行列

演習問題2-2

1. $A = \left(\begin{array}{rr} 2&-3\\ 4&2 \end{array}\right), \ \ \ B = \left(\begin{array}{rr} -1&2\\ 3&0 \end{array}\right )$ について, 次の式を計算せよ．

(a) $A +B$ (b) $2A - 3B$ (c) $AB, BA$

2. $A = \left(\begin{array}{rrr} 3&1&7\\ 5&2&-4 \end{array}\right), \ \ \ B = \left(\begin{array}{rr} 2&-3\\ 3&6\\ 4&1 \end{array}\right )$ のとき, $AB, BA$ を求めよ．

3. $A = \left(\begin{array}{rrr} 2&3&0\\ 1&4&1\\ 2&0&1 \end{array}\right)$ のとき, $A^{2} - 5A + 6I$ を計算せよ．

4. $A$ と $B$ が $n$ 次の対称行列のとき, $A +B$ は対称行列であることを示せ．

5. $A$ と $B$ が $n$ 次の対称行列のとき, $AB$ はいつも対称行列か調べ, $AB$ がいつも対称行列になるための必要十分条件を求めよ．

6. $A$ が交代行列ならば, $A^{2}$ は対称行列であることを示せ．

7. 行列 $\left(\begin{array}{ccc} a_{1}&0&0\\ 0&a_{2}&0\\ 0&0&a_{3} \end{array}\right)$ との積が交換可能な行列をすべて求めよ．ただし, $a_{1},a_{2},a_{3}$ は相異なる実数とする．

8. 正方行列 $A$ は, 対称行列と交代行列の和として一意的に表せることを証明せよ．

9. $A = \left(\begin{array}{cc\vert c} 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 0\\ \hline -1 & 0 & ... ... 1 & 2 & 3 & -1\\ 3 & -1 & 1 & 0\\ \hline 0 & 0 & -3 & 1 \end{array}\right)$ の積を求めよ．