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演習問題詳解1.2
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演習問題詳解1.3
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演習問題詳解1.4
1.
.Thus they are not coplanar.
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演習問題詳解2.1
1.
の成分は
. よって,
でその軌跡
,
は放物面
である.
3.
.
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演習問題詳解2.2
1. 点 を通り方向が
の直線を求める.直線上の任意の点を
とすると
3. 求める直線は始点を にもち,方向が
と考えられるので,直線上の任意の点を
とすると,
4.
より,
となり,
は半径1の円柱の回りをらせん状に回転する滑らかな曲線だということが分かります.そこで
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他にも
8. まず,
を求めてみましょう.
は接線の傾きなので,
となります.よって
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となります.
演習問題詳解3.1
次に点 での
方向の方向微分係数を求めるため方向単位ベクトルを求めると
.よって方向微分係数は
また,椄平面の方程式は
3.
を流線の方程式とすると
は
の法線ベクトルを表わすので,
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7. Note that
of
is orthogonal to
.Therefore the unit normal vector
is
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演習問題詳解3.2
1.
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3.
を用いると簡単である.
4.
の勾配
は点Pでこの曲面
に垂直である.したがって,
単位法ベクトル
は
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6.
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2.
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3. ベクトル場は
のとき,がスカラー・ポテンシャルを持つといい,そのとき,
である. そこで,
であるような
を求める.
4. 力の場
がポテンシャル
をもつことより,
.これより,この質点の運動方程式は
5. 平面上で原点Oを中心とし,半径
の円を
とすると,
とパラメター化できる.これより,
演習問題詳解3.4
1.
(1) 曲面を
平面に正射影すると,
は
に移る.また,曲面
より,対応する
を位置ベクトルとすると,
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3. 曲面を
平面に正射影すると
は
.
次に,
を位置ベクトルとすると
.
これより,曲面
の法線ベクトル
.
これより,
4. 曲面を
平面に正射影すると
は
.
次に,
を位置ベクトルとすると
.
これより,曲面
の法線ベクトル
.よって,
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演習問題詳解3.5
基本公式
とすると,(1)
1.
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2.
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4.
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演習問題詳解3.6
1.
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ここで,
より,
となる
が存在することに注意する.
演習問題詳解4.1
1.
(2)
を面積分の形に直す.任意の定ベクトル
とスカラー3重積の性質を用いると
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(5)
を面積分の形に直す.任意の定ベクトル
とスカラー3重積を用いると
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3. 曲面の境界線を
とするので,境界線で分けられた曲面を
とする.また,曲面
の法単位ベクトルを
,
の法単位ベクトルを
とする.このとき,曲面
の法単位ベクトルを
とすると
または,
.ここで,
4.
5.
(1)
labelenshu:4-1-5-1 例題4.3のように,面積分の形に書き直す.
は法線単位ベクトル
方向での方向微分係数より,
.よって,
(2) 例題4.3のように,面積分の形に書き直す.
は法線単位ベクトル
方向での方向微分係数より,
.よって,
(4) が調和関数とは,
となることである.したがって,(2)を用いると,
(5)
が調和関数とは,
となることである.したがって,(3)を用いると,
7.
.ここで,任意の定ベクトル
を用いて,面積分の形に直すと,
演習問題詳解4.2
1.
2.
(1) 線積分を
の形に直す.そこで,任意の定ベクトル
とスカラー3重積を用いると,
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(3) を任意の定数ベルトルとし,Stokesの定理を用いると,
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4. 線積分を
の形に直す.そこで,任意の定ベクトル
とスカラー3重積,Stokesの定理を用いると,
ここで,ベクトル3重積を用いると
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