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演習問題解答

演習問題1.1

1

(a) ここでは $\square \square \square \square$の$\square$の中に異なる数字を入れて4桁の数字を何個作れるか考えてみます．まず，4桁の数字なので，千の位の$\square$には0を使うことができません．そこで千の位は1から6までの6個の中から1個選ぶことになるので，6通り．百の位から一の位までは0から6までのどの数字も使うことができます．しかし，数字を取り出して並べるため，同じ数字は2度使えないことに注意して下さい．では並べてみましょう．

まず，百の位には千の位で用いられた数字以外どれでも使えるので，6通りあります．十の位は千の位と百の位で用いられた数字以外どれでも使えるので，5通りあります．最後に一の位は千の位，百の位，十の位で用いられたもの以外すべて使えるので4通り．よって全部で

$\displaystyle 6\cdot6\cdot5\cdot4 = 720 $

個の4桁の数字を作ることができます．

ここで百の位，十の位，一の位は千の位で用いられた数字以外どれでも1回づつ使うことができることに注意すると，6個の中から3個を取り出し順序をつけて並べる順列の数になるので ${}_6 P_{3}$と表わせます．よって

$\displaystyle 6\cdot {}_6 P_{3} = 6\cdot6\cdot5\cdot4 = 720 $

(b) まず，5の倍数は一の位が必ず，0か5になることに注意します．次に，一の位が0の場合と5の場合を別々に考えます．

一の位が0の場合．

千の位，百の位，十の位は1から6までの数字を1回づつ使うことができるので，6個の中から3個を取り出し並べる順列の数になるので ${}_6 P_{3}$と表わせます．よって 120通り

一の位が5の場合．

千の位に0が使えないので，千の位は0，5以外の5通り，百と十の位は一と千の位で用いた数字以外どれでも1回づつ使えるので${}_5P_{2}$通り．よって $5\cdot {}_5P_{2} = 5\cdot 5 \cdot 4 = 100$通り

ここで，一の位が0の場合と5の場合は同時におきないので，全部で

$\displaystyle 120 + 100 = 220 $   通り$\displaystyle $

(c) 同じ数字が重複してもよいので，千の位は1から6までの6通り，百の位は0から6までの7通り，十の位も0から6までの7通り，最後に一の位も0から6までの7通り．したがって，

$\displaystyle 6\cdot {}_7 \Pi_{3} = 6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 2058 $   通り

2

(a) 1から10までの番号のついたカードから6枚を取り出すとき，何通りの取り出し方があるかを考えます．このとき，一枚づつ順に取り出し並べるわけではないので，取り出す順序を考える必要はありません．よって，何通りの組み合わせがあるかを考えればよいでしょう．

10個の中から6個を取り出す組み合わせは ${}_{10} C_{6}$なので，

$\displaystyle {}_{10} C_{6} = \frac{10!}{4! 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{4 \cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 210 $   通り

(b) 1と2のカードを含むとは取り出した6枚の中に必ず1と2のカードが入っていなければならないということです．

これは1と2を先に引いておいて残りの4枚を3から10までの8枚から選ぶ選び方と考えることができます．よって ${}_8 C_{4} = 70$通り．

(c) 1のカードを含む場合を$C_{1}$，2のカードを含む場合を$C_{2}$とします．すると$C_{1}$は ${}_9 C_{5}$通り，$C_{2}$も ${}_9 C_{5}$通りとなるので，1または2を含む場合は

$\displaystyle {}_9 C_{5} + {}_9 C_{5} - 70 = 252 - 70 = 182 $   通り$\displaystyle $

別解 1または2のカードを含むの否定は1と2のカードを含まないとなるので，1と2のカードを含まない場合を考えます．

1と2を含まないので残りの8枚のカードから6枚を取り出すことになるので，その取り出し方は ${}_8 C_{6}$通り．よって，1または2のカードを含む場合は

$\displaystyle 210 - {}_8 C_{6} = 210 - \frac{56}{2} = 210 - 28 = 182 $   通り$\displaystyle $

3

(a) $A_{i} = [表の出る回数がi回]$とおきます．すると表は5回中$i$回どこで出てもよく出る順序は関係ないので，その組み合わせは ${}_5 C_{i}$となります．

$A_{0}$は ${}_5 C_{0} = 1$通り，$A_{1}$は ${}_5 C_{1} = 5$通り，$A_{2}$は ${}_5 C_{2} = 10$通り，$A_{3}$は ${}_5 C_{3} = 10$通り， $A_{4}$は ${}_5 C_{4} = 5$通り，$A_{5}$は ${}_5 C_{5} = 1$通り

(b) 起こりえるすべての場合は ${}_2 \Pi_{5} = 2^5 = 32$通り．または，

$\displaystyle 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 $   通り

4

(a) $a,b$が隣り合うので，$a,b$の順に並んでいるのを$A$とおくと，この問題は5文字を一列に並べる並べ方は何通りあるかという問題と同じになります．したがって，

$\displaystyle {}_5 P_{5} = 5! = 120 $

また，$b,a$の順に並んでいるのを$B$とおくと，

$\displaystyle {}_5 P_{5} = 5! = 120 $

したがって，全部で240通り．

(b) $a,b$が隣り合わないのはすべての並び方から$a,b$が隣り合う場合を引いたもの．よって

$\displaystyle 6! - 240 = 720 - 240 = 480 $   通り$\displaystyle $

(c) $a,b$が両端にくるのは$a,b$と$b,a$の場合があることに注意すると，中の4文字の並び方は ${}_4 P_{4}$通りとなるので，全部で

$\displaystyle 2 \cdot {}_4 P_{4} = 2 \cdot 4! = 48 $   通り$\displaystyle $

5 $ {8 \choose 4,2,1,1} = \frac{8!}{4! 2! 1! 1!}$． 全てに番号をつけて並べると， ${}_8 P_{8} = 8!$通りの並べかたがある．しかし，実際は4個の$a$の重複 ${}_4 P_{4} = 4!$，2個の$b$の重複 ${}_2 P_{2} = 2!$は区別できないので，その組み合わせは $\frac{8!}{4! 2! 1! 1!}$である．

演習問題2.1

(a) まず，場合の数を使って確率を求めてみましょう． $X_{i} = [6回中i回1の目がでる]$とおきます．

さいころを6回投げると，目のでかたは全部で ${}_6 \Pi_{6} = 6^6$通りあります．次に1の目が6回中1回出る場合の数は何通りあるか数えてみましょう．

一投目で1の目が出ると，残りの5回は1以外なので， ${}_5 \Pi_{5}$通り．同じことが二投目，三投目，... でも言えるので，全部で

$\displaystyle {}_6 C_{1} \cdot {}_5 \Pi_{5} = 6 \cdot 5^5 $

したがって，1の目が6回中1回出る確率は

$\displaystyle P_{r}(X_{1}) = \frac{6 \cdot 5^5}{6^6} = \left(\frac{5}{6}\right)^5 $

別解

まず，1の目が1回出るのは最初の1投目でも2投目でも6投目でもいいので全部で6通りあることに注意します．この6通りのそれぞれの確率を調べてみましょう．まず，1投目で1の目が出たとすると

$\displaystyle \{1 \square \square \square \square \square \} $

となります．このとき，$\square$の中には1の目以外なんでも入ります．よってこのときの確率を求めると，

$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 $

となります．これが全部で6通りあるので，1の目が1回出る確率は

$\displaystyle 6 \cdot \frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \left(\frac{5}{6}\right)^5 = \frac{3125}{7776}$

となります．

(b) 1の目が4回出る組み合わせは全部で ${}_6 C_{4}$通り．そのとき，残りの2回は1以外なので$5^2$通り．よって全部で，

$\displaystyle {}_6 C_{4} \cdot 5^2 $   通り

したがって，1の目が6回中4回出る確率は

$\displaystyle P_{r}(X_{4}) = \frac{{}_6 C_{4} \cdot 5^2}{6^6} = \frac{375}{46656} $

別解

6回中4回1の目がでる組み合わせは ${}_6 C_{4}$通り．また，それぞれの確率は

$\displaystyle \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 $

よって，

$\displaystyle P_{r}(X_{4}) = {}_6 C_{4} \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{375}{46656} = \frac{125}{15552} $

(c) 1の目が出るのは4回以下とは

$\displaystyle X_{0} \cup X_{1} \cup X_{2} \cup X_{3} \cup X_{4} $

のことです．ここで，それぞれの事象は同時に起こりえないことに注意すると，


$\displaystyle P_{r}(X_{0} \cup X_{1} \cup X_{2} \cup X_{3} \cup X_{4})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(X_{0}) + P_{r}(X_{1}) + P_{r}(X_{2}) + P_{r}(X_{3}) + P_{r}(X_{4})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - [Pr(X_{5}) + Pr(X_{6})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - \left[\binom{6}{5} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^5 \left(\frac{5}{6}\right) + \binom{6}{6} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^6 \right]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{46625}{46656}$  

(d) 1の目が出るのは5回以上とは

$\displaystyle X_{5} \cup X_{6} $

のことです．ここで，1の目が出るのが4回以下の確率は

$\displaystyle P_{r}\left(X_{0} \cup X_{1} \cup X_{2} \cup X_{3} \cup X_{4}\right) = \frac{46625}{46656}$

に注意すると，

$\displaystyle P_{r}(X_{5} \cup X_{6}) = 1 - P_{r}\left(X_{0} \cup X_{1} \cup X_{2} \cup X_{3} \cup X_{4}\right) = \frac{31}{46656} $

2. (a) 白玉5個，赤玉3個，黒玉が2個合わせて10個の中から4個を取り出す組み合わせは $ {}_{10} C_{4}$通り．次に白玉4個を袋の中から取り出す組み合わせを考えてみましょう．

袋の中の5個の白玉から4個を取り出すしかないので，その組み合わせは ${}_5 C_{4}$通り．したがって，取り出した4個が全て白玉の確率は

$\displaystyle \frac{{}_5 C_{4}}{{}_{10} C_{4}} = \frac{\frac{5!}{4! 1!}}{\frac{... ...4!}} = \frac{5}{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 / 4 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{1}{42} $

別解 取り出した4個に注目．

1． 白玉4個取り出す組み合わせは ${}_5 C_{4} = 5$通り

2． 白玉1個ずつ取り出す確率は， $\frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} \cdot \frac{1}{7}$

したがって，取り出した4個が全て白玉の確率は

$\displaystyle 5 \cdot \frac{4}{10}\cdot \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{42}$

(b) 白玉5個，赤玉3個，黒玉が2個合わせて10個の中から4個を取り出す組み合わせは $ {}_{10} C_{4}$通り．次に白玉2個を袋の中から取り出す組み合わせを考えてみましょう．

2個だけ白玉ということは5個の白玉から2個取り出し，残りの赤玉と黒玉から2個取り出す場合の数なので， ${}_5 C_{2} \times {}_5 C_{2}$．したがって，取り出した4個のうち白がちょうど2個である確率は

$\displaystyle \frac{{}_5 C_{2} \times {}_5 C_{2}}{{}_{10} C_{4}} = \frac{10}{21} $

(c) 白が2個以内とは白が0個，1個，2個の事象の場合である．よって，その確率は

$\displaystyle \frac{{}_5 C_{0} \cdot {}_5 C_{4} + {}_5 C_{1} \cdot {}_5 C_{3} + {}_5 C_{2} \times {}_5 C_{2}}{{}_{10} C_{4}} = \frac{31}{42} $

(d) 白が2個赤が2個を取り出す組み合わせは， ${}_5 C_{2} \times {}_3 C_{2}$である．したがって，取り出した4個のうち白が2個赤が2個である確率は

$\displaystyle \frac{{}_5 C_{2} \cdot {}_3 C_{2}}{{}_{10} C_{4}} = \frac{1}{7} $

(e) 取り出した4個に注目．

1． 白，赤，黒がともに含まれるということは，白，赤，黒のどれかが2個になる組み合わせを考えればよい．よって $ {4 \choose 2,1,1}$通り．

2． 白，赤，黒1つずつ取り出す確率は $\frac{5}{10}\frac{3}{9}\frac{2}{8}$．

3．したがって，白，赤，黒がともに含まれる確率は

$\displaystyle {4 \choose 2,1,1}\frac{5}{10}\frac{3}{9}\frac{2}{8} = \frac{1}{2}$

演習問題2.2

(a) 1から10までがその順に一列に並ぶ場合を考えているので，まずは，1から10を勝手に一列に並べる並べ方は何通りあるか考えてみましょう．

先頭にくるのは1から10の内どれでもよいので，10通り，次は9通り，．．．となるので，全部で $ {}_{10} P_{10} = 10!$通りとなります．

次に1から10までがその順に一列に並ぶ場合は一通り．したがって，その確率は

$\displaystyle \frac{1}{10!} $

別解 1が先頭にくる確率は $\displaystyle{\frac{1}{10}}$,1が先頭にきたことが分ったあと，2が2番目にくる確率は $\displaystyle{\frac{1}{9}}$，1が先頭，2が2番目にきたことが分ったあと，3が3番目にくる確率は $\displaystyle{\frac{1}{8}}$，．．．となるので，1から10までがその順に一列に並ぶ確率は

$\displaystyle \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{9} \cdots \frac{1}{1} = \frac{1}{10!} $

(b) 4のカードがちょうど4番目ということは，それ以外の9枚のカードはどこにあってもいいので，4のカードがちょうど4番目にくるのは ${}_9 P_{9} = 9!$通りあります．よってその確率は

$\displaystyle \frac{{}_9 P_{9}}{{}_{10} P_{10}} = \frac{9!}{10!} = \frac{1}{10} $

別解 4のカードがちょうど4番目にくる確率は $\displaystyle{\frac{1}{10}}$

(c) 1が最初に，4が4番目にあるということは，それ以外の8枚のカードはどこにあってもいいので，全部で ${}_8 P_{8}$通り．よって，1が最初に，4が4番目にくる確率は

$\displaystyle \frac{{}_8 P_{8}}{{}_{10} P_{10}} = \frac{8!}{10!} = \frac{1}{10\cdot 9} = \frac{1}{90} $

別解 1が最初にくる確率は $\displaystyle{\frac{1}{10}}$．次に1が最初にきたことが分ったあと，4が4番目にくる確率は $\displaystyle{\frac{1}{9}}$．よって，1が最初に，4が4番目にくる確率は

$\displaystyle \frac{1}{90} $

4. (a) 円板の半径は1.5cmよりちょうど正方形の中に入るには，円板の中心が1辺5cmの正方形の中にあればよい．したがって，その確率は

$\displaystyle \frac{1辺5cmの正方形の面積}{1辺8cmの正方形の面積} = \frac{25}{64} $

(b) A = 「円板が正方形の辺にかかる」の余事象は$\bar{A}$ = 「円板が正方形の中にある」となる．したがって，その確率は

$\displaystyle 1 - \frac{1辺5cmの正方形の面積}{1辺8cmの正方形の面積} = \frac{39}{64} $

(c) 円板が4つの正方形にまたがるには，その中心が4つの正方形の境界から1.5cm以内になければならない．また，その面積は $\pi (1.5)^2$．したがって，円板が4つの正方形にまたがる確率は

$\displaystyle \frac{\pi (1.5)^2}{64} $

5.

(a) 白玉4個，赤玉6個，合わせて10個の中から2個を取り出す組み合わせは $ {}_{10} C_{2}$通り．白玉2個を袋の中から取り出す組み合わせを考えてみましょう．

袋の中の4個の白玉から2個を取り出すしかないので，その組み合わせは ${}_4 C_{2}$通り．したがって，取り出した2個が両方白玉の確率は

$\displaystyle \frac{{}_4 C_{2}}{{}_{10} C_{2}} = \frac{\frac{4!}{2! 2!}}{\frac{10!}{8! 2!}} = \frac{4 \cdot 3}{10 \cdot 9} = \frac{2}{15} $

(b) 1個だけ白玉ということは4個の白玉から1個取り出し，6個の赤玉から1個取り出す場合の数なので， ${}_4 C_{1} \times {}_6 C_{1}$．よってその確率は

$\displaystyle \frac{{}_4 C_{1} \times {}_6 C_{1}}{{}_{10} C_{2}} = \frac{4 \times 6}{45} = \frac{8}{15} $

(c) 少なくとも1個は白玉という事象は，2個とも白玉であるか，または1個だけ白玉であるかのどちらかです．ここで，これらの事象は排反事象(同時に起きない)であることに注意すると，全部で， ${}_4 C_{2} + {}_4 C_{1} \times {}_6 C_{1}$通り．したがって，求める確率は

$\displaystyle \frac{{}_4 C_{2} + {}_4 C_{1} \times {}_6 C_{1}}{{}_{10} C_{2}} = \frac{2}{15} + \frac{8}{15} = \frac{2}{3} $

3. 1.

(a) 4回投げて少なくとも1回6の目がでるという事象$A$の余事象 $\overline A$は，4回投げて一度も6の目がでないとなります．ここで，それぞれの回に6の目がでない確率は $\displaystyle{\frac{5}{6}}$に注意すると，

$\displaystyle P_{r}(\overline A) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 $

となるので，これより，

$\displaystyle P_{r}(A) = 1 - P_{r}(\overline A) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{671}{1296} $

(b) 2個のさいころを同時に24回投げて少なくとも1回2個とも6の目がでるという事象$B$を考えます．まず，2個のさいころを同時に投げたとき，2個とも6の目がでる確率は $\displaystyle{\frac{1}{36}}$．

ここで，$B$の余事象 $\overline B$は，2個のさいころを同時に24回投げて一度も2個両方は6の目ではないとなります． したがって，

$\displaystyle P_{r}(\overline B) = \left(1 - \frac{1}{36}\right)^{24} = \left(\frac{35}{36}\right)^{24} $

これより

$\displaystyle P_{r}(B) = 1 - P_{r}(\overline B) = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} = 0.491 $

2 $A = $「真のガン患者」，$B = $「精密検査で陽性反応がでた患者」とおくと質問は，患者がその精密検査の結果陽性反応を示した場合にガン患者である確率を求めることです．これは条件付き確率を用いると次のように表わせます．

$\displaystyle P_{r}(A \vert B) $

また， $P_{r}(A) = 0.05$， $P_{r}(B \vert A) = 0.85$， $P_{r}(B \vert \overline A) = 0.05$が分っていることに注意します． ここで，Bayesの定理を用いると

$\displaystyle B = B \cap \Omega = B \cap (A \cup \overline A) = (B \cap A ) \cup (B \cap \overline A) $

より
$\displaystyle (1) P_{r}(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(B \cap A) + P_{r}(B \cap \overline A) = P_{r}(A)P_{r}(B\vert A) + P_{r}(\overline A)P_{r}(B\vert\overline A)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.05 \cdot 0.85 + 0.95 \cdot 0.05 = 0.9$  
$\displaystyle (2) P_{r}(A \vert B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{P_{r}(A \cap B)}{P_{r}(B)} = \frac{P_{r}(A) P_{r}(B\vert A)}{P_{R}(B)} = \frac{P_{r}(A) P_{r}(B\vert A)}{P_{R}(B)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{0.05 \cdot 0.85}{0.05 \cdot 0.85 + 0.95 \cdot 0.05} = \frac{0.425}{0.9} = 0.47$  

別解

図: Bayesの定理
\begin{figure}\begin{center} \includegraphics[width=6cm]{PROBFIG/prob3.eps} \end{center}\end{figure}

3.

(a)

$\displaystyle x \in \overline{A \cup B}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle x \not\in A \cup B$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle x \not\in A {\rm and} x \not\in B$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle x \in \overline A {\rm and} x \in \overline B$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle x \in \overline A \cap x \in \overline B$  

これより，

$\displaystyle \overline{A \cup B} = \overline A \cap \overline B $

したがって，

$\displaystyle P(\overline{A \cup B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})$

(b)

$\displaystyle x \in \overline{A \cap B}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle x \not\in A \cap B$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle x \not\in A {\rm or} x \not\in B$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle x \in \overline A {\rm or} x \in \overline B$  
  $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle x \in \overline A \cup x \in \overline B$  

これより，

$\displaystyle \overline{A \cap B} = \overline A \cup \overline B $

したがって，

$\displaystyle P(\overline{A \cap B}) = P(\overline{A} \cup \overline{B})$

(c) $B$と$C$が互いに排反ならば，$B \mid A$と$C \mid A$も互いに排反となるので，

$\displaystyle P((B \cup C) \mid A) = P(B \mid A \cup C \mid A) = P(B \mid A) + P(C \mid A) $

演習問題3.1

1. $X$を4児をもつ家庭の男児の数とすると，

$\displaystyle P(x = 0) = \binom{4}{0}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} $

$\displaystyle P(x = 1) = \binom{4}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{4}{16} $

$\displaystyle P(x = 2) = \binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{6}{16} $

$\displaystyle P(x = 3) = \binom{4}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{4}{16} $

$\displaystyle P(x = 4) = \binom{4}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} $

よってその確率分布$f$は

$\displaystyle f(i) = P(X = i) = \binom{4}{i}\left(\frac{1}{2}\right)^4$

で与えられる．

2. 10個から3個取り出す組み合わせは ${}_{10} C_{3} = 120$通り．また，3個中赤がゼロということは，白が3個と同じことなので，6個の白から3個取り出すこととなり，その組み合わせは ${}_6 C_{3} = 20$通り．よって，$X$を赤玉の個数とおくと，

$\displaystyle P_{r}(x = 0) = \frac{{}_6 C_{3}}{{}_{10} C_{3}} = \frac{6\cdot 5 \cdot 4}{10\cdot 9 \cdot 8} = \frac{1}{6} $

3個中1個赤ということは残りの2個は白なので

$\displaystyle P_{r}(X = 1) = \frac{{}_4 C_{1} \cdot {}_6 C_{2}}{{}_{10} C_{3}} ... ... 6 \cdot 5}{2\cdot 1}\cdot \frac{3\cdot2\cdot1}{10\cdot 9\cdot8} = \frac{1}{2} $

同様にして，

\begin{displaymath}\begin{array}{\vert c\vert cccc\vert} \hline X & 0 & 1 & 2 & ... ...frac{1}{2} & \frac{6}{20} & \frac{1}{30} \ \hline \end{array} \end{displaymath}

$\displaystyle P_{r}(1 \leq X \leq 3) = 1 - P_{r}(X = 0) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $

3.

(a) $f(x)$が確率密度関数であるためには，

  1. $f(x) \geq 0 (-\infty < x < \infty)$
  2. $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = 1$

を満たしていることを示せばよい． そこで，

1. 定数$k$を0以上とすれば $f(x) \geq 0$は満たされる．

2． $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = \int{a}^{b}kdx = kx\mid_{a}^{b} = k(b-a)$より $k = \frac{1}{b-a}$と定めればよい．

(b) $P(X \leq c) = F(c) = \int_{-\infty}^{c}f(x)dx$より

$\displaystyle P(X \leq c) = \int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{c}\frac{1}{b-a}dx = \frac{c-a}{b-a}$

となる．

(4)

(a) 分布関数$F(x)$は

$\displaystyle F(x) = P_{r}(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt $

で与えられることに注意します．

$x \leq 0$のとき

$\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{-\infty}^{x} 0 dt = 0$

$0 < x < 1$のとき
$\displaystyle F(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{-\infty}^{0} 0 dt + \int_{0}^{x} 6t(1-t)dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 + \left[3t^2 - 2t^3\right]_{0}^{x} = 3x^2 - 2x^3$  

$x > 1$のとき

$\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{-\infty}^{0} 0 dt + \int_{0}^{1} 6t(1-t) dt + \int_{1}^{x} 0 dt = 1 $

(b)

$\displaystyle P_{r}(X \leq 0.7)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(0 < X \leq 0.7) = F(0.7) - F(0) = \left[F(x)\right]_{0}^{0.7}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[3x^2 - 2x^3\right]_{0}^{0.7} = 3(0.7)^2 - 2(0.7)^3$  


$\displaystyle P_{r}(0.2 < X \leq 0.8)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[F(x)\right]_{0.2}^{0.8} = \left[3x^2 - 2x^3\right]_{0.2}^{0.8}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 3(0.8)^2 - 2(0.8)^3 - (3(0.2)^2 - 2(0.2)^3)$  

4.

(a)

$f(x) \geq 0$ と $\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = 1$を示せばよいでしょう．

1. $f(x) = e^{-x}$は指数関数より全ての$x$で$f(x) > 0$.

2.

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{0}f(x) dx + \int_{0}^{\infty}f(x) dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{0} 0 dx + \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[0 + -e^{-x} \right]_{0}^{\infty -} = 1$  

(b) $P_{r}(X \leq a) = 0.1$を満たす$a$を求めます．

$\displaystyle P_{r}(X \leq a) = P_{r}(X \leq 0) + P_{r}(0 \leq X \leq a) = \int_{0}^{a}e^{-x}dx = 1 - e^{-a} = 0.1 $

より $e^{-a} = 0.9$．したがって， $a = -\log{0.9}$

$\displaystyle P_{r}(X > b) = 1 - P_{r}(X \leq b) = 1 - (1 - e^{-b}) = e^{-b} $

より $P_{r}(X > b) = 0.05$を満たす$b$は

$\displaystyle b = - \log{0.05} $

演習問題3.2

(1) $W = XY$とおくと$W$の変域は

$\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,36\}$

である．また，確率分布$h(i)$は$P(W = i)$で与えれることに注意する． まず，$h(1)$を考えてみよう． $h(1) = P(W = 1)$より，2個のサイコロを投げて両方1の目が出る確率を求めることと同じである．場合の数を求めると，両方1の目の組み合わせは36通り中の1通り．したがって $P(W = 1) = \frac{1}{36}$．同様に， $W = 2,3,4,\ldots,36$について求めると

\begin{displaymath}\begin{array}{l\vert l\vert l\vert l\vert l\vert l\vert l\ver... ...c{33}{36}&\frac{35}{36}&\frac{36}{36}\ \hline \par \end{array}\end{displaymath}

(2) (a) $W = X + Y + Z$とおくと$W$の変域は $\{0,1,2,3\}$である．確率分布$h(i)$は$P(W = i)$で与えられる． まず，$h(0)$を考えてみよう． $h(0) = P(W = 0)$より，3枚銅貨を投げて全て裏が出る確率を求めることと同じである．場合の数を求めると，全部裏の組み合わせは8通り中の1通り．したがって $P(W = 0) = \frac{1}{8}$．同様に，$W = 1,2,3$について求めると

\begin{displaymath}\begin{array}{l} h(0) = P(W = 0) = {3 \choose 0}(\frac{1}{2})... ...) = {3 \choose 3}(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}\\ \end{array}\end{displaymath}

となる． (b) 分布関数$H(i)$を求める． $H(i) = P(W \leq i)$のことなので，

\begin{displaymath}\begin{array}{l} H(0) = P(W \leq 0) = \frac{1}{8}\\ H(1) = P... ...8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = 1\\ \end{array}\end{displaymath}

演習問題3.3

(1)

(a)

$\displaystyle 1 - \vert x\vert = \left\{\begin{array}{cl} 1 + x & -1 < x < 0\\ 1 - x & 0 < x < 1 \end{array} \right. $

より $f(x) \geq 0$．また
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{-1} 0dt + \int_{-1}^{0} (1 + t)dt + \int_{0}^{1} (1-t)dt + \int_{1}^{\infty} 0 dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[t + \frac{t^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[t - \frac{t^2}{2}\right]_{0}^{1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -(-1 + \frac{1}{2}) + 1 - \frac{1}{2} = 1$  

別解 $f(x) \geq 0$より， $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$は$f(x)$と$x$軸の間の面積と考えられる．したがって，求める面積は底辺2高さ1の三角形の面積より1．

(b)

$x < -1$のとき

$\displaystyle F(x) = P_{r}(X \leq x) = \int_{-\infty}^{0} 0dt = 0 $

$-1 < x < 0$のとき
$\displaystyle F(x) = P_{r}(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt $ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{-1} 0dt + \int_{-1}^{x} (1 + t)dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[t + \frac{t^2}{2}\right]_{-1}^{x}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle x + \frac{x^2}{2} -(-1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(x+1)^2$  

$0 < x < 1$のとき，
$\displaystyle F(x) = P_{r}(X \leq x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{-1} 0dt + \int_{-1}^{0} (1 + t)dt + \int_{0}^{x} (1-t)dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[t + \frac{t^2}{2}\right]_{-1}^{0} + \left[t - \frac{t^2}{2}\right]_{0}^{x}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -(-1 + \frac{1}{2}) + x - \frac{x^2}{2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{2}(2 - x)$  

(c)

$\displaystyle P_{r}(-\frac{1}{2} < X < \frac{1}{2}) = F(\frac{1}{2}) - F(-\frac... ...}{2} + \frac{1}{4}(2 - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} $

(d)

$\displaystyle E(X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{-1} 0dx + \int_{-1}^{0}x(1+x)dx + \int_{0}^{1}x(1-x)dx + \int_{1}^{\infty} 0dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = 0$  


$\displaystyle E(X^2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{-1} 0dx + \int_{-1}^{0}x^2(1+x)dx + \int_{0}^{1}x^2(1-x)dx + \int_{1}^{\infty} 0dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4}\right]_{-1}^{0} + \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -(-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$  

これより

$\displaystyle V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = \frac{1}{6} $

2.

(a) 1の目が出る回数を$X$とすると，

$\displaystyle P_{r}(X = 0) = \binom{3}{0}\left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$

$\displaystyle P_{r}(X = 1) = \binom{3}{1}\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)^{2} = \frac{25}{72} $

$\displaystyle P_{r}(X = 2) = \binom{3}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right) = \frac{5}{72} $

$\displaystyle P_{r}(X = 3) = \binom{3}{3}\left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216} $

別解 この試行はベルヌーイ試行である．つまり，

事象「1の目がでる」が発生するか否かを問う
この事象の発生はそれぞれの試行において独立である
この事象の発生は各試行において一定である

ベルヌーイ試行を$n$回行なったとき，事象の発生回数$X$を$i$，事象の発生確率を$p$とすると

$\displaystyle P_{r}(X = i) = \binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}$

となり，$X$は2項分布に従うといい， $X \sim B(n,p)$と表わします．このとき，

$\displaystyle E(X) = np, V(X) = np(1-p) $

が知られています．

(b)

$\displaystyle E(X) = \sum_{i=0}^{n} i \cdot P_{r}(X = i) = 0\cdot \frac{125}{21... ...dot \frac{25}{72} + 2 \cdot \frac{5}{72} + 3 \cdot \frac{1}{216} = \frac{1}{2} $

$\displaystyle E(X^2) = \sum_{i=0}^{n} i^2 \cdot P_{r}(X = i) = 0\cdot \frac{125... ...\frac{25}{72} + 2^2 \cdot \frac{5}{72} + 3^2 \cdot \frac{1}{216} = \frac{2}{3} $

$\displaystyle V(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2 = \frac{2}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{12} $

したがって，

$\displaystyle D(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{5}{12}} $

別解

$\displaystyle E(X) = 3\cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}, V(X) = 3\cdot\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{12} $

(c) $X$の標準化とは平均$\mu$を0に分散$\sigma^2$を1に変えることである．そこで$X$の標準化は

$\displaystyle Z = \frac{X - \mu}{\sqrt{\sigma^2}} = \frac{X - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{6}}} $

次に$Z$の確率分布を求めてみよう．

$\displaystyle P_{r}(X = 0) = P_{r}\left(\frac{X - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{1... ...0 - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{12}}}\right) = P_{r}(Z = - \sqrt{\frac{3}{5}}) $

より

$\displaystyle P_{r}(Z = - \sqrt{\frac{3}{5}}) = P_{r}(X = 0) = \frac{125}{216} $

$\displaystyle P_{r}(X = 1) = P_{r}\left(\frac{X - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{1... ...c{1 - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{12}}}\right) = P_{r}(Z = \sqrt{\frac{3}{5}}) $

より

$\displaystyle P_{r}(Z = \sqrt{\frac{3}{5}}) = P_{r}(X = 0) = \frac{25}{72} $

$\displaystyle P_{r}(X = 2) = P_{r}\left(\frac{X - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{1... ...{2 - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{12}}}\right) = P_{r}(Z = \frac{3\sqrt{3}}{5}) $

より

$\displaystyle P_{r}(Z = \frac{3\sqrt{3}}{5}) = P_{r}(X = 0) = \sqrt{\frac{25}{72}} $

$\displaystyle P_{r}(X = 3) = P_{r}\left(\frac{X - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{1... ...{3 - \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{12}}}\right) = P_{r}(Z = \frac{5\sqrt{3}}{5}) $

より

$\displaystyle P_{r}(Z = \frac{5\sqrt{3}}{5}) = P_{r}(X = 0) = \sqrt{\frac{1}{216}} $

3

(a) Bernoulliの定理は試行回数が$n$，事象発生回数が$r$，事象発生確率が$p$のとき

$\displaystyle P_{r}(\vert\frac{r}{n} - p\vert \leq \varepsilon) \geq 1 - \frac{p(1-p)}{n \varepsilon^2} $

が成り立つといっているので，

$\displaystyle P_{r}(\vert\frac{r}{1000} - \frac{1}{2}\vert \leq \frac{1}{10}) \geq 1 - \frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})}{1000 (\frac{1}{10})^2} = \frac{39}{40}$

(b)

$\displaystyle P_{r}(\vert\frac{r}{1000} - \frac{1}{4}\vert \leq \frac{1}{10}) \geq 1 - \frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{4})}{1000 (\frac{1}{10})^2} = \frac{3}{160}$

(c) この問題は試行回数が2000のとき，事象発生回数$r$の偏りが50回以内である確率を求めよということである．言い換えると，2000回中の表が現われる割合 $\frac{r}{2000}$と理論的確率 $p = \frac{1}{2}$との誤差が $\frac{50}{1000}$である確率を求めよということになる．そこでBernoulliの定理を用いると

$\displaystyle P(\vert\frac{r}{n} - p\vert \leq \varepsilon) \geq 1 - \frac{p(1-p)}{n \varepsilon^2} $

より
$\displaystyle P(\vert\frac{r}{2000} - \frac{1}{2}\vert < \frac{50}{1000})$ $\displaystyle \geq$ $\displaystyle 1 - \frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})}{2000 (\frac{1}{20})^2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - \frac{\frac{1}{4}}{5} = 1 - 0.05 = 0.95$  

(d) この問題はn回中の表が現われる割合 $\frac{r}{n}$と理論的確率 $p = \frac{1}{2}$との誤差が$0.05\%$である確率が$99\%$以上になるには何回以上投げればよいかということを聞いている．そこでBernoulliの定理を用いると

$\displaystyle P(\vert\frac{r}{n} - p\vert \leq \varepsilon) \geq 1 - \frac{p(1-p)}{n \varepsilon^2} $

より $1 - \frac{p(1-p)}{n \varepsilon^2} \geq 0.99$である$n$を求めればよい．
$\displaystyle 1 - \frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})}{n (0.05)^2}$ $\displaystyle \geq$ $\displaystyle 0.99 \Rightarrow \frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})}{n (0.05)^2} \leq 0.01 \Rightarrow$  
$\displaystyle n$ $\displaystyle \geq$ $\displaystyle \frac{1}{4(0.05)^2 0.01} = 10000$  

演習問題3.4

1.

(a) $W = X + Y + Z$とおくと$W$の変域は $\{0,1,2,3\}$である．確率分布$h(i)$は$P(W = i)$で与えれれる． まず，$h(0)$を考えてみよう． $h(0) = P(W = 0)$より，3枚銅貨を投げて全て裏が出る確率を求めることと同じである．場合の数を求めると，全部裏の組み合わせは8通り中の1通り．したがって $P(W = 0) = \frac{1}{8}$．同様に，$W = 1,2,3$について求めると

\begin{displaymath}\begin{array}{l} h(0) = P(W = 0) = {3 \choose 0}(\frac{1}{2})... ...) = {3 \choose 3}(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}\\ \end{array}\end{displaymath}

となる．次に分布関数$H(i)$を求める． $H(i) = P(W \leq i)$のことなので，

\begin{displaymath}\begin{array}{l} H(0) = P(W \leq 0) = \frac{1}{8}\\ H(1) = P... ...8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = 1\\ \end{array}\end{displaymath}

(b) $W$の平均値は$E(W)$は

$\displaystyle E(W) = E(x + Y +Z) = E(X) + E(Y) + E(Z) $

で与えられることに注意すればすぐに求まる．

$\displaystyle E(X) = 0\cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\displaystyle E(Y) = 0\cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\displaystyle E(Z) = 0\cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

より

$\displaystyle E(W) = \frac{3}{2}$

別解 $W$の確率分布が分かっているので，直接求めることも可能である．

$\displaystyle E(W) = 0\cdot\frac{1}{8} + 1\cdot \frac{3}{8} + 2\cdot \frac{3}{8} + 3\cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{2} $

次に$W$の分散$V(W)$を求める．一般に $V(W) = E(W^2) - (E(W))^2$を用いて求める方が簡単であるが，この問題では$W$の確率分布が分かっているので直接求める方が簡単である． $E(X) = \frac{3}{2}$より

$\displaystyle V(W) = \{(0 - \frac{3}{2})^2 \frac{1}{8} + (1 - \frac{3}{2})^2 \f... ...(2 - \frac{3}{2})^2 \frac{3}{8} + (3 - \frac{3}{2})^2 \frac{1}{8} = \frac{3}{4}$

2.

(a) $Y$の確率密度関数$g(x)$を求めるには$Y$の分布関数$G(y)$について調べ， $g(y) = G'(y)$の関係を用いる．

$X$の分布関数$F(x)$は $F(x) = P(X \leq x)$，$Y$の分布関数$G(y)$は $G(y) = P(Y \leq y)$で与えられるので，

$\displaystyle G(y) = P(Y \leq y) = P(2X+3 \leq y) = P(X \leq \frac{y - 3}{2}) = F(\frac{y-3}{2})$

を得る． 次に，$X$の確率密度関数は $f(x) = 2x (0 \leq x < 1)$で与えられていることに注意すると，$Y$の確率密度関数$g(y)$は，

$\displaystyle g(y) = G'(y) = F'(\frac{y-3}{2})\frac{1}{2} = \frac{1}{2}f(\frac{y-3}{2}) = \frac{y-3}{2}$

となる．

$Y$の期待値 $E(Y) = E(2X + 3) = 2E(X) + E(3) = 2E(X) + 3$より$E(Y)$を求めるには，$E(X)$を求めればよいことが分かる． $\displaystyle{E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x) dx }$で与えられるので，

$\displaystyle E(X) = \int_{0}^{1}x(2x) dx = \int_{0}^{1}2x^2 dx = \frac{2}{3}x^3\mid_{0}^{1} = \frac{2}{3} $

したがって， $E(Y) = E(2X + 3) = 2E(X) + 3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3}$

注 : $Y$の確率密度関数を求めたので，直接$E(Y)$を $E(Y) = \int_{0}^{1}\frac{y-3}{2}dy$で求めることもできる．

最後に$Y$の分散を求める．ここで $V(2X+3) = V(2X),V(2X) = 2^{2}V(X),V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 $に注意すると $V(Y)$を求めるには$E(X^2)$を求めればよいことが分かる．

$\displaystyle E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)dx = \int_{0}^{1}2x^3 dx = \frac{1}{2}x^4 \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2} $

より

$\displaystyle V(Y) = V(2X+3) = 4V(X) = 4[E(X^2) - (E(X))^2] = 4[\frac{1}{2} - (\frac{2}{3})^2] = \frac{2}{9}$

(b) $Z$の確率密度関数$h(z)$を求めるには$Z$の分布関数$H(z)$について調べ， $h(z) = H'(z)$の関係を用いる．

$X$の分布関数$F(x)$は $F(x) = P(X \leq x)$，$Z$の分布関数$H(z)$は $H(z) = P(Z \leq z)$で与えられるので，

$\displaystyle H(z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(Z \leq z) = P(X^2 \leq z) = P(\vert X\vert \leq \sqrt{z}) = P(X \leq \sqrt{z}) - P(X \leq -\sqrt{z})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle F(\sqrt{z}) - F(-\sqrt{z})$  

を得る． これより$Z$の確率密度関数$h(z)$は，

$\displaystyle h(z) = H'(z) = F'(\sqrt{z})(\sqrt{z})' - F'(-\sqrt{z})(-\sqrt{z})' = \frac{1}{2\sqrt{z}}(f(\sqrt{z}) + f(-\sqrt{z}))$

となる．ここで

$\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 2x & (0 \leq x < 1)\\ 0 & (その他) \end{array}\right.$

より $f(\sqrt{z}) = 2\sqrt{z},f(-\sqrt{z}) = 0 $．したがって， $h(z) = \frac{1}{2\sqrt{z}}2\sqrt{z} = 1$．

次に期待値を求める．

$\displaystyle{E(X) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x) dx }$で与えられるので，

$\displaystyle E(Z) = E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)dx = \int_{0}^{1}2x^3 dx = \frac{1}{2}x^4 \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2} $

最後に$Z$の分散を求める．

$\displaystyle V(Z) = V(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)dx = \int_{0}^{1}2x^3 dx = \frac{1}{2}x^4 \mid_{0}^{1} = \frac{1}{2} $

より

$\displaystyle V(Y) = V(2X+3) = 4V(X) = 4[E(X^2) - (E(X))^2] = 4[\frac{1}{2} - (\frac{2}{3})^2] = \frac{2}{9}$

3.

(a) $W = XY$とおくと，$X，Y$は独立である．したがって，その期待値は

$\displaystyle E(W) = E(XY) = E(X)E(Y)$

で求まる．$X$は1つのさいころを投げたとき出る目の値であるから，その期待値$E(X)$は

$\displaystyle E(X) = 1\cdot\frac{1}{6} + 2\cdot\frac{1}{6} + 3\cdot\frac{1}{6} ... ...frac{1}{6} + 5\cdot\frac{1}{6} + 6\cdot\frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

同様に， $E(Y) = \frac{7}{2}$となるので，求める期待値$E(W)$は $E(W) = (\frac{7}{2})^2$となる．

(b) $W = XY$とおくと，その分散は

$\displaystyle V(W) = E(W^2) - (E(W))^2 = E((XY)^2) - (\frac{7}{2})^4$

となるので，$E((XY)^2)$を求めればよい．ここで$X,Y$は独立であることに注意すると

$\displaystyle E((XY)^2) = E(X^2 Y^2) = E(X^2)E(Y^2)$

さらに

$\displaystyle E(X^2) = 1\cdot\frac{1}{6} + 2^{2}\frac{1}{6} + 3^{2}\frac{1}{6} + 4^{2}\frac{1}{6} + 5^{2}\frac{1}{6} + 6^{2}\frac{1}{6}$

ここで

$\displaystyle 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdot + n^2 = \frac{1}{6}(n(n+1)(2n+1) $

を用いると

$\displaystyle E(X^2) = \frac{1}{6}\frac{1}{6}(6(7)(13)) = \frac{91}{6} $

同様に $E(Y^2) = \frac{91}{6}$となるので，求める$V(W)$は

$\displaystyle V(W) = E((XY)^2) - (\frac{7}{2})^4 = (\frac{91}{6})^2 - (\frac{7}{2})^4 = \frac{11515}{144} $

となる．

演習問題4.1

1. $p_{r} = P(X = r) = \binom{8}{r}(0.4)^{r}(0.6)^{1-r}$より

\begin{displaymath}\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert... ....2322 & 0.1239 & 0.0413 & 0.0079 & 0.0007 \ \hline \end{array}\end{displaymath}

$p_{r} = P(X = r) = \binom{8}{r}(0.2)^{r}(0.8)^{1-r}$より

\begin{displaymath}\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert... ...2 & 0.0011 & 0.0001 & 2.56 \times 10^{-6} \ \hline \end{array}\end{displaymath}

2. プラモデルを取り出す試行はベルヌーイ試行． $X$を部品がかけているプラモデルのセットの数とすると， $X \sim B(3，\frac{2}{25})$．よって，選んだ３セットが全て完全なセットである確率は

$\displaystyle P(X = 0) = \binom{3}{0}(\frac{2}{25})^{0}(1 - \frac{2}{25})^{3} = 0.7789$

3. $X$を注射のあと一定期間生存できずに死亡するねずみの数とすると， $X \sim B(8,0.4)$となり，Iで求めた確率分布が使える．

(a) ８匹全部が一定期間生存する確率は

$\displaystyle P(X = 0) = \binom{8}{0}(0.4)^{0}(0.6)^{8} = 0.0168$

(b) $r$を95%以上の確率で生存できないねずみの数となるとすると，$X$の分布関数$F(x)$は

$\displaystyle F(r) = P(X \leq r)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k \leq r} r\binom{8}{k}(0.4)^{k}(0.6)^{8-k} \geq 0.95$  

を満たす．ここで，Iの確率分布を用いると $P(X = 0) = 0.168, P(X=1) = 0.0896$より，$r = 1$となり，$95\%$で生存できるねずみの数は７匹以上となる．

演習問題4.2

1. $X$を1日における交通事故の数とすると，交通事故という事象は，ポワソン過程である。よって，一日での事象の平均発生回数$\lambda$は0.8となる。

(a) 死亡者0の日とは， $P_{r}(X = 0)$を求めることになる。よって，

$\displaystyle P_{r}(X = 0) = \frac{0.8^{0}}{0!}e^{-0.8} = 0.4493$

死亡者6名以上の日とは， $P_{r}(X \geq 6)$を求めることになる。よって，

$\displaystyle P_{r}(X \geq 6) = 1 - P_{r}(X \leq 5)$


$\displaystyle P_{r}(X = 0)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{0.8^{0}}{0!}e^{-0.8} = 0.4493$  
$\displaystyle P_{r}(X = 1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{0.8^{1}}{1!}e^{-0.8} = 0.3595$  
$\displaystyle P_{r}(X = 2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{0.8^{2}}{2!}e^{-0.8} = 0.1438$  
$\displaystyle P_{r}(X = 3)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{0.8^{3}}{3!}e^{-0.8} = 0.0383$  
$\displaystyle P_{r}(X = 4)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{0.8^{4}}{4!}e^{-0.8} = 0.0077$  
$\displaystyle P_{r}(X = 5)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{0.8^{5}}{5!}e^{-0.8} = 0.0012$  

これより，

$\displaystyle P_{r}(X \geq 6) = 1 - 0.9998 = 0.0002$

2. $X$を放射性物質から1秒間に放出される粒子の数とすると，粒子の放出はポワソン過程である。よって，一秒間での事象の平均発生回数$\lambda$は３となる。これより， 一秒間に0個の粒子が放出される確率は

$\displaystyle P_{r}(X = 0) = \frac{3^{0}}{0!}e^{-3} = 0.0498$

同様に，
$\displaystyle P_{r}(X = 1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{3^{1}}{1!}e^{-3} = 0.1494$  
$\displaystyle P_{r}(X = 2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{3^{2}}{2!}e^{-3} = 0.2240$  
$\displaystyle P_{r}(X = 3)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{3^{3}}{3!}e^{-3} = 0.2240$  
$\displaystyle P_{r}(X = 4)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{3^{4}}{4!}e^{-3} = 0.1680$  
$\displaystyle P_{r}(X = 5)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{3^{5}}{5!}e^{-3} = 0.1008$  
$\displaystyle P_{r}(X = 6)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{3^{6}}{6!}e^{-3} = 0.0504$  

最後に，1秒間に少なくとも1個の粒子の放出は， $P_{r}(X \geq 1)$で与えられ，

$\displaystyle P_{r}(X \geq 1) = 1 - P_{r}(X < 1) = 1 - P_{r}(X = 0) = 1 - 0.4493 = 0.5407$

3. $X$をテープの傷の数とおくと，300m中の傷の数の平均は6となり $X \sim P_{o}{6}$．よって300mの長さのテープ一巻中に傷が全くない確率は

$\displaystyle P_{r}(X = 0) = e^{-6}\frac{6^{0}}{0!} = e^{-6} = 0.0025 . $

演習問題4.3

1. $X \sim N(170,10^2)$より， $Z = \frac{X - 170}{10}$とおくと， $Z \sim N(0,1)$となる。

(a)

$\displaystyle P_{r}(X \leq 160)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(\frac{X - 170}{10} \leq \frac{160 - 170}{10}) = P_{r}(Z \leq -1)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.5 - P_{r}(0 \leq Z \leq 1) = 0.5 - 0.3413 = 0.1587$  

(b)

$\displaystyle P_{r}(160 \leq X \leq 175)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(\frac{160 - 170}{10} \leq \frac{X - 170}{10} \leq \frac{175 - 170}{10})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(-1 \leq Z \leq 0.5) = P_{r}(-1 \leq Z \leq 0) + P_{r}(0 \leq Z \leq 0.5)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.3413 + 0.1915 = 0.5328$  

2.

(a) $P_{r}(\vert Z\vert > \lambda) = 0.05$を満たす$\lambda$を求める。標準正規分布表により， $P_{r}(0 \leq Z \leq z)$の値が与えられている。そこで，

$\displaystyle P_{r}(\vert Z\vert > \lambda) = 1 - P_{r}(\vert Z\vert \leq \lambda)$

と書き直すと，

$\displaystyle P_{r}(0 \leq Z \leq \lambda) = \frac{1}{2}(1 - P_{r}(\vert Z\vert > \lambda)) = 0.225$

これより， $\lambda = 1.645$を得る。

(b) $P_{r}(\vert Z\vert > \lambda) = 0.05$を満たす$\lambda$を求める。標準正規分布表により， $P_{r}(0 \leq Z \leq z)$の値が与えられている。そこで，

$\displaystyle P_{r}(Z > \lambda) = 0.5 - P_{r}(0 \leq Z \leq \lambda)$

と書き直すと，

$\displaystyle P_{r}(0 \leq Z \leq \lambda) = 0.5 - P_{r}(Z > \lambda) = 0.45$

これより， $\lambda = 0.595$を得る。

3.

(a) 平均$168.9$, 分散$5.6^{2}$より正規化すると，

$\displaystyle Z = \frac{X - 168.9}{5.6}$

次に，標準正規分布表より，

$\displaystyle P_{r}(0 \leq Z \leq z) = 0.1, P_{r}(0 \leq Z \leq z) = 0.2, \ldots, P_{r}(0 \leq Z \leq z) = 0.5$

を満たす$z$を求めると，
$\displaystyle P_{r}(0 \leq Z \leq 0.255)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.1$  
$\displaystyle P_{r}(0 \leq Z \leq 0.525)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.2$  
$\displaystyle P_{r}(0 \leq Z \leq 0.845)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.3$  
$\displaystyle P_{r}(0 \leq Z \leq 1.281)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.4$  
$\displaystyle P_{r}(0 \leq Z \leq 3.4)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0.5$  

となる。これより，総数を10等分するには，$Z$の値を次のように分ければよい。

$-3.4 \sim -1.281 \sim -0.845 \sim -0.525 \sim -0.255 \sim 0 \sim 0.255 \sim 0.525 \sim 0.845 \sim 1.281 \sim 3.4$

(b) 120名の平均身長を$\bar{X}$とすると，中心極限定理より

$\displaystyle \bar{X} \sim N(168.9, \frac{5.6^{2}}{120})$

ここで，身長の平均が168.9cmより1.3cm以上かたよる確率は

$\displaystyle P_{r}(\vert\bar{X} - 168.9\vert \geq 1.3) = 1 - 2P_{r}(0 \leq \bar{X} - 168.9 < 1.3)$

で求まる。ここで，
$\displaystyle P_{r}(0 \leq \bar{X} - 168.9 < 1.3)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(0 \leq \frac{\bar{X} - 168.9}{5.6/\sqrt{120}} \leq \frac{1.3}{5.6/\sqrt{120}})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(0 \leq Z \leq 2.543) = 0.4945$  

より，

$\displaystyle P_{r}(\vert\bar{X} - 168.9\vert \geq 1.3) = 1 - 2(0.4945) = 0.011$

4.

(a) $X \sim B(100,0.02)$より，期待値 $E(X) = np = 2$となり，ポワソン分布で近似できる。 $X \sim P_{o}(\lambda)$， $\lambda = E(X) = 2$より，

$\displaystyle P_{r}(X \geq 2)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - P_{r}(X < 2) = 1 - P_{r}(X = 0) - P_{r}(X = 1)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - P_{o}(0) - P_{o}(1) = 1 - \frac{2^{0}}{0!}e^{-2} - \frac{2^{1}}{1}e^{-2}= 0.594$  

(b) $X \sim B(100, 0.2)$より，期待値 $E(X) = np = 20$となり，正規分布で近似できる。 $\mu = E(X) = np = 20, \sigma^{2} = V(X) = np(1-p) = 16$より， $X \sim N(20,4^{2})$。これより

$\displaystyle P_{r}(X \geq 25)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - P_{r}(0 \leq X < 25) = 1 - P_{r}(0 \leq \frac{X - 20}{4} < \frac{25-20}{4} )$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - P_{r}(0 \leq Z < 1.25) = 1 - 0.3944 = 0.6056$  

(c) $X$を1の目の出る回数とすると， $X \sim B(600,1/6)$の2項分布に従う。そこで，1の目の出る回数$S$が90回以上100回以下である確率を求めると

$\displaystyle P_{r}(90 \leq X \leq 100) = P_{r}(X = 90) + P_{r}(X = 91) + \cdots + P_{r}(X = 100)$

で求まるが， $\mu = E(X) = np = 100$, $\sigma^{2} = V(X) = npq = 500/6$より， $X \sim N(100, 500/6)$の正規分布で近似できることが分かる。正規分布を用いると
$\displaystyle P_{r}(90 \leq X \leq 100)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(\frac{90 - 100}{\sqrt{500/6}} \leq Z \leq 0)= P_{r}(0 \leq Z \leq \sqrt{1.2})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(0 \leq Z \leq 1.095) = 0.3621$  

(d) $X$を表の目の出る回数とすると， $X \sim B(100, 1/2)$の2項分布に従う。そこで，表の出る回数が40以上60以下の確率を求めると

$\displaystyle P_{r}(40 \leq X leq 60) = P_{r}(X = 40) + P_{r}(X = 41) + \cdots + P_{r}(X = 60)$

で求まるが， $\mu = E(X) = np = 50$, $\sigma^{2} = V(X) = npq = 25$より， $X \sim N(50, 5^{2})$の正規分布で近似できることが分かる。正規分布を用いると
$\displaystyle P_{r}(40 \leq X \leq 60)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(\frac{40 - 50}{5} \leq Z \leq \frac{60 - 50}{5})= 2P_{r}(0 \leq Z \leq 2)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(.4772) = 0.9544$  

演習問題4.4

1.

(a)

$\displaystyle \eta(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E(t^X) = \sum_{k=0}^{\infty}t^{k}P(X=k)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}t^{k}(1-p)^{k}p$  

より，両辺を$t$について微分すると，

$\displaystyle \eta'(t) = \sum_{k=1}^{\infty}kt^{k-1}(1-p)^{k}p$

ここで，$t=0$とおくと

$\displaystyle \eta'(0) = E(X) = \sum_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k}p = p\sum_{k=1}^{\infty}kq^{k}$

ちょっと，難しいが $S = \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k}$とおき， $S - qS = S(1-q) = Sp$を求めると，
$\displaystyle Sp$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S - qS = \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k} - \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k+1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}q^{k} = \frac{q}{1-q} = \frac{q}{p}$  

となる。これより， $S = \frac{q}{p^{2}}$となり，

$\displaystyle E(X) = p \frac{q}{p^{2}} = \frac{q}{p}$

(b) $X$をはじめて勝つ直前までの試合回数とおくと， $X \sim G_{e}(0.3)$．よってはじめて勝つまでの平均試合数は$E(X) + 1$より

$\displaystyle E(X) + 1 = \frac{q}{p} + 1 = \frac{0.7}{0.3} + 1 = 3.33 . $

演習問題4.5

1. $X$を当たりくじの数とおくと， $X \sim H_{g}(10,4,3)$．よって3本くじを引いて，そのうち2本が当たる確率は

$\displaystyle P_{r}(X = 2) = \frac{{4 \choose 2}{6 \choose 1}}{{10 \choose 3}} = \frac{3}{10} $

演習問題4.6

II.

(a) $X$を通話時間とおくと， $ x \sim E_{x}(\lambda)$．また $ E(X) = 1/\lambda$より $ \lambda = 1/3$となるので $ X \sim E_{x}(1/3)$．よって通話が4分以内に終わる確率は

$\displaystyle P_{r}(0 \leq X \leq 4) = \int_{0}^{4}\lambda e^{-\lambda x}dx = \int_{0}^{4}\frac{1}{3}e^{ - x/3}dx = 1 - e^{4/3} . $

(b) その人が通話をはじめてから2分が経過しているとき，その後4分以内に終わる確率は

    $\displaystyle P_{r}(2 \leq X \leq 6 \vert X \geq 2) = \frac{P_{r}(2 \leq X \leq 6 , X \geq 2)}{P_{r}(X \geq 2)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\int_{2}^{6}\frac{1}{3}e^{-x/3} dx}{\int_{2}^{\infty}\frac{1}{3}e^{-x/3} dx} = \frac{e^{-2/3} - e^{-2}}{e^{-2/3}} = 1 - e^{-4/3} .$  

演習問題4.7

I. $f(x)$が密度関数になるには，

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = 1$

を満たす必要がある．

(a)

$\displaystyle \int_{\infty}^{\infty}f(x)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{-\infty}^{1}f(x)dx + \int_{1}^{3}f(x)dx + \int_{3}^{\infty}f(x)dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 + \int_{1}^{3}ce^{-1}\{-(x-2)^2 + 2\} dx + \int_{3}^{\infty}ce^{-(x-2)}dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle ce^{-1}\left[-\frac{1}{3}(x-2)^{3} + 2x \right]_{1}^{3} - \left[ce^{-(x-2)}\right]_{3}^{\infty}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle ce^{-1}(-\frac{1}{3} + 6 - (\frac{1}{3} + 2)) - ce^{-1}(0 - (-1))$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{13}{3}ce^{-1}$  

したがって， $ c = \frac{3e}{13}$.

(b) $ P(2.5 \leq X \leq 3.5) = \int_{2.5}^{3.5}f(x)\;dx$

2. $X_{1}$をA型の人の数，$X_{2}$をB型の人の数，$X_{3}$をAB型の人の数，$X_{1}$をO型の人の数とすると， ${\vec X} = (X_{1},X_{2}.X_{3}.X_{4}) \sim M(4, 0.35, 0.25, 0.1, 0.3)$．よって

$\displaystyle P_{r}(X_{1} = 1, X_{2} = 1, X_{3} = 1, X_{4} = 1) = \frac{4!}{1! 1! 1! 1!}(0.35)(0.25)(0.1)(0.3) = 0.063 . $

3. $X_{1}, X_{2}, X_{3}$を3人の通話時間とおくと， $X_{1} \sim E_{x}(\lambda) = \Gamma(1, 1/\lambda), X_{2} \sim E_{x}(\lambda) = \Gamma(1, 1/\lambda), X_{3} \sim E_{x}(\lambda) = \Gamma(1, 1/\lambda)$．ここで $X = X_{1} + X_{2} + X_{3}$とおくと$X$は3人の通話時間の合計を表わす．言い換えると待ち時間を表わし， $X \sim \Gamma(3, 1/\lambda)$．また $E(X_{1}) = 1/\lambda = 2$より $X \sim \Gamma(3, 2)$．よって10分以上待たなければならない確率は

$\displaystyle P_{r}(X \geq 10)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - P_{r}(0 \leq X \leq 10) = \int_{10}^{\infty} \frac{1}{ \Gamma(3) 2^{3}}x^2 e^{-x/2} dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - \frac{1}{16}\int_{0}^{10}x^2 e^{-x/2}dx = 1 - [-2x^2 e^{-x/2}\mid_{0}^{10} + 4\int_{0}^{10}xe^{-x/2}dx ]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - \frac{1}{16}[-200e^{-5} + 4(-2xe^{-x/2}\mid_{0}^{10} + 2\int_{0}^{10}e^{-x/2}dx)]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - \frac{1}{16}[-200e^{-5} -80e^{-5} - 16e^{-x/2}\mid_{0}^{10}]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - \frac{1}{16}[-296e^{-5} + 16] = \frac{296 e^{-5}}{16} = 0.1246$  

演習問題5.1

1. 正規母集団 $N(\mu, \sigma^{2})$から無作為で抽出した標本$X_{i}$は，母集団と同じ正規分布に従っていると考えられる。よって， $E(X_{i}) = \mu$である。これより，

$\displaystyle E(\bar{X}) = E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}) = \mu$

したがって，$\bar{X}$は母平均を推測するのに適当な統計量である。

次に， $S^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \bar{X})^{2}$と定義すると， $S^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} - \bar{X}^{2}$となる。

$\displaystyle E(S^{2})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle E(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} - \bar{X}^{2})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_{i}^{2}) - E(\bar{X}^{2})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[V(X_{i}) + (E(X_{i}))^{2}] - [V(\bar{X}) + (E(\bar{X}))^{2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sigma^{2} + \mu^{2} - \frac{1}{n}\sigma^{2} - \mu^{2}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n-1}{n}\sigma^{2}$  

より，$S^{2}$は母分散を推測するのに適当な統計量ではない。

演習問題5.2

1. $P_{r}(S^{2} \geq 1.5)$を求める。 $X_{i} \sim N(\mu,1)$より，

$\displaystyle Y = \sum_{i=1}^{20}(X_{i} - \bar{X})^{2} = 19S^{2}$

は自由度19の$\chi ^{2}$分布に従う。したがって，
$\displaystyle P_{r}(S^{2} \geq 1.5)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(19S^{2} \geq 28.5)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle P_{r}(\chi_{19}^{2} \geq 28.5)$  

ここで，$\chi ^{2}$分布表を用いると， $P_{r}(\chi_{19}^{2} > 27.20) = 0.10$で $P_{r}(\chi_{19}^{2} > 30.14) = 0.05$より，

$\displaystyle P_{r}(\chi_{19}^{2} \geq 28.5) = 0.05 + \frac{28.5-27.20}{30.14 - 27.20}(0.10 - 0.05) \approx 0.07$

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