部分空間と次元

演習問題1-8

1. $W = \{(x,y,1) : x,y$   実数$\}$ は $R^3$ の部分空間か調べよ．

2. $W = \{(x,y,-3x+2y) : x, y$   実数$\}$ は $R^3$ の部分空間であることを証明せよ．

3. $W = \{(x,y,-3x+2y) : x, y$   実数$\}$ の基底を求めよ．また$W$ は何次元か．

4. 次のベクトルの組は3次元ベクトル空間$R^3$ の基底をなすことを示せ．

$$\{{\bf i} + {\bf j} , {\bf k} , {\bf i } + {\bf k}\}$$

5. 次の関数で生成される部分空間の次元を求めよ．

$$\{3, x-2, x+3, x^2+1\}$$

6. ${\mathbf x}_{1} = (1,1,1), {\mathbf x}_{2} = (0,1,1), {\mathbf x}_{3} = (0,0,1)$ から正規直交系を作れ．

7. $U,W$ をベクトル空間$V$ の部分空間とするとき, 次元公式が成り立つことを示せ．

$$\dim (U + W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W).$$

8. 4個以上の3次元空間のベクトルの組は1次従属であることを示せ．