1次独立と1次従属

演習問題1-6

1. ${\bf A} = (1,2,-3), {\bf B} = (2,-1,1), {\bf C} = (4,2,2)$ について,

(a) ${\bf A}\times{\bf B}$ (b) ${\bf C}\times({\bf A}\times{\bf B})$ (c) ${\bf C}\cdot({\bf A}\times{\bf B})$ を求めよ．

2. 点(1,0,1)を通り, ${\bf i} + {\bf j} - {\bf k}$ と $2{\bf i} + 3{\bf j} + 2{\bf k}$ によって作られる平面に平行な平面を求めよ．

3. 2点 $(2,0,-1), \ (3,2,1)$ を通り平面 $x - 2y + 3z - 4 = 0$ に垂直な平面の方程式を求めよ．

4. ${\bf A} = {\bf i} + 3{\bf j} - {\bf k}, {\bf B} = 2{\bf i} + {\bf j} + {\bf k}$ を2辺とする三角形の面積を求めよ．

5. ${\bf F} = {\bf i} + 3{\bf j} + {\bf k}$ のとき, 点 $(2,-1,1)$ のまわりの力F のモーメントベクトルを求めよ．

6. 剛体が直線$x = y = z$ のまわりを角速度ベクトル ${\bf\Omega} = (1,-2,3)$ で回転しているとき, 剛体内の点 $P(1,2,2)$ の速度を求めよ．

7. 3つのベクトル A,B,C の作る平行六面体の体積は, スカラー三重積

$${\bf A}\cdot({\bf B}\times{\bf C})$$

の絶対値に等しいことを示せ．

8. ${\bf A} = 2{\bf e}_{1} + 5{\bf e}_{2} - {\bf e}_{3}, {\bf B} = {\bf e}_{1} - 2{\bf e}_{2} - 4{\bf e}_{3}$ で ${\bf e}_{1}\times{\bf e}_{2} = {\bf i} - {\bf j}, {\bf e}_{1}\times{\bf e}_{3} = {\bf j} + {\bf k},{\bf e}_{2}\times{\bf e}_{3} = {\bf i} + {\bf k}$ のとき, ${\bf A}\times{\bf B}$ を求めよ．

9. $\{4{\bf i} - 3{\bf j} + {\bf k}, 10{\bf i} - 3{\bf j}, 2{\bf i} -6{\bf j} + 3{\bf k}\}$ は1次独立か1次従属か調べよ．

10. 次の関数はどの区間$(a,b)$ でも1次独立であることを示せ.

(a) $\{1, x, x^2\}$ (b) $\{\sin{x}, \cos{x}\}$

11. 幾何ベクトル A, B が1次独立であるための必要十分条件は ${\bf A} \times {\bf B} \neq {\bf0}$ であることを示せ．