1.
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3.
を用いると簡単である.
4.
の勾配
は点Pでこの曲面
に垂直である.したがって,
単位法ベクトル
は
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6.
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2.
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3. ベクトル場は
のとき,がスカラー・ポテンシャルを持つといい,そのとき,
である. そこで,
であるような
を求める.
4. 力の場
がポテンシャル
をもつことより,
.これより,この質点の運動方程式は
5. 平面上で原点Oを中心とし,半径
の円を
とすると,
とパラメター化できる.これより,
演習問題詳解3.4
1.
(1) 曲面を
平面に正射影すると,
は
に移る.また,曲面
より,対応する
を位置ベクトルとすると,
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3. 曲面を
平面に正射影すると
は
.
次に,
を位置ベクトルとすると
.
これより,曲面
の法線ベクトル
.
これより,
4. 曲面を
平面に正射影すると
は
.
次に,
を位置ベクトルとすると
.
これより,曲面
の法線ベクトル
.よって,
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演習問題詳解3.5
基本公式
とすると,(1)
1.
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2.
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4.
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演習問題詳解3.6
1.
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ここで,
より,
となる
が存在することに注意する.
演習問題詳解4.1
1.
(2)
を面積分の形に直す.任意の定ベクトル
とスカラー3重積の性質を用いると
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(5)
を面積分の形に直す.任意の定ベクトル
とスカラー3重積を用いると
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3. 曲面の境界線を
とするので,境界線で分けられた曲面を
とする.また,曲面
の法単位ベクトルを
,
の法単位ベクトルを
とする.このとき,曲面
の法単位ベクトルを
とすると
または,
.ここで,
4.
5.
(1)
labelenshu:4-1-5-1 例題4.3のように,面積分の形に書き直す.
は法線単位ベクトル
方向での方向微分係数より,
.よって,
(2) 例題4.3のように,面積分の形に書き直す.
は法線単位ベクトル
方向での方向微分係数より,
.よって,
(4) が調和関数とは,
となることである.したがって,(2)を用いると,
(5)
が調和関数とは,
となることである.したがって,(3)を用いると,
7.
.ここで,任意の定ベクトル
を用いて,面積分の形に直すと,
演習問題詳解4.2
1.
2.
(1) 線積分を
の形に直す.そこで,任意の定ベクトル
とスカラー3重積を用いると,
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(3) を任意の定数ベルトルとし,Stokesの定理を用いると,
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4. 線積分を
の形に直す.そこで,任意の定ベクトル
とスカラー3重積,Stokesの定理を用いると,
ここで,ベクトル3重積を用いると
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ベクトル解析の問題を解くには以下の事柄を自分の物にしておくとよいでしょう.
ナブラ
位置ベクトル
の回転
勾配の回転
回転の回転
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外積の発散
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外積の回転
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内積の勾配
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スカラー・ポテンシャル ベクトル場
では次の 3つの条件は同値である.
(1)
となるスカラー関数
が存在する.(
は保存場)
(2) いたるところ
が成り立つ.(渦なし)
(3) 任意の閉曲線 について
が成り立つ (積分経路無関係).
とパラメター化できる.これより,
. また,
. したがって,
(1) 発散定理を用いて (2) 面積分を直接
(1)
とおくと,
.よって,発散定理より,
(2) まず,曲面は3つの面
,
,
で囲まれている. そこで,それぞれの面での面積分を求めることになる.
面において,単位法ベクトルを求める.
より,
.
の場合,位置ベクトル
. これより,単位法ベクトル
は
の場合,位置ベクトル
. これより,単位法ベクトル
は
面では
.よって,
. しかし,
より,
. したがって,
面では
.よって,
. ここで,
より,
. したがって,