内積空間

$\spadesuit$ 区分的に連続な関数 $\spadesuit$

ここでは幾何ベクトル空間には似ても似つかないベクトル空間を紹介します．まず区間 $(a,b)$ で連続な関数の集まりを $C(a, b)$ で表し, 区間 $(a,b)$ で区分的に連続な関数(piecewise continuous function) の集まりを $PC(a,b)$ で表します. 関数 $f(t)$ が区間 $I$ で区分的に連続とは、

は区間で有限個の点を除いて連続である．
の不連続点 $t_{0}$ では, 左側および右側極限値が存在する．

を満たすことをいいます.

ここで、 $C(a, b)$ と $PC(a,b)$ の $f(x)$ と $g(x)$ に対して, 和およびスカラー倍を次のように定義します．
1． $f+g$ は点 $x$ で $f(x)+g(x)$ の値をとる関数．
2． $\alpha f$ は点 $x$ で $\alpha f(x)$ の値をとる関数．

例題 1..3

のとき, $f+g, \frac{1}{2}f, 2g$ を求めよう．

解 $(f+g)(x) = f(x) + g(x) = x + x^2 ,$
$(\frac{1}{2}f)(x) = \frac{1}{2}f(x) = \frac{x}{2} ,$
$(2g)(x) = 2g(x) = 2x^2 .$ $\blacksquare$

この和とスカラー倍によって, ベクトル空間になるための9個の性質が
$C(a, b)$ と $PC(a,b)$ において成り立ちます．

定理 1..2

と

はベクトル空間をなす.

これより, ベクトル空間に含まれる $f(x)$ や $g(x)$ をベクトルとよぶことができます．幾何ベクトルと姿や形が違いますが立派なベクトルです．ベクトル空間の中には大きさや方向を考える必要のないものもありますが, 大きさを与えることのできるベクトル空間を 計量ベクトル空間(normed vector space) といいます．ここでは内積が定義できる計量ベクトル空間について考えます．

$\spadesuit$ 内積 $\spadesuit$

幾何ベクトルにおいて次の3つのことは基本です．(1)和, (2)スカラー倍, (3)内積(スカラー積)．

和とスカラー倍については、すでに学んだので、ここでは幾何ベクトルの内積について紹介します.

0でないベクトルA, Bとそれらのなす角を $\theta(0 \leq \theta \leq \pi)$ とします．このとき, 実数 $\Vert{\bf A}\Vert\Vert{\bf B}\Vert\cos{\theta}$ をAとBの内積(dot product)またはスカラー積といい ${\bf A} \cdot {\bf B}$ と表します．つまり

$\displaystyle {\bf A} \cdot {\bf B} = \Vert{\bf A}\Vert\Vert{\bf B}\Vert\cos{\theta}$

A,Bのうち少なくとも一方が0のときは, ${\bf A} \cdot {\bf B} = 0$ と定めます．

これまでに私たちは和およびスカラー倍の一般化を行いました．そこでここでは内積の一般化に挑戦します．

定義 1..1

ふたつのベクトル ${\bf v}_{1}, {\bf v}_{2}$ に対して, 実数 $({\bf v}_{1}, {\bf v}_{2})$ または ${\bf v}_{1}\cdot{\bf v}_{2}$ が定まり, 次の性質をもつとき, $({\bf v}_{1}, {\bf v}_{2})$ または ${\bf v}_{1}\cdot{\bf v}_{2}$ を ${\bf v}_{1}$ と ${\bf v}_{2}$ の 内積(inner product) という．

あるベクトル空間のすべてのベクトル ${\bf v}, {\bf v}_{1},{\bf v}_{2},{\bf v}_{3}$ とすべての実数 $\alpha, \beta$ に対して,

$(\alpha \vec{v}_{1} + \beta \vec{v}_{2}) \cdot (\vec{v}_{3}) = \alpha (\vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{3}) + \beta (\vec{v}_{2} \cdot \vec{v}_{3})$ (線形性)
$\vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{2} = \vec{v}_{2} \cdot \vec{v}_{1}$ 対称性
$\vec{v} \cdot \vec{v} \geq 0, \vec{v} \cdot \vec{v} = 0$ と $\vec{v} = \vec{0}$ は同値．正定値性が成り立つ．

例題 1..4

幾何ベクトル A とB の間では, スカラー積A $\cdot$ B は次のように与えられます．

$\displaystyle {\bf A} \cdot {\bf B} = \vert{\bf A}\vert \vert{\bf B}\vert \cos{\theta} .$

ここで $\Vert{\bf A}\Vert$ と $\vert{\bf B}\vert$ は A とB の長さを表し, $\theta$ はベクトル A とB が作る小さいほうの角度を表します．このスカラー積は内積の性質 $1$

から

を満たしていることを示してみよう．

図: スカラー積
$\includegraphics[width=6cm]{LALG/Fig1-2.eps}$

解 A とB のなす角を $\theta$ , A とA+B のなす角を $\gamma$ ,A とC のなす角を $\omega$ とすると,
1.

$\displaystyle \vert{\bf A+B}\vert\cos{\gamma} = \vert{\bf A}\vert + \vert{\bf B}\vert\cos{\theta},$

$\displaystyle \vert{\bf A+B}\vert\sin{\gamma} = \vert{\bf B}\vert\sin{\theta}.$

よって

$\displaystyle ({\bf A +B})\cdot {\bf C}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \vert{\bf A}+{\bf B}\vert \vert{\bf C}\vert \cos({\omega} - {\gamma})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \vert{\bf A}+{\bf B}\vert \vert{\bf C}\vert(\cos{\omega}\cos{\gamma} + \sin{\omega}\sin{\gamma})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \vert{\bf A}\vert \vert{\bf C}\vert \cos{\omega} + \vert{\bf B}\vert \vert{\bf C}\vert \cos({\theta} - {\omega})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\bf A} \cdot {\bf C} + {\bf B} \cdot {\bf C}.$

また $\alpha \neq 0$ のとき,

$\displaystyle \alpha({\bf A}\cdot{\bf B}) = \alpha\vert{\bf A}\vert \vert{\bf B}\vert \cos{\theta} = (\alpha{\bf A})\cdot {\bf B}.$

これより, 1の線形性が示せた．
2．

$\displaystyle {\bf A}\cdot{\bf B} = \vert{\bf A}\vert \vert{\bf B}\vert \cos{\theta} = \vert{\bf B}\vert \vert{\bf A}\vert \cos{\theta} = {\bf B}\cdot{\bf A}.$

3. ${\bf A}\cdot{\bf A} = \vert{\bf A}\vert^2$ , よって, ${\bf A}\cdot{\bf A} = 0$ とA = 0は同値． $\blacksquare$

例題 1..5

3次元ベクトル空間 ${ R}^3$ に内積を定義してみよう．

解 $(a_{1},a_{2},a_{3}), (b_{1},b_{2},b_{3})$ を ${ R}^3$ の任意の元とすると,

$\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3}) \cdot (b_{1},b_{2},b_{3}) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}$

で定義された積は内積であることが示せる．つまり
${\bf v}_{1} = (a_{1},a_{2},a_{3}), {\bf v}_{2} = (b_{1},b_{2},b_{3}), {\bf v}_{3} = (c_{1},c_{2},c_{3}) \in { R}^{3}, \alpha, \beta \in R$ とすると
1．

$\displaystyle (\alpha {\bf v}_{1} + \beta {\bf v}_{2})\cdot {\bf v}_{3}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\alpha a_{1} + \beta b_{1}, \alpha a_{2} + \beta b_{2}, \alpha a_{3} + \beta b_{3}) \cdot (c_{1}, c_{2}, c_{3})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (\alpha a_{1} + \beta b_{1})c_{1} + (\alpha a_{2} + \beta b_{2})c_{2} + (\alpha a_{3} + \beta b_{3})c_{3}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \alpha(a_{1}c_{1} + a_{2}c_{2} + a_{3}c_{3}) + \beta(b_{1}c_{1} + b_{2}c_{2} + b_{3}c_{3})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \alpha(a_{1},a_{2},a_{3}) \cdot (c_{1}.c_{2},c_{3}) + \beta(b_{1},b_{2},b_{3}) \cdot (c_{1},c_{2},c_{3})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \alpha {\bf v}_{1} \cdot {\bf v}_{3} + \beta {\bf v}_{2} \cdot {\bf v}_{3}.$

$\displaystyle {\bf v}_{1} \cdot {\bf v}_{2}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3}) \cdot (b_{1},b_{2},b_{3})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle b_{1}a_{1} + b_{2}a_{2} + b_{3}a_{3}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3}) \cdot (a_{1},a_{2},a_{3})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\bf v}_{2} \cdot {\bf v}_{1}.$

$\displaystyle {\bf v}_{1} \cdot {\bf v}_{1} = a_{1}^2 + a_{2}^2 + a_{3}^2 \geq 0$

$\displaystyle {\bf v}_{1} \cdot {\bf v}_{1} = 0$	$\displaystyle \Leftrightarrow$	$\displaystyle a_{1}^2 + a_{2}^2 + a_{3}^2 = 0$
	$\displaystyle \Leftrightarrow$	$\displaystyle a_{1} = a_{2} = a_{3} = 0. \ensuremath{ \blacksquare}$

定義 1..2

を

の元とすると, 内積 $(f,g)$

は次の式で与えられる．

$\displaystyle (f,g) = \int_{a}^{b}f(x)g(x)dx .$

(注) これは内積の性質 $1, 2, 3$

を満たしています．

例題 1..6

が

に属しているとき, 内積 $(f,g)$

を計算しよう．

解

$\displaystyle (f,g) = \int_{0}^{2}(x)(x^2)dx = \frac{x^4}{4}\mid_{0}^{2} = 4. \ensuremath{ \blacksquare}$

ベクトル空間上に内積が定義されると, ノーム(ベクトルの大きさ)が定義されます．

定義 1..3

ベクトル v の $l_{2}$ ノーム(norm) は $\Vert{\bf v}\Vert _{2}$ で表され, 次の式で与えられる．

$\displaystyle \Vert{\bf v}\Vert _{2} = \sqrt{{\bf v}\cdot{\bf v}}.$

よって、内積の性質より、 $l_{2}$ ノームは次の性質を持っている.

すべてのベクトル ${\mathbf x}, {\mathbf y} \in {\cal R}^{n}$ とすべての実数 $\alpha$ に対して,

$\Vert{\mathbf x}\Vert _{2} \geq 0, \Vert{\mathbf x}\Vert _{2} = 0$ と ${\mathbf x} = 0$ は同値
$\Vert \alpha {\mathbf x}\Vert _{2} = \vert\alpha\vert\Vert{\mathbf x}\Vert _{2}$
$\Vert{\mathbf x} + {\mathbf y}\Vert _{2} \leq \Vert{\mathbf x}\Vert _{2} + \Vert{\mathbf y}\Vert _{2}$

例えば、幾何ベクトル空間では, $\Vert{\bf A}\Vert _{2} = \sqrt{{\bf A}\cdot{\bf A}} = \vert{\bf A}\vert$ となるのでA の長さと同じです．3次元ベクトル空間では

$\displaystyle \Vert(a_{1},a_{2},a_{3})\Vert _{2} = \sqrt{a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2}$

となるので, 原点から点 $(a_{1},a_{2},a_{3})$ までの最短距離と考えられます． 関数空間 (function space) $PC[a,b]$

では,

$\displaystyle \Vert f\Vert _{2} = \{\int_{a}^{b}[f(x)]^2dx\}^{1/2}.$

となります.

この $l_{2}$ ノームの他にも、 ${\cal R}^{n}$ でよく用いられるものに、 $l_{\infty}$ ノームがあります.

定義 1..4

ベクトル ${\mathbf x} = (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ の $l_{\infty}$ ノーム(norm) は $\Vert{\mathbf x}\Vert _{\infty}$ で表され, 次の式で与えられる．

$\displaystyle \Vert{\mathbf x}\Vert _{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n}\vert x_{i}\vert.$

例題 1..7

ベクトル ${\mathbf x} = (-1,1,-2)$ の $l_{2}$ ノームと $l_{\infty}$ ノームを求めよう.

解

$\displaystyle \Vert{\mathbf x}\Vert _{2}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sqrt{(-1,1,-2) \cdot (-1,1,-2)} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$
$\displaystyle \Vert{\mathbf x}\Vert _{\infty}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \max_{1 \leq i \leq 3}\vert x_{i}\vert = \max\{1, 1, 2\} = 2$

$l_{\infty}$ ノームも $l_{2}$ ノームと同様に次の性質を持っています.

すべてのベクトル ${\mathbf x}, {\mathbf y} \in {\cal R}^{n}$ とすべての実数 $\alpha$ に対して,

$\Vert{\mathbf x}\Vert \geq 0, \Vert{\mathbf x}\Vert = 0$ と ${\mathbf x} = 0$ は同値
$\Vert\alpha {\mathbf x}\Vert = \vert\alpha\vert\Vert{\mathbf x}\Vert$
$\Vert{\mathbf x} + {\mathbf y}\Vert \leq \Vert{\mathbf x}\Vert + \Vert{\mathbf y}\Vert$

$\spadesuit$ 直交 $\spadesuit$

２つの幾何ベクトルが直交すると、 ${\bf A} \cdot {\bf B} = \vert{\bf A}\vert\vert{\bf B}\vert\cos{\theta}$ で $\cos{\theta} = 0$ となるので、内積は零.また、 ${\bf A},{\bf B}$ が零ベクトルでなく、内積が零ならば、 $\cos{\theta} = 0$ となり、 ${\bf A}$ と ${\bf B}$ は直交していることが分かります.

このように、ベクトル空間に内積が定義されると, ノームだけでなく垂直という概念の一般化として直交を定義できます．

定義 1..5

${\bf v}_{1} \cdot {\bf v}_{2} = 0$ のとき, ベクトル ${\bf v}_{1}$ とベクトル ${\bf v}_{2}$ は 直交(orthogonal)しているという．また異なるベクトルがみな直交しているベクトルの集合を 直交系(orthogonal system) という．

幾何ベクトル空間では, 有向線分A,B の内積 ${\bf A} \cdot {\bf B}$ は例題 1.2より ${\bf A} \cdot {\bf B} = \vert{\bf A}\vert\vert{\bf B}\vert\cos{\theta}$ で与えられるので, もし0でない有向線分A,B に対して, 内積 ${\bf A} \cdot {\bf B} = 0$ ならば $\theta = 90^{\circ}$ ．つまり, A とB は垂直となります．

3次元ベクトル空間でベクトル $(a_{1},a_{2},a_{3}), (b_{1},b_{2},b_{3})$ の内積は例題1.2より, $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$ , また3次元ベクトルを幾何ベクトルと考えると,

$\displaystyle (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \cdot (b_{1}, b_{2}, b_{3}) = \Vert(a_{1}, a_{2}, a_{3})\Vert \Vert(b_{1}, b_{2}, b_{3})\Vert \cos{\theta}.$

このことから

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}}{\Vert(a_{1},a_{2},a_{3})\Vert \Vert(b_{1},b_{2},b_{3})\Vert}$

となり, ふたつのベクトルのなす角の余弦は内積より求めることができます．

例題 1..8

${\bf A} = (1,1,2)$ と ${\bf B} = (-1,2,1)$ のなす角を求めよう．

解

$\displaystyle \cos{\theta} = \frac{a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}}{\Vert(... ...Vert(b_{1},b_{2},b_{3})\Vert} = \frac{-1+2+2}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{1}{2}.$

これを満たす $\theta$ を $\displaystyle{[0, \frac{\pi}{2}]}$ で捜すと $\displaystyle{\theta = \frac{\pi}{3}}$ となる． $\blacksquare$

$\spadesuit$ 平面の方程式 $\spadesuit$

図: 平面の方程式
$\includegraphics[width=8cm]{LALG/Fig1-3.eps}$

空間の中に直交座標系を取り, 平面を考えます．平面とはある点を通り, その法ベクトルが一定な面と考えることができます．ここで, 法ベクトル(normal vector) とは, 面に接するベクトルに直交するベクトルのことです．内積を使うと簡単にこの平面の方程式が求まります．まず点 $(a_{1},a_{2},a_{3})$ を求める平面上の点とします．そしてN = $(A,B,C)$ をその平面の法ベクトルとします． ${\bf r}_{0}$ を原点と点 $(a_{1}, a_{2},$ $a_{3})$ を結ぶ位置ベクトル, rを原点と点 $(a_{1},a_{2},a_{3})$ 以外の平面上の点を結ぶ位置ベクトルとします．すると ${\bf r} - {\bf r}_{0}$ は平面上のベクトルとなるので, ${\bf r} - {\bf r}_{0}$ とN の間の角は $90^{\circ}$ ．よって $({\bf r} - {\bf r}_{0}) \cdot {\bf N} = 0$ となり, これが求める平面の方程式です．

例題 1..9

点

を通り, 法ベクトル $(-1,1,2)$

をもつ平面の方程式を求めよう．

解位置ベクトル rを( $x, y, z$ )とすると, 平面の方程式は

$\displaystyle (x-3, y+1, z-4) \cdot (-1,1,2) = 0.$

よって

$\displaystyle -(x-3) + (y+1) + 2(z-4) = 0$

または

$\displaystyle -x + y + 2z = 4. \ensuremath{ \blacksquare}$

例題 1..10

$\sin{x}$ と $\cos{x}$ は $[-\pi,\pi]$ で直交するが $\displaystyle{[0,\frac{\pi}{4}]}$ では直交しないことを示そう．

解 $[-\pi,\pi]$ で

$\displaystyle (\sin{x},\cos{x}) = \int_{-\pi}^{\pi}\sin{x}\cos{x}dx = \frac{\sin^{2}{x}}{2}\mid_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin^{2}{\pi} - \sin^{2}{(-\pi})}{2} = 0 .$

$\displaystyle{[0,\frac{\pi}{4}]}$ で

$\displaystyle (\sin{x},\cos{x}) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sin{x}\cos{x}dx = \f... ...\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} = \frac{1}{4}. \ensuremath{ \blacksquare}$

関数空間での直交は直角に交わるということではありませんので注意して下さい．

0でない幾何ベクトル Aをその大きさで割り, 単位ベクトル $\displaystyle{\frac{{\bf A}}{\vert{\bf A}\vert}}$ を求めることがよくあります．もっと一般的な場合にもベクトル vをそのノームで割り, 単位ベクトル $\displaystyle{\frac{{\bf v}}{\Vert{\bf v}\Vert}}$ を求めることがあります．このようにして大きさが1のベクトルを求めることを, 正規化(normalize)するといいます．また, 直交系のすべてのベクトルを正規化してできた集合を 正規直交系(orthonormal system) といいます．正規直交系の例として3次元ベクトル空間での{i,j,k} があげられます．なぜこれが大事なのか次の節ではっきりするでしょう．

例題 1..11

関数列 ${\{\cos{mx}\}}_{m=0}^{\infty}$ は $[0,\pi]$ で直交系をなすことを示し, 対応する正規直交系を求めよう．

解 $m \neq n$ のとき,

$\displaystyle (\cos{mx},\cos{nx})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\cos{mx}\cos{nx}dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}[\cos{(m+n)x} + \cos{(m-n)x}]dx$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2}[\frac{\sin{(m+n)x}}{(m+n)} + \frac{\sin{(m-n)x}}{(m-n)}] \mid_{0}^{\pi} = 0.$

のとき, $\cos{mx} = \cos{0} = 1$ より

$\displaystyle \Vert 1 \Vert = [ \int_{0}^{\pi}(1)^2 dx]^{1/2} = \sqrt{\pi}.$

$m \neq 0$ のとき,

$\displaystyle \Vert\cos{mx}\Vert = [ \int_{0}^{\pi}\cos^2{mx} dx]^{1/2} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}.$

よって求める正規直交系は

$\displaystyle \{\frac{1}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\cos{x}, \cdots , \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\cos{mx},\cdots \}. \ensuremath{ \blacksquare}$

$\spadesuit$ フーリエ級数 $\spadesuit$

この正規直交系を用いると, 区分的に連続な関数 $f(x) \in [0,L]$ は, 次の式で表現することができます．

$\displaystyle f(x) \sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos{\frac{n\pi x}{L}}$

ただし,

$\displaystyle a_{n} = \frac{2}{L}\int_{0}^{\infty}f(x)\cos{\frac{n\pi x}{L}}dx, n = 0,1,2,\ldots,$

このとき, 最初の式の右辺を $f(x)$

のフーリエ級数(Fourier series)といい, $a_{n}$ をフーリエ係数(Fourier coefficient)といいます．

例題 1..12

ノームはベクトル空間上の任意のベクトル ${\bf v}_{1}$ と ${\bf v}_{2}$ に対して, 三角不等式

$\displaystyle \Vert{\bf v}_{1} + {\bf v}_{2}\Vert \leq \Vert{\bf v}_{1} \Vert + \Vert {\bf v}_{2}\Vert$

を満たすことをしめそう．

解

$\displaystyle \Vert{\bf v}_{1} + {\bf v}_{2}\Vert^{2}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle ({\bf v}_{1} + {\bf v}_{2})\cdot ({\bf v}_{1} + {\bf v}_{2})$
		$\displaystyle \Vert{\bf v}_{1}\Vert^{2} + 2 {\bf v}_{1} \cdot {\bf v}_{2} + \Vert{\bf v}_{2}\Vert^{2}$