ストークスの定理

Stokesの定理

演習問題4.2

スカラー場 $\phi, \psi$ の共通な定義域内にある任意の曲面の境界線について次の式を証明せよ．

$\displaystyle \int_{C}\phi(\nabla \psi)\cdot d\boldsymbol{r} = -\int_{C}\psi(\nabla \phi)\cdot d\boldsymbol{r}$

2.

$\boldsymbol{r} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}, r = \vert\boldsymbol{r}\vert$ とし， $\phi$ をスカラー場とする．任意の曲面とその境界線について次の式を証明せよ．

(1) $\int_{C}\boldsymbol{r} \times d\boldsymbol{r} = 2\int_{S}\boldsymbol{n}dS$

(2) $\int_{C}r^{k}\boldsymbol{r} \cdot d\boldsymbol{r} = 0$

(3) $\int_{C}\boldsymbol{r} (\nabla \phi) \cdot d\boldsymbol{r} = \int_{S}(\nabla \phi) \times \boldsymbol{n}dS$

3.

スカラー場 $\phi$ とベクトル場 ${\bf A}$ の共通な定義域内にある任意の曲面の境界線について次の式を証明せよ．

$\displaystyle \int_{S}\phi(\nabla \times {\bf A})\cdot\boldsymbol{n} dS = \int_... ...d\boldsymbol{r} - \int_{S}\{(\nabla \phi)\times {\bf A}\} \cdot\boldsymbol{n}dS$

4.

$\displaystyle \int_{C}\frac{\boldsymbol{r} \times d\boldsymbol{r}}{r^3} = -\int... ...}\cdot\boldsymbol{n}}{r^5}\boldsymbol{r} - \frac{\boldsymbol{n}}{r^3} \right)dS$

5.

ベクトル場 ${\bf A}$ は全空間で定義されているとする．任意の曲面の境界線について

$\displaystyle \int_{C}{\bf A} \cdot d\boldsymbol{r} = 0$

ならば， ${\bf A}$ はスカラー・ポテンシャルをもつ．以上のことを証明せよ．