行列の基本変形

演習問題2-4

1. $A = \left(\begin{array}{rrrr} 1&-2&3&-1\\ 2&-1&2&2\\ 3&0&2&3 \end{array}\right)$ と行対等な被約階段行列を求めよ．

2. 次の行列の階数を求めよ．

(a) $\left(\begin{array}{rrrr} 2&4&1&-2\\ -3&-6&2&-4 \end{array}\right)$

(b) $\left(\begin{array}{rrr} 2&-1&3\\ 1&2&-3\\ 3&-4&9 \end{array}\right)$

(c) $\left(\begin{array}{rrrr} 1&-2&3&-1\\ 2&-1&2&2\\ 3&0&2&3 \end{array}\right)$

3. $A = \left(\begin{array}{cc} 2&3\\ 3&4 \end{array}\right)$ に次のような行基本変形 $(I),(II),(III),(IV)$ を施した．

$$A = \!\! \left(\begin{array}{cc} \!\!2&\!\!3\\ \!\!3&\!\!4 \end{... ...el{IV}{\rightarrow} \!\! \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right)$$

$(I),(II),(III),(IV)$ の基本行列を求め, 単位行列 $I_{2}$ を $A$ と基本行列の積で表せ．

4. $A = \left(\begin{array}{rrr} 2&-3&1\\ 1&2&-3\\ 3&2&-1 \end{array}\right)$ は行についての基本変形だけで単位行列に変形できる．$PA = I$ を満たす行列の積 $P$ を求めよ．

5. 次のベクトルで張られる部分空間の次元を求めよ．

$${\bf v}_{1} = (2,-1,1,3), {\bf v}_{2} = (-1,1,0,1), {\bf v}_{3} = (4,-1,3,11), {\bf v}_{4} = (-2,3,1,1)$$