$\chi ^{2}$ 分布(Chi square distribution)

$\chi ^{2}$ 分布は１つの自然数 $n$

$n$

を含む連続型分布で， $\chi^{2}(n)$ と表し $n$

$n$

をその自由度という。 $\chi ^{2}$ 分布の密度関数 $f_{n}(x)$ は次の式で与えられる。

$\displaystyle f_{n}(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gam... ...)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{1}{2}x} & x > 0\\ 0 & x \leq 0 \end{array}\right.$

ここで，ガンマ関数 $\Gamma(x)$ は

$\displaystyle \Gamma(x) = \int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt (x > 0)$

で定義される。

$\chi ^{2}$ 分布の名前は次の性質から来ている。

定理 5..1

確率変数 $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$ が同一の標準正規分布 $N(0,1)$

$N(0,1)$

に従い，互いに独立ならば，その統計量

$\displaystyle \chi_{n}^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}$

は自由度

$n$

の $\chi ^{2}$ 分布に従う。その期待値と分散は

$\displaystyle E(\chi_{n}^{2}) = n, V(\chi_{n}^{2}) = 2n$

定理 5..2

[ $\chi ^{2}$ 分布の加法性] $\chi_{n}^{2}, \chi_{m}^{2}$ がそれぞれ自由度 $n$

$n$

,

$m$

の $\chi ^{2}$ 分布に従い，互いに独立ならば， $\chi^{2} = \chi_{n}^{2} + \chi_{m}^{2}$ は自由度 $n+m$

$n+m$

の $\chi ^{2}$ 分布に従う。

標本確率変数 $X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$ の標本分散 $S^{2}$ は

$\displaystyle S^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \bar{X})^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} - \bar{X}^{2}$

で定義される。しかし，この式から求まる標本標準偏差 $S$

$S$

は一般に標準偏差として用いられていない。その理由は，

$\displaystyle E(S^{2}) = \frac{n-1}{n}\sigma^{2}$

となり， $S^{2}$ の期待値は母分散の期待値と異なる。そこで，多くのテキストでは，

$\displaystyle S^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \bar{X})^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} - \bar{X}^{2}$

と定義している。この定義によれば，

$\displaystyle E(S^{2}) = \frac{n-1}{n-1}\sigma^{2} = \sigma^{2}$

となる。このような統計量 $S^{2}$ を母分散の不偏推定量という。

標本分散 $S^{2}$ に関して，次の定理がある。

定理 5..3

$N(\mu, \sigma^{2})$ の正規分布に従う母集団から無作為で得た標本を $\{X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}\}$ とすると，

$\displaystyle Y = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \bar{X})^{2}$

は自由度が

$n-1$

の $\chi ^{2}$ 分布に従って分布する。

演習問題 5..2

1. 母集団が正規分布であるとする。 $n$ が20の標本から標本分散を求めたところ，その値は1.5であった。母分散が1のとき，標本分散が1.5より大きい確率を求めよ。