内積空間

演習問題1-4

1. ${\bf A} = (-1,3,1), {\bf B} = (2,4,-3)$ について, 次の値を求めよ．

(a) $\Vert{\bf B}\Vert$ (b) ${\bf A}\cdot {\bf B}$ (c) A とB のなす角 (d) A方向の単位ベクトル

2. 次の集合のうち直交系はどれか．また直交系は対応する正規直交系を求めよ．

(a) $\{(1,3),(6,-2)\}$

(b) $\{(1,2,2),(-2,2,-1),(2,1,-2)\}$

(c) $\{{\bf i} - 2{\bf j} + 3{\bf k}, 2{\bf i} - \frac{1}{2}{\bf j} - \frac{1}{3}{\bf k}, 3{\bf i} + 3{\bf j} + {\bf k}\}$

3. 点 $(5,-1,3)$ を通り, 法ベクトルが2i + j - kである平面の方程式を求めよ．

4. A,Bを空間のベクトルとするとき, 次の不等式を証明せよ．

$$\vert{\bf A}\cdot{\bf B}\vert \leq \Vert{\bf A}\Vert \Vert{\bf B}\Vert .$$

この結果はCauchy-Schwarzの不等式とよばれる．

5. A, B, Cを空間のベクトルとするとき, 次の不等式を証明せよ．

$$\Vert{\bf A} - {\bf B}\Vert \leq \Vert{\bf A} - {\bf C}\Vert + \Vert{\bf C} - {\bf B}\Vert .$$

6. $f(x),g(x)$ を $PC[a,b]$ の関数とするとき, 次の不等式を証明せよ．

$$\vert(f,g)\vert \leq \Vert f\Vert \Vert g\Vert .$$

この結果はSchwarzの不等式とよばれる．

7. $PC[0,2]$ において, 次の関数のノームを求めよ．

(a) $f(x) = x$ (b) $f(x) = \sin{\pi x}$ (c) $f(x) = \cos{\pi x}.$

8. 次にあげる3個の多項式はLegendreの多項式とよばれるものです．

$$P_{0}(x) = 1, \ \ P_{1}(x) = x, \ \ P_{2}(x) = \frac{3x^2 - 1}{2}$$

これらは $PC[-1,1]$ で直交系をなすことを示せ．