{i} + (x-y)\boldsymb... ...{xy}\\ 0 & 0& 1 \end{array}\right\vert = (x-y)\boldsymbol{i} - x\boldsymbol{j}$$

また，$S$は$xy$平面上にあるので， $S = \Omega$，$dS = dxdy$．ここで，$\Omega$は円板より，極座標を用いると， $x = r\cos{\theta}, y = r\sin{\theta}, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq r \leq a$となり,

$$\int_{S}{\bf A} \times \boldsymbol{n}dS = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{a}((r\cos{\theta} - r\sin{\theta})\boldsymbol{i} - r\cos{\theta}\boldsymbol{j})rdr d\theta$$

$$= \int_{0}^{\pi/2}\left[\frac{r^3}{3}\right]_{0}^{a}\left((\cos{\theta} - \sin{\theta})\boldsymbol{i} - \cos{\theta}\boldsymbol{j}\right)d\theta$$

$$= \frac{a^3}{3}\left[(\sin{\theta} + \cos{\theta}\boldsymbol{i} - \... ...3}{3}((1-1)\boldsymbol{i} - \boldsymbol{j}) = -\frac{a^3}{3}\boldsymbol{j} F3-4$$

3. 曲面$S$を$xy$平面に正射影すると$S$は $\Omega = \{(x,y):y^2 = 4, 0 \leq x \leq 3, y \geq 0\}$. 次に，${\bf r}$を位置ベクトルとすると ${\bf r} =x{\bf i} + y{\bf j} + \sqrt{4-y^2}{\bf k}$. これより，曲面$S$の法線ベクトル ${\bf r}_{x} \times {\bf r}_{y} = \frac{y}{\sqrt{4-y^2}}{\bf j} +{\bf k}$． これより，

$$\iint_{S}(3x{\bf i} + 4z{\bf j} +2y{\bf k}) \cdot {\bf n} dS = \i... ...bf j} +2y{\bf k})\cdot ({\bf r}_{x} \times {\bf r}_{y})dxdy = \iint_{S}(6y)dxdy$$

ここで，$\Omega$を縦線重合で表すと，

$$\iint_{S}(6y)dxdy = \int_{0}^{3}\int_{0}^{2}6y dy dx = \int_{0}^{3}3y^2\mid_{0}^{2} = \int_{0}^{3}12dx = 36$$

4. 曲面$S$を$yz$平面に正射影すると$S$は $\Omega = \{(y,z):y^2 = a^2, 0 \leq z \leq 1\}$. 次に，${\bf r}$を位置ベクトルとすると ${\bf r} =x{\bf i} + \sqrt{a^2 -x^2}{\bf j} + z{\bf k}$. これより，曲面$S$の法線ベクトル ${\bf r}_{z} \times {\bf r}_{x} = \frac{y}{\sqrt{4-y^2}}{\bf i} +{\bf k}$．よって，

$${\bf n} = \frac{{\bf r}_{z} \times {\bf r}_{x}}{\vert{\bf r}_{z} \times {\b... ...} = \frac{\frac{y}{\sqrt{4-y^2}}{\bf i} +{\bf k}}{\sqrt{\frac{y^2}{4-y^2} + 1}}$$

$$= \frac{\frac{y}{\sqrt{4-y^2}}{\bf i} +{\bf k}}{\sqrt{\frac{4}{4-y^2}}}$$

これより，

$$\iint_{S}(3x{\bf i} + 4z{\bf j} +2y{\bf k}) \cdot {\bf n} dS = \iint_{S}{\bf r}_{x} \times {\bf r}_{y}dxdy = \iint_{S}(6y)dxdy$$

ここで，$\Omega$を縦線重合で表すと，

$$\iint_{S}(6y)dxdy = \int_{0}^{3}\int_{0}^{2}6y dy dx = \int_{0}^{3}3y^2\mid_{0}^{2} = \int_{0}^{3}12dx = 36$$

演習問題詳解3.5 基本公式 $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}, r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$とすると，(1) $\nabla r = \frac{\boldsymbol{r}}{r} (2) \nabla r^{n} = nr^{n-1}\nabla r = nr^... ...dsymbol{A}= (\nabla \phi) \cdot\boldsymbol{A} + \phi \nabla \cdot\boldsymbol{A}$

1.

(1)

$$\nabla \cdot(2x^2 z\boldsymbol{i} - xy^2 z \boldsymbol{j} + 3yz^2... ...ial (-xy^2)}{\partial y} + \frac{\partial (3yz^2)}{\partial z} = 4xz -2xy + 6yz$$

(2)

$$\nabla^2(3x^2 z - y^2 z^3 + 4x^2 y) = \frac{\partial^2 (3x^2 z - y^2 z^3 + 4x^2 y)}{\partial x^2} + \fr... ...2 y)}{\partial y^2} + \frac{\partial (3x^2 z - y^2 z^3 + 4x^2 y)}{\partial z^2}$$

$$= 6z + 8y - 2z^3 -6y^2 z$$

(3)

$$\nabla(\nabla \cdot\boldsymbol{F}) = \nabla (6xy + 4y^3 -4x^2z) = (6y-8xz)\boldsymbol{i} + (6x+12y^2)\boldsymbol{j} - 4x^2\boldsymbol{k}$$

2.

(1) $\nabla r^{-3} = \frac{d r^{-3}}{dr}\nabla r = -3r^{-4}\frac{\boldsymbol{r}}{r} = -3r^{-5}\boldsymbol{r}$より， $r\nabla r^{-3} = -3r^{-4}\boldsymbol{r}$. したがって，

$$\nabla \cdot(r \nabla r^{-3}) = \nabla \cdot(-3r^{-4}\boldsymbol{... ...oldsymbol{r}}{r} \cdot\boldsymbol{r} -3r^{-4}(3) = 12r^{-4} - 9r^{-4} = 3r^{-4}$$

(2) $\nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^2}\right) = \nabla \cdot r^{-2}\boldsy... ...boldsymbol{r}}{r} \cdot\boldsymbol{r} + r^{-2}(3) = -2r^{-2} + 3r^{-2} = r^{-2}$. したがって，

$$\nabla^{2}\left\{\nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^2}\right)\right\} = \nabla \cdot(\nabla(r^{-2})) = \nabla \cdot(-2r^{-3}\frac{\boldsymbol{r}}{r} = \nabla \cdot(-2r^{-4}\boldsymbol{r}$$

$$= \nabla(-2r^{-4}) \cdot\boldsymbol{r} + -2r^{-4} \nabla \cdot\bold... ...oldsymbol{r}}{r} \cdot\boldsymbol{r} - 2r^{-4}(3) = 8r^{-4} - 6r^{-4} = 2r^{-4}$$

3. ${\bf w} = w_{1}\boldsymbol{i} + w_{2}\boldsymbol{j} + w_{3}\boldsymbol{k}$ とすると，

$${\bf w} \times \boldsymbol{r} = \left\vert\begin{array}{ccc} \bol... ...ldsymbol{i} + (w_{3}x - w_{1}z)\boldsymbol{j} + (w_{1}y - w_{2}x)\boldsymbol{k}$$

したがって，

$$\nabla \cdot({\bf w} \times \boldsymbol{r}) = 0$$

4.

(1) 基本公式より，

$$\nabla^2(\phi \psi) = \nabla \cdot \nabla(\phi \psi) = \nabla \cdot ((\nabla \phi)\psi ... ...nabla \psi) + (\nabla \phi)\cdot (\nabla\psi) + \phi \nabla \cdot (\nabla \psi)$$

$$= \psi + (\nabla^2 \phi) + 2(\nabla \phi)\cdot (\nabla \psi) + \phi \nabla^2 \psi$$

(1) 基本公式より，

$$\nabla \cdot (\phi \nabla \psi) = (\nabla \phi) \cdot (\nabla \ps... ...la \cdot (\nabla \psi) = (\nabla \phi) \cdot (\nabla \psi) + \phi \nabla^2 \psi$$

(3) (2)より， $\nabla \cdot (\phi \nabla \psi) = (\nabla \phi) \cdot (\nabla \psi) + \phi \nabla^2 \psi$. 対称性より， $\nabla \cdot (\psi \nabla \phi) = (\nabla \psi) \cdot (\nabla \phi) + \psi \nabla^2 \phi$. したがって，

$$\nabla \cdot (\phi \nabla \psi - \psi \nabla \phi) = \phi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \phi$$

5. $\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial \... ...l z} = 2xyz^3\boldsymbol{i} + x^2 z^3 \boldsymbol{j} + 3x^2 y z^2\boldsymbol{k}$より

$$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 2xyz^3, \frac{\partial \phi}{\partial y} = x^2 z^3, \frac{\partial \phi}{\partial z} = 3x^2 yz^2$$

これより， $\phi(x,y,z) = x^2 yz^3 + c(y,z)$．ここで， $\frac{\partial \phi}{\partial y} = x^2 z^3$を用いると， $\frac{\partial c(y,z)}{\partial y} = 0$より， $c(y,z) = c(z)$．最後に， $\frac{\partial \phi}{\partial z} = 3x^2 yz^2$より， $\frac{\partial c(z)}{\partial z} = 0$となり，$c(z) = c$．よって， $\phi(x,y,z) = x^2 yz^3 + c$. ここで，初期値 $\phi(1,-2,2) =4$より，$-16+c = 4$となり，$c = 20$.

6.

$$(\nabla U) \times (\nabla V) = \left\vert\begin{array}{ccc} \bold... ..._{z}V_{x} - U_{x}V_{z})\boldsymbol{j} + (U_{z}V_{y} - U_{y}V_{z})\boldsymbol{k}$$

したがって，

$$\nabla \cdot ((\nabla U) \times (\nabla V)) = \frac{\partial(U_{y}V_{z} - U_{z}V_{y})}{\partial x} + \frac{\par... ...U_{x}V_{z})}{\partial y} + \frac{\partial(U_{x}V_{y} - U_{y}V_{x})}{\partial z}$$

$$= U_{yx}V_{z} + U_{y}V_{zx} - U_{zx}V_{y} - U_{z}V_{yx} + U_{zy}V_{x} + U_{z}V_{xy} - U_{xy}V_{z} - U_{x}V_{zy}$$

$$+ U_{xz}V_{y} + U_{x}V_{yz} - U_{yz}V_{x} - U_{y}V_{xz} = 0$$

7.

$$\frac{d\boldsymbol{r}}{dt}\cdot\nabla \phi = (\frac{dx}{dt}\bolds... ...artial \phi}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{d}{dt}\phi(x,y,z)$$

8.

合成関数の微分法より，

$$\frac{d \phi}{dt} = \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{dx}{dt}... ...\nabla \phi \cdot\frac{d \boldsymbol{r}}{dt} + \frac{\partial \phi}{\partial t}$$

演習問題詳解3.6

1.

(1)

$$\nabla \times \boldsymbol{A} = \left\vert\begin{array}{ccc} \bold... ...j}(4xz-3z^3) + \boldsymbol{k}(0) = y\boldsymbol{i} + (4xz - 3z^3)\boldsymbol{j}$$

(2)

$$\nabla \times (\phi \boldsymbol{A}) = (\nabla \phi) \times \boldsymbol{A} + \phi \nabla \times \boldsymbol{A}$$

$$= \left\vert\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \b... ... y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ 2xz^2 & -yz & 3xz^3 \end{array}\right\vert$$

$$= (3x^3z^4 + x^2 y^2z)\boldsymbol{i} + (2x^3yz^2 -6x^2yz^4)\boldsym... ...^2-2x^3z^3)\boldsymbol{k} + x^2yz(y\boldsymbol{i} + (4xz - 3z^3)\boldsymbol{j})$$

$$= (3x^3z^4 + 2x^2y^2)\boldsymbol{i} + (6x^3 yz^2 -9x^2 yz^4)\boldsymbol{i} - (2xy^2z^2 + 2x^3z^3)\boldsymbol{k}$$

(3) (1)より， $\nabla \times \boldsymbol{A} = y\boldsymbol{i} + (4xz - 3z^3)\boldsymbol{j}$.

$$\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) = \left\vert\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \b... ...^3 & 0 \end{array}\right\vert = (-4x+9z^2)\boldsymbol{i} + (4z-1)\boldsymbol{k}$$

2.

$$\nabla \times {\bf v} = \left\vert\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \b... ...vert = (c+1)\boldsymbol{i} + (a-4)\boldsymbol{j} + (b-2)\boldsymbol{k} = {\bf0}$$

より， $a = 4, b = 2, c = -1$

3.

$$\nabla \cdot(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = (\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial}{\par... ...\partial}{\partial z}\boldsymbol{k})\cdot(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B})$$

$$= \boldsymbol{i}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{A}\tim... ...dsymbol{k}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B})$$

$$= \boldsymbol{i}\cdot(\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial x} \t... ...ldsymbol{B} + \boldsymbol{A} \times \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial z})$$

$$= \boldsymbol{B}\cdot(\boldsymbol{i} \times \frac{\partial \boldsym... ...\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial z}) \hskip 1cm ([A B C] = [C A B])$$

$$- \boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{i} \times \frac{\partial \boldsym... ...ymbol{B}\cdot(\boldsymbol{k} \times \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial z})$$

$$= \boldsymbol{B}\cdot(\nabla \times \boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A}\cdot(\nabla \times \boldsymbol{B}) = 0$$

(1)

$$\nabla(\boldsymbol{A} \cdot\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B}\cdot... ...la \times \boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\times (\nabla \times \boldsymbol{B})$$

を用いると，

$$\nabla(\boldsymbol{C} \cdot\boldsymbol{A}) = (\boldsymbol{A}\cdot... ...la \times \boldsymbol{C}) + \boldsymbol{C}\times (\nabla \times \boldsymbol{A})$$

ここで， $(\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{C} = 0, \boldsymbol{A} \times(\nabla \times \boldsymbol{C})= {\bf0}$より，

$$\nabla(\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A}) = (\boldsymbol{C}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} + \boldsymbol{C} \times (\nabla \times \boldsymbol{A})$$

(2)

$$\nabla \cdot(\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A}) = (\frac{\partial }{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial}{\pa... ...partial}{\partial z}\boldsymbol{k}) \cdot(\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A})$$

$$= \boldsymbol{i}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{C} \ti... ...symbol{k}\cdot\frac{\partial }{\partial z}\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A})$$

$$= \boldsymbol{i}\cdot(\frac{\partial C}{\partial x} \times \boldsym... ...ldsymbol{A} + \boldsymbol{C} \times \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial z})$$

$$= -\boldsymbol{C} \cdot(\boldsymbol{i} \times \frac{\partial \bolds... ...mbol{C} \cdot(\boldsymbol{k} \times \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial z})$$

$$= -\boldsymbol{C} \cdot(\nabla \times \boldsymbol{A})$$

(3)

$$\nabla \times (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A}) = (\boldsymbol{i}\frac{\partial }{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac... ...l{k}\frac{\partial }{\partial z}) \times (\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{A})$$

$$= \boldsymbol{i} \times \frac{\partial (\boldsymbol{C}\times\boldsy... ...ymbol{C}\times\boldsymbol{A})}{\partial z} \hskip 0.5cm (\boldsymbol{C}は定数ベクトル)$$

$$= \boldsymbol{i} \times (\boldsymbol{C} \times \frac{\partial \bold... ...ldsymbol{C})\boldsymbol{B} - (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})\boldsymbol{C})$$

$$= (\boldsymbol{i} \cdot\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial x})\... ... (\boldsymbol{k} \cdot\boldsymbol{C})\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial z}$$

$$= \boldsymbol{C}(\nabla \cdot\boldsymbol{A}) - (\boldsymbol{C} \cdot\nabla)\boldsymbol{A}$$

5. 公式

$$\nabla(\boldsymbol{A} \cdot\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B}\cdot... ...la \times \boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\times (\nabla \times \boldsymbol{B})$$

を用いると，

$$\nabla(\boldsymbol{A} \cdot\boldsymbol{A}) = (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} + (\boldsymbol{A}\cdot\... ...la \times \boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\times (\nabla \times \boldsymbol{A})$$

$$= 2(\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} + 2\boldsymbol{A} \times(\nabla \times \boldsymbol{A})$$

よって，

$$(\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} = \frac{1}{2}\nabla \vert\boldsymbol{A}\vert^2 - \boldsymbol{A} \times (\nabla \times \boldsymbol{A})$$

6. $\nabla \times (\rho \boldsymbol{F}) = (\nabla \rho)\times \boldsymbol{F} + \rho(\nabla \times \boldsymbol{F})$ また， $\nabla \times (\rho \boldsymbol{F}) = \nabla \times (\nabla p) = 0$より， $\nabla \times \boldsymbol{F} = -\frac{\nabla \rho}{\rho} \times \boldsymbol{F}$．したがって，

$$\boldsymbol{F} \cdot(\nabla \times \boldsymbol{F}) = \boldsymbol{... ...l{F}) = \frac{\nabla \rho}{\rho}\cdot(\boldsymbol{F} \times \boldsymbol{F}) = 0$$

7.

$$\nabla \times \boldsymbol{A} = \left\vert\begin{array}{ccc} \bold... ...1)\boldsymbol{i} - (3z^2 - 3z^2)\boldsymbol{j} + (6x-6x)\boldsymbol{k} = {\bf0}$$

ここで， $\nabla \times \boldsymbol{A} = {\bf0}$より， $\boldsymbol{A} = -\nabla \phi$となる$\phi$が存在することに注意する．

$$\boldsymbol{A} = (6xy + z^3)\boldsymbol{i} + (3x^2 - z)\boldsymbo... ...hi}{\partial y}\boldsymbol{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z}\boldsymbol{k})$$

より，

$$-\frac{\partial \phi}{\partial x} = 6xy + z^3, -\frac{\partial \phi}{\partial y} = 3x^2 -z, -\frac{\partial \phi}{\partial z} = 3xz^2 - y$$

まず，- $\frac{\partial \phi}{\partial x} = 6xy + z^3$より， $-\phi(x,y,z) = 3x^2y + xz^3 + f(y,z)$．ここで，$\phi$を$y$について偏微分すると，

$$-\frac{\partial \phi}{\partial y} = 3x^2 + f_{y}(y,z)$$

一方，

$$-\frac{\partial \phi}{\partial y} = 3x^2 -z$$

より，

$$f_{y}(y,z) = -z$$

これより， $f(y,z) = -yz + g(z)$となる．よって， $-\phi(x,y,z) = 3x^2 y + xz^3 - yz + g(z)$. ここで， $\phi(x,y,z)$を$z$について偏微分すると，

$$-\frac{\partial \phi}{\partial z} = 3xz^2 - y + g'(z)$$

一方，

$$-\frac{\partial \phi}{\partial z} = 3x^2 -y$$

より，

$$g'(z) = 0$$

よって，$g(z) = c$となり， $\phi(x,y,z) = -(3x^2 y + xz^3 - yz + c)$

8.

演習問題詳解4.1

1.

(1) Gaussの発散定理より，

$$\int_{S} \frac{\boldsymbol{r}}{r^2}\cdot\boldsymbol{n}\;dS = \int_{V}\nabla \cdot\frac{\boldsymbol{r}}{r^2}\;dV$$

ここで，

$$\nabla \cdot\frac{\boldsymbol{r}}{r^2} = \nabla \cdot(r^{-2}\bold... ...c{\boldsymbol{r}}{r}\cdot\boldsymbol{r} + 3r^{-2} = -2r^{-2} + 3r^{-2} = r^{-2}$$

したがって，

$$\int_{S} \frac{\boldsymbol{r}}{r^2}\cdot\boldsymbol{n}\;dS = \int_{V}\frac{1}{r^2}\;dV$$

(2) $\int_{S}\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n}\;dS$を面積分の形に直す．任意の定ベクトル $\boldsymbol{C}$とスカラー3重積の性質を用いると

$$\int_{S}\boldsymbol{C} \cdot(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n})\;dS = \int_{S}\boldsymbol{n} \cdot(\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{r})$$

$$= \int_{V}\nabla \cdot(\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{r})\;dV = ... ...rtial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ x & y & z \end{array}\right\vert = 0$$

ここで， $\boldsymbol{C}$は任意の定ベクトルより，

$$\int_{S}\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n}\;dS = 0$$

(3) Gaussの発散定理より，

$$\int_{S} r^{n} \boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{n}\;dS = \int_{V}\nabla \cdot r^{n}\boldsymbol{r}\;dV = \int_{V} \left((\nabla r^{n})\cdot\boldsymbol{r} + r^{n}\nabla \cdot\boldsymbol{r}\right)\;dV$$

$$= \int_{V} (nr^{n-1}\nabla r \cdot\boldsymbol{r} + 3r^{n})\;dV = \int_{V}(nr^{n} + 3r^{n})\;dV$$

$$= (3+n)\int_{V}r^{n}\;dV$$

(4) $\int_{S}r^{n}\boldsymbol{n}\;dS$を面積分の形に直す．任意の定ベクトル $\boldsymbol{C}$を用いると

$$\int_{S}\boldsymbol{C} \cdot(r^{n}\boldsymbol{n})\;dS = \int_{S}r^{n}\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{n}\;dS = \int_{V}\nab... ...\int_{V}(\nabla r^{n}\cdot\boldsymbol{C} + r^{n}\nabla \cdot\boldsymbol{C})\;dV$$

$$= \int_{V}nr^{n-1}\frac{\boldsymbol{r}}{r}\cdot\boldsymbol{C}\;dV = \int_{V}\boldsymbol{C} \cdot nr^{n-2}\boldsymbol{r}\;dV$$

これより，

$$\int_{S}r^{n}\boldsymbol{n} = \int_{V}nr^{n-2}\boldsymbol{r}\;dV$$

(5) $\int_{S}r^{n}\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n}\;dS$を面積分の形に直す．任意の定ベクトル $\boldsymbol{C}$とスカラー3重積を用いると

$$\int_{S}\boldsymbol{C}\cdot(r^{n}\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n})\;dS = \int_{S}\boldsymbol{n} \cdot\boldsymbol{C} \times (r^{n}\boldsymb... ...l{r})\;dS = \int_{V}\nabla \cdot(\boldsymbol{C} \times r^{n}\boldsymbol{r})\;dV$$

$$= \int_{V}(-\boldsymbol{C} \cdot(\nabla \times r^{n}\boldsymbol{r})... ...ot(\nabla r^{n} \times \boldsymbol{r} + r^{n} \nabla \times \boldsymbol{r})\;dV$$

$$= -\int_{V}\boldsymbol{C} \cdot(nr^{n-1}\frac{\boldsymbol{r}}{r} \times \boldsymbol{r} + 0)\;dV = 0$$

(6) $\int_{S}r^{2}\boldsymbol{n}\;dS$を面積分の形に直す．任意の定ベクトル $\boldsymbol{C}$を用いると，

$$\int_{S}\boldsymbol{C}\cdot(r^{2}\boldsymbol{n})\;dS = \int_{S}r^{2}\boldsymbol{C} \cdot\boldsymbol{n}\;dS = \int_{V}\nabla \cdot(r^{2}\boldsymbol{C})\;dV$$

$$= \int_{V} (\nabla r^{2} \cdot\boldsymbol{C} + r^{2}\nabla \cdot\boldsymbol{C})\;dV = \int_{V} (2r\frac{\boldsymbol{r}}{r} \cdot\boldsymbol{C})\;dV$$

$$= \boldsymbol{C}\cdot\int_{V}2\boldsymbol{r}\;dV$$

したがって，

$$\int_{S}r^{2}\boldsymbol{n}\;dS = 2\int_{V}\boldsymbol{r}\;dV$$

(7) $\int_{S}F(r)\boldsymbol{n}\;dS$を面積分の形に直す．任意の定ベクトル $\boldsymbol{C}$を用いると，

$$\int_{S}\boldsymbol{C}\cdot(F(r)\boldsymbol{n})\;dS = \int_{S}F(r)\boldsymbol{C} \cdot\boldsymbol{n}\;dS = \int_{V}\nab... ...\int_{V} (\nabla F(r) \cdot\boldsymbol{C} + F(r)\nabla \cdot\boldsymbol{C})\;dV$$

$$= \int_{V} \frac{dF}{dr}\frac{\boldsymbol{r}}{r} \cdot\boldsymbol{C})\;dV = \boldsymbol{C}\cdot\int_{V}\frac{dF}{dr}\frac{\boldsymbol{r}}{r}\;dV$$

したがって，

$$\int_{S}F(r)\boldsymbol{n}\;dS = \int_{V}\frac{dF}{dr}\frac{\boldsymbol{r}}{r}\;dV$$

2. 任意の定ベクトル $\boldsymbol{C}$を用いて，面積分の形に直すと，

$$\int_{S}\boldsymbol{C} \cdot(\boldsymbol{n}\times (\nabla \phi))\;dS = \int_{S} \boldsymbol{n} \cdot(\nabla \phi \times \boldsymbol{C})\;dS = \int_{V} \nabla \cdot(\nabla \phi \times \boldsymbol{C})\;dV$$

$$= \int_{V}\left(\boldsymbol{C} \cdot(\nabla \times \nabla \phi) + \nabla \phi \cdot(\nabla \times \boldsymbol{C})\right)\;dV$$

ここで， $(\nabla \times \nabla \phi = 0, \nabla \times \boldsymbol{C} = {\bf0})$に注意すると，

$$\int_{S}\boldsymbol{C} \cdot(\boldsymbol{n}\times (\nabla \phi))\;dS = 0$$

3. 曲面$S$の境界線を$C$とするので，境界線で分けられた曲面を $S_{1},S_{2}$とする．また，曲面$S_{1}$の法単位ベクトルを $\boldsymbol{n}_{1}$，$S_{2}$の法単位ベクトルを $\boldsymbol{n}_{2}$とする．このとき，曲面$S$の法単位ベクトルを $\boldsymbol{n}$とすると $\boldsymbol{n}_{1} = \boldsymbol{n}, \boldsymbol{n}_{2} = -\boldsymbol{n}$または， $\boldsymbol{n}_{1} = -\boldsymbol{n}, \boldsymbol{n}_{2} = \boldsymbol{n}$．ここで，

$$\int_{S_{1}}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}_{1}\;dS + \int_{S_{... ...mbol{A}\cdot\boldsymbol{n}_{2}\;dS = \int_{V}\nabla \cdot\boldsymbol{A}\;dV = 0$$

より，

$$\int_{S_{1}}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}_{1}\;dS = -\int_{S_{2}}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}_{2}\;dS$$

4.

(1) Gaussの発散定理より，

$$\int_{S}\phi \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{V}\nabla \cdot(\phi \boldsymbol{A}\;dV$$

ここで， $\nabla \cdot(\phi\boldsymbol{A})= (\nabla \phi) \cdot\boldsymbol{A} + \phi \nabla \cdot\boldsymbol{A}$であることに注意すると，

$$\int_{S}\phi \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{V}(\nabla \phi) \cdot\boldsymbol{A}\;dV + \int_{V} \phi \nabla \cdot\boldsymbol{A}\;dV$$

(2) Gaussの発散定理より，

$$\int_{S}(\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{A})\cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{V}\nabla \cdot(\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{A})\;dV$$

ここで，演習問題#よ#>り， $\nabla \cdot(\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{A}) = \boldsymbol{A}\cdot(\nabla \times \boldsymbol{B}) - \boldsymbol{B}\cdot(\nabla \times \boldsymbol{A})$．よって，

$$\int_{S}(\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{A})\cdot\boldsymbol{n}... ...symbol{B})\;dV - \int_{V}\boldsymbol{B} \cdot(\nabla \times \boldsymbol{A})\;dV$$

(3) Gaussの発散定理より，

$$\int_{S}((\nabla \phi) \times \boldsymbol{A})\cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{V}\nabla \cdot((\nabla \phi) \times \boldsymbol{A})\;dV$$

ここで，

$$\nabla \cdot((\nabla \phi) \times \boldsymbol{A}) = \boldsymbol{A... ...bla \times \boldsymbol{A}) = -(\nabla \phi) \cdot(\nabla \times \boldsymbol{A})$$

したがって，

$$\int_{S}((\nabla \phi) \times \boldsymbol{A})\cdot\boldsymbol{n}dS = -\int_{V}(\nabla \phi) \cdot(\nabla \times \boldsymbol{A}\;dV$$

(4) Gaussの発散定理より，

$$\int_{S}\phi \boldsymbol{A} \cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{V}\nabla \cdot(\phi \boldsymbol{A})\;dV$$

ここで， $\boldsymbol{A} = \nabla \phi, \nabla^2 \phi = 0$より，

$$\nabla \cdot(\phi \boldsymbol{A}) = (\nabla \phi)\cdot\boldsymbol... ... = \vert\boldsymbol{A}\vert^2 + \phi \nabla^2 \phi = \vert\boldsymbol{A}\vert^2$$

したがって，

$$\int_{S}\phi \boldsymbol{A} \cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{V}\vert\boldsymbol{A}\vert^2\;dV$$

5.

(1)
labelenshu:4-1-5-1 例題4.3のように，面積分の形に書き直す． $\frac{\partial \phi}{\partial n}$は法線単位ベクトル $\boldsymbol{n}$方向での方向微分係数より， $\frac{\partial \phi}{\partial n} = \nabla \phi \cdot\boldsymbol{n}$．よって，

$$\int_{S}\psi\frac{\partial \phi}{\partial n}dS = \int_{S}\psi \nabla \phi \cdot\boldsymbol{n}dS$$

ここで，Gaussの発散定理を用いると，

$$\int_{S}\psi \nabla \phi \cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{V}\nabla \cdot(\psi \nabla \phi)\;dV$$

なお， $\nabla \cdot (\psi \nabla \phi) = (\nabla \psi)\cdot (\nabla \phi) + \psi \nabla \cdot (\nabla \phi) = (\nabla \psi)\cdot (\nabla \phi) + \psi \nabla^2 \phi$より，

$$\int_{S}\psi \nabla \phi \cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{V}\{\psi \nabla^2 \phi + (\nabla \psi) \cdot(\nabla \phi)\}\;dV$$

(2) 例題4.3のように，面積分の形に書き直す． $\frac{\partial \phi}{\partial n}$は法線単位ベクトル $\boldsymbol{n}$方向での方向微分係数より， $\frac{\partial \phi}{\partial n} = \nabla \phi \cdot\boldsymbol{n}$．よって，

$$\int_{S}\phi\frac{\partial \phi}{\partial n}dS = \int_{S}\phi \nabla \phi \cdot\boldsymbol{n}dS$$

ここで，Gaussの発散定理を用いると，

$$\int_{S}\phi \nabla \phi \cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{V}\nabla \cdot(\phi \nabla \phi)\;dV$$

なお， $\nabla \cdot (\phi \nabla \phi) = (\nabla \phi)\cdot (\nabla \phi) + \phi \nabla \cdot (\nabla \phi) = \vert\nabla \phi\vert^2 + \phi \nabla^2 \phi$より，

$$\int_{S}\phi \nabla \phi \cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{V}\{\phi \nabla^2 \phi + \vert\nabla \psi\vert^2\}\;dV$$

(3) (1)の結果から(2)の結果を引くと，

$$\int_{S}(\psi\frac{\partial \phi}{\partial n} - \phi\frac{\partial \phi}{\partial n})dS = \int_{V}\{\psi\nabla^2\phi - \phi \nabla^2 \phi\}\;dV$$

(4) $\phi$が調和関数とは， $\nabla^2 \phi = 0$となることである．したがって，(2)を用いると,

$$\int_{S}\phi\frac{\partial \phi}{\partial n}dS = \int_{V}\vert\nabla \phi\vert^2\;dV$$

(5) $\phi, \psi$が調和関数とは， $\nabla^2 \phi = \nabla^2 \psi = 0$となることである．したがって，(3)を用いると,

$$\int_{S}(\psi\frac{\partial \phi}{\partial n} - \phi\frac{\partial \phi}{\partial n})dS = \int_{V}\{\psi\nabla^2\phi - \phi \nabla^2 \phi\}\;dV = 0$$

(6) $\phi$が調和関数とすると，(4)より，

$$\int_{S}\phi\frac{\partial \phi}{\partial n}dS = \int_{V}\vert\nabla \phi\vert^2\;dV$$

$S$上で$\phi = 0$とすると， $\int_{V}\vert\nabla \phi\vert^2\;dV = 0$となり， $\vert\nabla \phi\vert^2 = 0$．よって， $\vert\nabla \phi\vert = 0$. すなわち $\nabla \phi = 0$．したがって，$\phi$は定数．

6. $\int_{S}{\bf A}\cdot\boldsymbol{n}dS = 0$ならば，Gaussの発散定理より，

$$\int_{S}{\bf A}\cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{V}\nabla \cdot{\bf A}\;dV = 0$$

したがって， $\nabla \cdot {\bf A} = 0$. 定理3.4より，${\bf A}$はベクトル・ポテンシャルを持つ．

7. $\int_{S}{\bf A} \times \boldsymbol{n}dS = {\bf0}$．ここで，任意の定ベクトル${\bf C}$を用いて，面積分の形に直すと，

$$\int_{S}{\bf C} \cdot({\bf A} \times \boldsymbol{n})\;dS = \int_{S} \boldsymbol{n} \cdot({\bf C} \times {\bf A})\;dS$$

Gaussの発散定理より，

$$\int_{S} \boldsymbol{n} \cdot({\bf C} \times {\bf A})\;dS = \int_{V}\nabla \cdot({\bf C} \times {\bf A})dV = 0$$

ここで，，

$$0 = \nabla \cdot({\bf C} \times {\bf A}) = {\bf A} \cdot \nabla \... ... - {\bf C} \cdot \nabla \times {\bf A} = -{\bf C} \cdot (\nabla \times {\bf A})$$

したがって， $\nabla \times {\bf A} = 0$となり，${\bf A}$はスカラー・ポテンシャルをもつ．

演習問題詳解4.2

1.

1. Stokesの定理より，

$$\int_{C}(\nabla \phi \psi)\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S}(\nabla \times (\nabla \phi \psi))\cdot\boldsymbol{n}dS = 0$$

ここで，

$$\nabla \phi \psi = \psi (\nabla \phi) + \phi (\nabla \psi)$$

より，

$$\int_{C}\phi(\nabla \psi)\cdot d\boldsymbol{r} = -\int_{C}\psi(\nabla \phi)\cdot d\boldsymbol{r}$$

2.

(1) 線積分を $\int_{C}{\bf A}\cdot d\boldsymbol{r}$の形に直す．そこで，任意の定ベクトル${\bf C}$とスカラー３重積を用いると，

$$\int_{C}{\bf C} \cdot\boldsymbol{r} \times d\boldsymbol{r} = \int_{C}d\boldsymbol{r} \cdot{\bf C} \times \boldsymbol{r}$$

と表せる．ここで，Stokesの定理を用いると，

$$\int_{C}d\boldsymbol{r} \cdot{\bf C} \times \boldsymbol{r} = \int_{S} (\nabla \times ({\bf C} \times \boldsymbol{r}))\cdot\boldsymbol{n}dS$$

さて，

$$\nabla \times ({\bf C} \times \boldsymbol{r}) = (\boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{... ...oldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z}) \times ({\bf C} \times \boldsymbol{r})$$

$$= \boldsymbol{i} \times \frac{\partial ({\bf C} \times \boldsymbol{... ...oldsymbol{k} \times \frac{\partial ({\bf C} \times \boldsymbol{r})}{\partial z}$$

$$= \boldsymbol{i} \times ({\bf C} \times \boldsymbol{r}_{x}) + \bold... ...\boldsymbol{r}_{y}) + \boldsymbol{k} \times ({\bf C} \times \boldsymbol{r}_{z})$$

$$= (\boldsymbol{i} \cdot\boldsymbol{r}_{x}) {\bf C} - (\boldsymbol{i... ...dot\boldsymbol{r}_{z}){\bf C} - (\boldsymbol{k} \cdot{\bf C})\boldsymbol{r}_{z}$$

$$= (\boldsymbol{i} \cdot\boldsymbol{r}_{x} + \boldsymbol{j} \cdot\bo... ...ot{\bf C})\boldsymbol{r}_{y} + (\boldsymbol{k} \cdot{\bf C})\boldsymbol{r}_{z})$$

$$= (\nabla \cdot\boldsymbol{r}){\bf C} - ({\bf C} \cdot\nabla)\boldsymbol{r} +$$

ここで，

$$\{({\bf C} \cdot\nabla)\boldsymbol{r}\} \cdot\boldsymbol{n} = {\bf C} \cdot\nabla (\boldsymbol{r} \cdot\boldsymbol{n})$$

が成り立つので，

$$\nabla \times ({\bf C} \times \boldsymbol{r}) \cdot\boldsymbol{n} = (\nabla \cdot\boldsymbol{r}){\bf C} \cdot\boldsymbol{n} - ({\bf C} \cdot\nabla){\bf A} \cdot\boldsymbol{n}$$

$$= {\bf C} \cdot\{(\nabla \cdot\boldsymbol{r})\boldsymbol{n} - \nabla(\boldsymbol{r} \cdot\boldsymbol{n})\}$$

これより，

$$\int_{C}{\bf C} \cdot\boldsymbol{r} \times d\boldsymbol{r} = \int... ...t\boldsymbol{r})\boldsymbol{n} - \nabla(\boldsymbol{r} \cdot\boldsymbol{n})\}dS$$

ここで，$C$は任意の定ベクトルであるから，

$$\int_{C} \boldsymbol{r} \times d\boldsymbol{r} = \int_{S} \{(\nab... ...t\boldsymbol{r})\boldsymbol{n} - \nabla(\boldsymbol{r} \cdot\boldsymbol{n})\}dS$$

最後に，

$$\nabla (\boldsymbol{r} \cdot\boldsymbol{n}) = (\boldsymbol{n} \cd... ...bol{r}) + \boldsymbol{r} \times (\nabla \times \boldsymbol{n}) = \boldsymbol{n}$$

したがって，

$$\int_{C}\boldsymbol{r} \times d\boldsymbol{r} = \int_{S}(3\boldsymbol{n} - \boldsymbol{n})dS = 2\int_{S}\boldsymbol{n}dS$$

(2) Stokesの定理を用いると，

$$\int_{C}r^{k}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S} (\nabla \times (r^{k}\boldsymbol{r}))\cdot\boldsymbol{n}dS$$

ここで，

$$(\nabla r^{k})\times \boldsymbol{r} + r^{k} \nabla \times \boldsy... ...bol{r} + r^{k}(0) = kr^{k-2} \frac{\boldsymbol{r}}{r} \times \boldsymbol{r} = 0$$

に注意すると，

$$\int_{C}r^{k}\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{r} = 0$$

(3) $C$を任意の定数ベルトルとし，Stokesの定理を用いると，

$$\int_{C}{\bf C} \cdot\boldsymbol{r}(\nabla \phi) \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S} (\nabla \times ({\bf C} \cdot\boldsymbol{r}(\nabla \phi)))\cdot\boldsymbol{n}dS$$

ここで，

$$\nabla \times ({\bf C} \cdot\boldsymbol{r} (\nabla \phi)) = \nabla({\bf C} \cdot\boldsymbol{r}) \times (\nabla \phi) + ({\bf ... ...a \times \nabla \phi = \nabla({\bf C} \cdot\boldsymbol{r}) \times (\nabla \phi)$$

$$\nabla({\bf C} \cdot\boldsymbol{r}) = (\boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{... ...al y} + \boldsymbol{k}\frac{\partial ({\bf C} \cdot\boldsymbol{r})}{\partial z}$$

$$= \boldsymbol{i} ({\bf C} \cdot\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\part... ... y}) + \boldsymbol{k} ({\bf C} \cdot\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial z})$$

$$= \boldsymbol{i} ({\bf C} \cdot\boldsymbol{i}) + \boldsymbol{j} ({\... ...} \cdot\boldsymbol{j}) + \boldsymbol{k} ({\bf C} \cdot\boldsymbol{k}) = {\bf C}$$

より，

$$\int_{C}{\bf C} \cdot(\nabla (\nabla \phi))\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S} {\bf C} \times ({\bf C} \cdot\boldsymbol{r}(\nabla \phi)... ...oldsymbol{n}dS = \int_{S}({\vert bf C} \times \nabla \phi)\cdot\boldsymbol{n}dS$$

$$= \int_{S}{\bf C} \cdot(\nabla \phi \times \boldsymbol{n})dS$$

したがって，

$$\int_{C}\boldsymbol{r}(\nabla \phi)\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S}(\nabla \phi \times \boldsymbol{n})dS$$

3. Stokesの定理より，

$$\int_{C}\phi{\bf A}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S}(\nabla \times \phi {\bf A})\cdot\boldsymbol{n}dS$$

ここで，

$$\nabla \times (\phi {\bf A}) = (\nabla \phi)\times {\bf A} + \phi \nabla \times {\bf A}$$

であることに注意すると，

$$\int_{C}\phi{\bf A}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S}(\nabla \times... ...t\boldsymbol{n}dS + \int_{S}\{\phi \nabla \times {\bf A}\}\cdot\boldsymbol{n}dS$$

4. 線積分を $\int_{C}{\bf A}\cdot d\boldsymbol{r}$の形に直す．そこで，任意の定ベクトル${\bf C}$とスカラー３重積，Stokesの定理を用いると，

$$\int_{C}{\bf C} \cdot\frac{\boldsymbol{r} \times d\boldsymbol{r}}... ...}(\nabla \times \frac{{\bf C} \times \boldsymbol{r}}{r^3})\cdot\boldsymbol{n}dS$$

と表せる．

ここで，ベクトル３重積を用いると

$$\nabla \times \frac{{\bf C} \times \boldsymbol{r}}{r^3} = (\boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{... ...k}\frac{\partial}{\partial z}) \times {\bf C} \times \frac{\boldsymbol{r}}{r^3}$$

$$= \boldsymbol{i} \times {\bf C} \times \frac{\partial}{\partial x}(... ...} \times {\bf C} \times \frac{\partial}{\partial z}(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3})$$

$$= \left(\boldsymbol{i}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\bolds... ...dsymbol{j} \cdot{\bf C})\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3})$$

$$+ \left(\boldsymbol{k}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(\frac{\bolds... ...dsymbol{k} \cdot{\bf C})\frac{\partial}{\partial z}(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3})$$

$$= {\bf C}(\nabla \cdot(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3})) - {\bf C}\cdot\nabla (\frac{\boldsymbol{r}}{r^3})$$

さらに，

$$\nabla \cdot(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}) = \nabla \cdot(r^{-3}\bo... ...}\frac{\boldsymbol{r}}{r}\cdot\boldsymbol{r} + 3r^{-3} = -3r^{-3} + 3r^{-3} = 0$$

より，

$$\int_{C}{\bf C} \cdot\frac{\boldsymbol{r} \times d\boldsymbol{r}}... ...int_{S}\{{\bf C} \cdot\nabla(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3})\}\cdot\boldsymbol{n}dS$$

ここで，${\bf C}$は任意の定ベクトルであるから，

$$\int_{C}\frac{\boldsymbol{r} \times d\boldsymbol{r}}{r^3} = -\int_{S}\nabla(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3})\cdot\boldsymbol{n}dS$$

最後に，

$$\boldsymbol{n} \cdot\nabla (\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}) = (n_{1}\frac{\partial}{\partial x} + n_{2}\frac{\partial}{\partial y} + n_{3}\frac{\partial}{\partial z})(r^{-3}\boldsymbol{r})$$

$$= n_{1}(\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}) + \... ...boldsymbol{r}}{r^3}) + \frac{1}{r^3}\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial z})$$

$$= \boldsymbol{n} \cdot\nabla(\frac{1}{r^3})\boldsymbol{r} + \frac{\... ...oldsymbol{r}}{r}\cdot\boldsymbol{n} \boldsymbol{r} + \frac{\boldsymbol{n}}{r^3}$$

$$= -3\frac{\boldsymbol{n} \cdot\boldsymbol{r}}{t^5}\boldsymbol{r} + \frac{\boldsymbol{n}}{r^3}$$

5. Stokesの定理より，

$$0 = \int_{C}{\bf A}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S}(\nabla \times {\bf A})\cdot\boldsymbol{n}dS$$

よって， $\nabla \times {\bf A} = 0$．したがって，${\bf A}$はスカラー・ポテンシャルをもつ．

ベクトル解析のまとめ

ベクトル解析の問題を解くには以下の事柄を自分の物にしておくとよいでしょう．

基礎の基礎

ナブラ

$$\nabla = \boldsymbol{i}\frac{\partial }{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z}$$

ベクトルの外積

$${\bf A} \times {\bf B} = \left\vert\begin{array}{ccc} \boldsymbol... ..._{2} & B_{3} \end{array}\right\vert, \mbox{特に} {\bf A} \times {\bf A} = {\bf0}$$

スカラー３重積

$${\bf A} \cdot ({\bf B} \times {\bf C}) = {\bf C} \cdot ({\bf A} \times {\bf B}) = -{\bf B} \cdot ({\bf A} \times {\bf C})$$

ベクトル３重積

$${\bf A} \times ({\bf B} \times {\bf C}) = ({\bf A}\cdot {\bf C}){\bf B} - ({\bf A} \cdot {\bf B}){\bf C}$$

方向微分係数 方向単位ベクトル $\boldsymbol{n}$

$$\frac{\partial \phi}{\partial n} = (\nabla \phi) \cdot\boldsymbol{n}$$

基本公式

位置ベクトルの大きさ $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$の勾配

$$\nabla r = (\boldsymbol{i}\frac{\partial r}{\partial x} + \boldsy... ...2}} + \boldsymbol{k}\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{\boldsymbol{r}}{r}$$

位置ベクトル $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k}$の発散

$$\nabla \cdot\boldsymbol{r} = (\boldsymbol{i} \cdot\frac{\partial ... ... \boldsymbol{k}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial z}) = 1 + 1 + 1 = 3$$

位置ベクトル $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k}$の回転

$$\nabla \times \boldsymbol{r} = \left\vert\begin{array}{ccc} \bold... ...artial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ x & y & z \end{array}\right\vert = 0$$

スカラー場とベクトル場の積の微分法

スカラー場の勾配

$$\nabla(\phi \psi) = \psi \nabla \phi + \phi \nabla \psi$$

$$\nabla r^{n} = \boldsymbol{i}\frac{\partial r^{n}}{\partial x} + ... ...{n-1}\frac{\partial r}{\partial z}) = nr^{n-1}\nabla r = nr^{n-2}\boldsymbol{r}$$

ベクトル場の発散

$$\nabla \cdot (\phi {\bf A}) = (\nabla \phi) \cdot {\bf A} + \phi \nabla \cdot {\bf A}$$

$$\nabla \cdot(r^{n}\boldsymbol{r}) = (\nabla r^n)\cdot\boldsymbol{... ...cdot\boldsymbol{r} = nr^{n-1}\nabla r \cdot\boldsymbol{r} + 3r^{n} = (n+3)r^{n}$$

ベクトル場の回転

$$\nabla \times (\phi {\bf A}) = (\nabla \phi)\times {\bf A} + \phi \nabla \times {\bf A}$$

$$\nabla \times (r^{n}\boldsymbol{r}) = (\nabla r^{n}) \times \bold... ...r}}{r} \times \boldsymbol{r} = nr^{n-2}\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{r} = 0$$

勾配，発散，回転の合成

勾配の回転

$$\nabla \times (\nabla \phi) = \left\vert\begin{array}{ccc} \bolds... ...\phi}{\partial y} & \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{array}\right\vert = 0$$

回転の発散

$$\nabla \cdot(\nabla \times {\bf A}) = (\boldsymbol{i}\frac{\parti... ...\frac{\partial}{\partial z}\\ A_{1} & A_{2} & A_{3} \end{array}\right\vert = 0$$

回転の回転

$$\nabla \times (\nabla \times {\bf A}) = (\boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{... ...bf A}}{\partial y} + \boldsymbol{k} \times \frac{\partial {\bf A}}{\partial z})$$

ここで，

$$\boldsymbol{i}\frac{\partial }{\partial x} \times (\boldsymbol{i}... ...bf A}}{\partial y} + \boldsymbol{k} \times \frac{\partial {\bf A}}{\partial z}) = (\boldsymbol{i}\frac{\partial }{\partial x} \cdot\frac{\partial {... ...c{\partial}{\partial x} \cdot\frac{\partial {\bf A}}{\partial z})\boldsymbol{k}$$

$$= \frac{\partial^2 A_{1}}{\partial x^2}\boldsymbol{i} + \frac{\part... ...{\partial x \partial z}\boldsymbol{k} - \frac{\partial^2 {\bf A}}{\partial x^2}$$

よって，

$$\nabla \times (\nabla \times {\bf A}) = \nabla(\nabla \cdot {\bf A}) - \nabla^2 {\bf A}$$

外積の発散

$$\nabla \cdot({\bf A} \times {\bf B}) = (\boldsymbol{i}\frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j}\frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z}) \cdot({\bf A} \times {\bf B})$$

$$= \boldsymbol{i} \cdot(\frac{\partial {\bf A}}{\partial x}\times {\... ...\partial z}\times {\bf B} + {\bf A} \times \frac{\partial {\bf B}}{\partial z})$$

$$= {\bf B} \cdot(\boldsymbol{i} \times \frac{\partial {\bf A}}{\part... ...{\bf B}}{\partial y} + \boldsymbol{k} \cdot\frac{\partial {\bf B}}{\partial z})$$

$$= {\bf B} \cdot (\nabla \times {\bf A}) - {\bf A} \cdot (\nabla \times {\bf B})$$

外積の回転

$$\nabla \times ({\bf A} \times {\bf B}) = (\boldsymbol{i} \frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j} \fra... ...y} + \boldsymbol{k}\frac{\partial}{\partial z}) \times ({\bf A} \times {\bf B})$$

$$= \boldsymbol{i} \times (\frac{\partial {\bf A}}{\partial x}\times ... ...{\partial z}\times {\bf B} + {\bf A}\times \frac{\partial {\bf B}}{\partial z})$$

$$= (\boldsymbol{i} \cdot{\bf B})\frac{\partial {\bf A}}{\partial x} ... ...{\partial z} - (\boldsymbol{k} \cdot\frac{\partial {\bf A}}{\partial z}){\bf B}$$

$$= (B_{1}\frac{\partial {\bf A}}{\partial x} + B_{2}\frac{\partial {... ...\frac{\partial {\bf B}}{\partial y} + A_{3}\frac{\partial {\bf B}}{\partial z})$$

$$= ({\bf B}\cdot \nabla){\bf A} - ({\bf A}\cdot \nabla){\bf B} + (\nabla \cdot {\bf B}){\bf A} - (\nabla \cdot {\bf A}){\bf B}$$

内積の勾配

$$\nabla({\bf A} \cdot {\bf B}) = ({\bf B} \cdot \nabla){\bf A} + (... ...+ {\bf B} \times(\nabla \times {\bf A})+ {\bf A} \times (\nabla \times {\bf B})$$

積分公式

ガウスの発散定理 ベクトル場 $\boldsymbol{F}(x,y,z) = F_{1}\boldsymbol{i} + F_{2}\boldsymbol{j} + F_{3}\boldsymbol{k}$ 内において，区分的に滑らかな閉曲面 $S$ で囲まれた空間の領域を $V$ とし， $S$ の内部から外部に向かう法線ベクトルを $\boldsymbol{n}$ とすると，

$$\int_{S}\boldsymbol{F} \cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{V} \nabla \cdot\boldsymbol{F} dV$$

例題 5..1  

$\int_{S}\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n}\; dS = 0$を証明せよ．解 任意の定ベクトル $\boldsymbol{C}$とスカラー3重積の性質を用いると

$$\int_{S}\boldsymbol{C} \cdot(\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n})\;dS = \int_{S}\boldsymbol{n} \cdot(\boldsymbol{C} \times \boldsymbol{r}... ...ymbol{r})\;dV = -\int_{V}\boldsymbol{C} \cdot(\nabla \times \boldsymbol{r}) = 0$$

ここで， $\boldsymbol{C}$は任意の定ベクトルより， $\int_{S}\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{n}\;dS = 0.$ ストークスの定理 $S:z = f(x,y), (x,y) \in \Omega$ をいくつかの区分的に滑らかな閉曲線を境界とする向きづけられた曲面とする．また，ベクトル場 $\boldsymbol{F}$ は $S$ 上で $C^{1}$ 級とする．そのとき，

$$\oint_{\partial S}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S}(\nabla \times \boldsymbol{F})\cdot\boldsymbol{n} dS$$

ただし， $\partial S$ は $S$ の境界を表わし，曲線 $\partial S$ 上の線積分の向きは領域 $S$ を左手にみるように $\partial S$ を一周するものとする．つまり，法線単位ベクトル $\boldsymbol{n}$ に対して右手の法則に従う．

例題 5..2  

$\int_{C}\phi (\nabla \psi)\cdot d\boldsymbol{r} = -\int_{C}\psi (\nabla \phi) \cdot d\boldsymbol{r}$を証明せよ． 解 $\int_{C}(\nabla \phi \psi)\cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S}(\nabla \times (\nabla \phi \psi))\cdot\boldsymbol{n}dS = 0$. ここで， $\nabla \phi \psi = \psi (\nabla \phi) + \phi (\nabla \psi)$より，

$$\int_{C}\phi(\nabla \psi)\cdot d\boldsymbol{r} = -\int_{C}\psi(\nabla \phi)\cdot d\boldsymbol{r}$$

スカラー・ポテンシャル ベクトル場 $\boldsymbol{F}(x,y,z)　\in C^{1}$ では次の 3つの条件は同値である．

(1) $\boldsymbol{F} = \nabla \phi$ となるスカラー関数 $\phi(x,y,z)$ が存在する．( $\boldsymbol{F}$は保存場)

(2) いたるところ $\nabla \times \boldsymbol{F} = {\bf0}$ が成り立つ．(渦なし)

(3) 任意の閉曲線 $C$ について $\oint_{C}\boldsymbol{F} \cdot d \boldsymbol{r} = 0$ が成り立つ (積分経路無関係)．

例題 5..3  

$xy$平面上で原点Oを中心とし半径$a$の円を$C$とする． $\phi(x,y) = \tan^{-1}{\frac{y}{x}}$のとき， $\int_{C}(\nabla \phi)\cdot d\boldsymbol{r}$を求めよ． 解 ${\mathbf F} = \nabla \phi$より， $\int_{C}(\nabla \phi) \cdot d\boldsymbol{r} = 0$は間違い． ${\mathbf F} = \nabla \phi = \frac{-\frac{y}{x^2}}{1 + (\frac{y}{x})^2}\boldsymb... ...y}{x})^2}\boldsymbol{j} = \frac{-y\boldsymbol{i} + x\boldsymbol{j} }{x^2 + y^2}$は原点で微分可能でない．

$C : x = a\cos{t}, y = a\sin{t}, 0 \leq t \leq 2\pi$とパラメター化できる．これより， $\nabla \phi = \frac{-\sin{t}}{a}\boldsymbol{i} + \frac{\cos{t}}{a}\boldsymbol{j}$. また， $d\boldsymbol{r} = (-a\sin{t}\boldsymbol{i} + a\cos{t}\boldsymbol{j})dt$. したがって，

$$\int_{C}(\nabla \phi) \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{0}^{2\pi}(-\s... ...} +\cos{t}\boldsymbol{j})\cdot(-\sin{t} + \cos{t})dt = \int_{0}^{2\pi}dt = 2\pi$$

例題 5..4  

$S$が円柱面 $x^2 + y^2 = 9$と平面 $z = 0, z = 3$で囲まれている曲面のとき， $\int_{S} (x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k})\cdot\boldsymbol{n}dS$を次の方法で求めよ．

(1) 発散定理を用いて　(2) 面積分を直接 (1) ${\bf A} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$とおくと， $\nabla \cdot {\bf A} = 3$．よって，発散定理より，

$$\int_{S}{\bf A} \cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{V}(\nabla \cdot{\bf A})dV = 3\int_{V}dV = 3V = 3(\pi(3)^2)(3) = 81\pi$$

(2) まず，曲面$S$は3つの面 $S_{1} : x^2 + y^2 = 9, 0 \leq z \leq 3$， $S_{2} : x^2 + y^2 \leq 9, z = 0$, $S_{3} : x^2 + y^2 \leq 9, z = 3$で囲まれている. そこで，それぞれの面での面積分を求めることになる．

面$S_{1}$において，単位法ベクトルを求める． $x^2 + y^2 = 9$より， $x = \pm \sqrt{9 -y^2}$．$x > 0$の場合，位置ベクトル $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k} = \sqrt{9 - y^2}\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$. これより，単位法ベクトル $\boldsymbol{n}$は

$$\boldsymbol{n} = \frac{\boldsymbol{r}_{y} \times \boldsymbol{r}_{... ...oldsymbol{r}_{z}\vert} = \frac{\sqrt{9-y^2}\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j}}{3}$$

よって，

$${\bf A} \cdot\boldsymbol{n} = (\sqrt{9-y^2}\boldsymbol{i} + y\bol... ...c{\sqrt{9-y^2}\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j}}{3} = \frac{1}{3}(9-y^2+y^2) = 3$$

ここで，$S_{1}$を$yz$平面に正射影すると， $dS = \vert\boldsymbol{r}_{y} \times \boldsymbol{r}_{z}\vert dydz = \frac{3}{\sqrt{9-y^2}}dydz$より，

$$\int_{S_{1}, x > 0}{\bf A} \cdot\boldsymbol{n}dS = 9\int_{y=-3}^{... ...3}^{3}\frac{1}{9-y^2}dy = 54\left[\sin^{-1}{\frac{y}{3}}\right]_{0}^{3} = 27\pi$$

しかし，これは，円柱面 $x^2 + y^2 = 9, 0 \leq z \leq 3$の$x > 0$の部分であるから，積分しなくてもその面積は$27\pi$と求まる．

$x < 0$の場合，位置ベクトル $\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k} = -\sqrt{9 - y^2}\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$. これより，単位法ベクトル $\boldsymbol{n}$は

$$\boldsymbol{n} = \frac{\boldsymbol{r}_{z} \times \boldsymbol{r}_{... ...ldsymbol{r}_{y}\vert} = \frac{-\sqrt{9-y^2}\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j}}{3}$$

よって，

$${\bf A} \cdot\boldsymbol{n} = (-\sqrt{9-y^2}\boldsymbol{i} + y\bo... ...{-\sqrt{9-y^2}\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j}}{3} = \frac{1}{3}(9-y^2+y^2) = 3$$

したがって，

$$\int_{S_{1}}{\bf A} \cdot\boldsymbol{n}dS = \int_{S_{1}}3dS = 3S_{1} = 3(2\pi(3))(3) = 54\pi$$

面$S_{2}$では $\boldsymbol{n} = -\boldsymbol{k}$．よって， ${\bf A} \cdot\boldsymbol{n} = -z$.　しかし，$z = 0$より， ${\bf A} \cdot\boldsymbol{n} = 0$. したがって，

$$\int_{S_{2}}{\bf A} \cdot\boldsymbol{n}dS = 0$$

面$S_{3}$では $\boldsymbol{n} = \boldsymbol{k}$．よって， ${\bf A} \cdot\boldsymbol{n} = z$.　ここで，$z = 3$より， ${\bf A} \cdot\boldsymbol{n} = 3$. したがって，

$$\int_{S_{3}}{\bf A} \cdot\boldsymbol{n}dS = 3\int_{S_{3}}dS = 3S_{3} = 3(9\pi) = 27\pi$$

全てを加えると，

$$\int_{S}{\bf A}\cdot\boldsymbol{n}dS = 81\pi$$