面積分(surface integrals)

演習問題3.4

1.

平面 $2x + 2y + z = 2$と$x$軸，$y$軸, $z$軸の交点をそれぞれA,B,Cとする．$\triangle$ABCを曲面$S$とする．次の面積分を求めよ．

(1) $\int_{S}fdS, f = x^2 + 2y + z -1$

(2) $\int_{S}{\bf A}\cdot\boldsymbol{n}dS, {\bf A} = x^2 \boldsymbol{i} + z \boldsymbol{k}$

2.

$xy$平面上の領域 $x \geq 0, y \geq 0, x^2 + y^2 \leq a^2$を曲面$S$とする．次の面積分を求めよ．

$$\int_{S}{\bf A} \times \boldsymbol{n}dS, {\bf A} = x\boldsymbol{i} + (x-y)\boldsymbol{j} + (\log{xy})\boldsymbol{k}$$

3.

次の面積分を求めよ．

$$\iint_{S}(3x{\bf i} + 4z{\bf j} + 2y{\bf k}) \cdot {\bf n}dS, S:y^2 + z^2 = 4, 0 \leq x \leq 3, y \geq 0, z \geq 0, ({\bf n}\mbox{の}z\mbox{成分は正}$$

4

次の面積分を求めよ．

$$\iint_{S}(x{\bf i} + y{\bf j} - 2z{\bf k}) \cdot {\bf n}dS, S:x^2 + y^2 = a^2, 0 \leq z \leq 1$$