Stokesの定理
Greenの定理を アイルランドの数学者で物理学者の George Gabriel Stokes (1819-1903) が一般化したものをStokesの定理とよびます.まず,
Stokesの定理を学ぶには,曲面の向きづけを行なう必要があります.
向きづけられた曲面
の境界の曲線
に沿っての線積分を,
上での面積分に書き換える等式を与えるのがStokesの定理です.
図:
Stokesの定理
![\begin{figure}\begin{center}
\includegraphics[width=5.1cm]{CALCFIG/Fig8-6-2.eps}
\end{center}\vskip -1cm
\end{figure}](img1050.gif) |
証明
まず,
を考えよう.
より
![$\displaystyle [\nabla \times F_{1}\boldsymbol{i}] \cdot\boldsymbol{n}dS = \left...
...- \frac{\partial F_{1}}{\partial y}\boldsymbol{n} \cdot\boldsymbol{k}\right )dS$](img515.png) |
(4.1) |
を位置ベクトルとすると,
は
の接線ベクトルとなるので,法線ベクトル
とは直交する.よって
または
これを式4.1 に代入すると,
ここで
上では
とおけるので合成関数の微分法より
となる.よって
を得る.これより
で表わせる.ここで,
は
を
平面に正射影したものである.右側の積分は平面上の積分で,Greenの定理より
となる.
の境界上の点
での
の値と,
の境界上の点
での
の値は等しく,また,
はどちらの曲線でも同じなので,
または
となる.同様にして,他の平面への正射影をとると,
となり,くわえると,
となる.
例題 4..4
のとき,Stokesの定理が成り立つことを示してみましょう.
解
の境界
は
の円となります.よって位置ベクトル
より線積分を求めると
次に面積分を求めてみます.
次に法線単位ベクトルを求めると
となるので
これより,
よってStokesの定理が成り立つことが示せました.
これまでに保存場では,ベクトル場はスカラー場の勾配と等しくなり,またベクトル場の回転は0になることをすでに学びました.では線積分との関係においては,どんなことが成り立つのか調べてみましょう.
定理 4..5
ベクトル場
では次の 3つの条件は同値である.
(1)
となるスカラー関数
が存在する.(
は保存場)
(2) いたるところ
が成り立つ.(渦なし)
(3) 任意の閉曲線 について
が成り立つ (積分経路無関係).
|
|
証明
(1)
(2)
(3)
(1)を示す.
(1)
(2)
(2)
(3) 閉曲線
で囲まれた曲面
を考えて,Stokesの定理を使うと
(3)
(1) 定点P
と動点Q
をむすぶ2つの曲線
をとり,Pから
を経てQに至り,Qから
を逆向きに通ってPに戻る道を
とすると,
よって,
すなわち,PからQに至る線積分
は途中の経路に関係なく,終点Qの座標
の関数で与えられる.よってこれを
とすれば,
PからQに至る任意の曲線のベクトル方程式を
とすると,
よって
曲線PQは任意,したがって
も任意の関数でよいから,
これより,
この定理より,線積分をおこなうときに,ベクトル場がスカラー・ポテンシャルを持てば,積分をしなくとも答は0であることが分かります.
例題 4..5
を求めてみましょう.ただし,
は点
から点
を通りもとに戻る曲線.
解
より,
はスカラーポテンシャルを持つ.そこで,
となる
を求める.
より,
ここで,
を用いると
. よって,
. つまり,
. つぎに,
を用いると
. よって
.ここで,
とおくと,
となる.これを用いると,
例題 4..6
スカラー場
の共通の定義域内にある任意の曲面
とその境界線
について,次の等式を証明せよ.
解 まず,
を計算すると,
ここで,
より,
したがって,ストークスの定理より,
問 4..1
とする.任意の曲面
とその境界線
について次の等式を証明せよ.
演習問題4.2
- 1.
- スカラー場
の共通な定義域内にある任意の曲面
の境界線
について次の式を証明せよ.
- 2.
-
とし,
をスカラー場とする.任意の曲面
とその境界線
について次の式を証明せよ.
(1)
(2)
(3)
- 3.
- スカラー場
とベクトル場
の共通な定義域内にある任意の曲面
の境界線
について次の式を証明せよ.
- 4.
-
とし,
をスカラー場とする.任意の曲面
とその境界線
について次の式を証明せよ.
- 5.
- ベクトル場
は全空間で定義されているとする.任意の曲面の境界線
について
ならば,
はスカラー・ポテンシャルをもつ.以上のことを証明せよ.