ベクトルの和とスカラー倍がベクトル空間の部分集合に用いられると, 新しいベクトル空間を作り出すことがあります.こうしてできたベクトル空間を部分空間といいます.つまり
部分空間はそれ自身ベクトル空間です.つまりベクトル空間になるための1から9までの性質を満たしています.では, なぜ性質1と6しか調べなくてもベクトル空間になれるのかといいますと, 他の性質は親から受け継ぐので親がベクトル空間なら満たしているのです. 部分空間を手っ取り早く作る方法に次のものがあります.
ベクトル
の1次結合全体の集合を
で表し,
で張られた部分空間(linear span) といいます.名前の通りこれは部分空間です.
解
を
の元とすると,
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解
ならば,
である.なぜなら連続な関数の和はまた連続.連続な関数の定数倍もまた連続.
解
とすると,
かつ
.これより
また
とすると,
.
これより
において, とくに
の任意の元
が,
の形に一意的に表されるとき,
は
と
の 直和(direct sum) といい,
で表します.
基底
明らかに1次独立なベクトルの組がみな基底になれるわけではありません.たとえば, 3次元ベクトル空間でのベクトルの組
を考えてみましょう.
は1次独立ですがどんな実数
を用いても
は不可能です.
の中で互いに1次独立であるものの最大個数を
とします.また, それらを
とすると, 残りのベクトル
はそれぞれ
次元
解
まず
は
の部分空間であることを示す.
を
の元とすると,
と表せるので,
次の節にうつる前に, 和空間と共通部分の次元について述べた次元公式とよばれる定理を学びましょう.証明は演習問題1.4を参照して下さい.
Gram-Schmidtの直交化法
1.2節で直交系から正規直交系を作り出すことを学びました.ここでは1次独立なベクトルから正規直交系を作り出すことを学びます.まず個のベクトル
に対して
証明
とし,
との内積を作ると
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||
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||
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この定理の逆, つまり, 1次独立なベクトルから正規直交系を作ることができるのか考えてみます.まず,
が1次独立だとします.当然すべてのベクトル
(なぜ?).そこで
とすると,
は単位ベクトルになります.次に
と
の1次結合の中から
と直交するものを選び出します.幾何ベクトルでいえば,
と
の決定する平面の中に
と直交するベクトルを見つけることになります.そこで
を
と直交するベクトルとすると,
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||
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次に
と
に直交する単位ベクトル
を求めます.まず
と
の1次結合
を考えます.
解
1.
実数
は
の部分空間か調べよ.
2.
実数
は
の部分空間であることを証明せよ.
3.
実数
の基底を求めよ.また
は何次元か.
4. 次のベクトルの組は3次元ベクトル空間 の基底をなすことを示せ.
5. 次の関数で生成される部分空間の次元を求めよ.
6.
から正規直交系を作れ.
7. をベクトル空間
の部分空間とするとき, 次元公式が成り立つことを示せ.
8. 4個以上の3次元空間のベクトルの組は1次従属であることを示せ.