ベキ零行列の標準形

$\spadesuit$広義固有空間 $\spadesuit$

$A$を$n$次正方行列とし, $W$を ${\mathcal C}^{n}$の部分空間とします．$W$に属する任意のベクトル ${\mathbf x}$に対して $A{\mathbf x} \in W$となるとき, 部分空間$W$はA - 不変(A - invariant)であるといいます．

行列$A$の固有多項式を固有値の重複度でまとめて

$$\Phi_{A}(t) = (t - \lambda_{1})^{n_{1}}(t - \lambda_{2})^{n_{2}} \cdots (t - \lambda_{r})^{n_{r}}$$ (5.1)

$$\lambda_{i} \neq \lambda_{j} (i \neq j), n = n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{r}$$

と表します．ここで, 固有値 $\lambda_{i}(1 \leq i \leq r)$に対して

$$W(\lambda_{i}) = \{{\mathbf x} \in {\mathcal C}^{n} : (A - \lambda_{i}I )^{j} {\mathbf x} = {\bf0}\}$$

とおくと包含関係

$$V(\lambda_{i}) = W_{1}(\lambda_{i}) \subset W_{2}(\lambda_{i}) \subset W_{3}(\lambda_{i}) \subset \cdots$$

が成り立つ．次元を考えれば, これは無限には続かず

$$W_{1}(\lambda_{i}) \subset W_{2}(\lambda_{i}) \subset \cdots \subset W_{l}(\lambda_{i}) = W_{l+1}(\lambda_{i}) = \cdots$$

となります．このとき $W(\lambda_{i}) = W_{l}(\lambda_{i})$です．

定理 5..1  

$A$を$n$次の正方行列, その固有多項式を(5.1)とする．このとき広義固有空間 $W(\lambda_{i}) (1 \leq i \leq r)$に対して, 次が成り立つ

(1)	$W(\lambda_{i}) \bigcap W(\lambda_{j}) = {{\bf0}} (i \neq j)$
(2)	相異なる固有値に対する広義固有ベクトルは1次独立
(3)	$\dim W(\lambda_{i}) = n_{i}$

証明 (1) $i \neq j$のとき, $W(\lambda_{i}) \bigcap W(\lambda_{j}) \ni {\mathbf x} \neq {\bf0}$となるベクトル ${\mathbf x}$が存在したとする．このとき

$$(A - \lambda_{i}I)^{k_{1}} {\mathbf x} \neq {\bf0} \mbox{かつ} (A - \lambda_{i})^{k_{1}+1} {\mathbf x} = {\bf0}$$

を満たす0以上の整数$k_{1}$がある． ${\mathbf y} = (A - \lambda_{i}I)^{k_{1}}{\mathbf x}$とおくと

$$(A - \lambda_{i}I) {\mathbf y} = {\bf0}, W(\lambda_{i}) \bigcap W(\lambda_{j}) \ni {\mathbf y} \neq {\bf0}$$

となる． ${\mathbf y} \in W(\lambda_{j})$より, $(A - \lambda_{j}I)^{k_{2}} {\mathbf y} = {\bf0}$となる整数$k_{2}$がある．しかし, $A{\mathbf y} = \lambda_{i}{\mathbf y}$より $(A - \lambda_{j}I)^{k_{2}}{\mathbf y} = (\lambda_{j}I - \lambda_{i}I)^{k_{2}}{\mathbf y} = {\bf0}$となるが, $i \neq j$のとき $\lambda_{i} \neq \lambda_{j}$としたので, これは矛盾である．

(2) $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{s}$を$A$の相異なる固有値とする． $W(\lambda_{i}) \ni {\mathbf x}_{i} \neq {\bf0}$ $(1 \leq i \leq s)$に対して

$$c_{1}{\mathbf x}_{1} + c_{2}{\mathbf x}_{2} + \cdots + c_{s}{\mathbf x}_{s} = {\bf0} \mbox{ならば} c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{s} = 0$$

が成り立つことを帰納法を用いて示す．$s = 1$の場合は明らかなので

$$c_{1}{\mathbf x}_{1} + c_{2}{\mathbf x}_{2} + \cdots + c_{s-1}{\mathbf x}_{s-1} = {\bf0} \mbox{のとき} c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{s-1} = 0$$

が成り立つと仮定する．条件より

$$c_{1}{\mathbf x}_{1} + c_{2}{\mathbf x}_{2} + \cdots + c_{s}{\mathbf x}_{s} = {\bf0} **$$

が成り立つので, $(A - \lambda_{s}I)^{k} {\mathbf x}_{s} = {\bf0}$となる整数$k$をとり, 上の式(**)の両辺に左からかけると

$$c_{1}(A - \lambda_{s}I)^{k} {\mathbf x}_{1} + \cdots + c_{s-1}(A - \lambda_{s}I)^{k}{\mathbf x}_{s-1} + c_{s}(A - \lambda_{s}I)^{k}{\mathbf x}_{s}$$

$$= c_{1}(A - \lambda_{s}I)^{k}{\mathbf x}_{1} + \cdots + c_{s-1}(A - \lambda_{s}I)^{k}{\mathbf x}_{s-1} = {\bf0}$$

$W(\lambda_{i})$は $(A - \lambda_{s}I)$ - 不変より, $(A - \lambda_{s}I)^{k}{\mathbf x}_{i} \in W(\lambda_{i})$となる．また, (1)より$i \neq s$のとき ${\mathbf x}_{i} \not\in W(\lambda_{s})$．したがって, $(A - \lambda_{s}I)^{k}{\mathbf x}_{i} \neq {\bf0}$ $(1 \leq i \leq s-1)$となる．これより帰納法の仮定が使えて, $c_{i} = 0 (1 \leq i \leq s-1)$を得る．よって, $c_{s}{\mathbf x}_{s} = {\bf0}$となり, $c_{s} = 0$を得る．

(3) (2)で示した1次独立性より

$$\dim W(\lambda_{1}) + \cdots + \dim W(\lambda_{r}) \leq n$$

が成り立つ．また, $n = n_{1} + n_{2} + \cdots + n_{r}$なので, (3)を示すには $n_{i} \leq \dim W(\lambda_{i})$ $(1 \leq i \leq r)$をいえばよい．

行列$A$は, 定理4.1より, ユニタリ行列$U$を用いて次の形に三角化できる．

$$U^{-1}AU = \left(\begin{array}{rrrrrrrrrr} \lambda_{1}&&&&&&&&&\\... ...&&&\lambda_{r}&&\\ &&&&&&&&\ddots&\\ &&&&&&&&&\lambda_{r} \end{array}\right)$$

いま,

$$V_{i} = \left\{{\mathbf x} = \left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_... ...ray}\right) \in {\mathcal C}^{n} : x_{i} = 0 (n_{1}+1 \leq i \leq n) \right\}$$

とおくと, $V_{1}$は ${\mathcal C}^{n}$の$n_{1}$次元部分空間になる．また, $B = U^{-1}AU$の形より$V_{1}$の任意のベクトル ${\mathbf x}$に対して

$$(B - \lambda_{1}I)^{n_{1}}{\mathbf x} = U^{-1}(A - \lambda_{1}I)^{n_{1}}U{\mathbf x} = {\bf0}$$

が成り立つ．ここで, $U$は正則なので

$$(A - \lambda_{1}I)^{n_{1}} U{\mathbf x} - {\bf0}$$

となる．したがって, $V_{2} = \{U{\mathbf x} : x \in V_{1}\}$とおくと, $V_{2}$は $W(\lambda_{1})$に含まれる$n_{1}$次元の部分空間になり, 不等式 $n_{1} \leq \dim W(\lambda_{1})$を得る．固有値の順番を入れ替えて考えれば, $n_{i} \leq \dim W(\lambda_{i})$ $(1 \leq i \leq r)$が成り立つ． $\blacksquare$

定理 5..2  

$A$を$n$次の正方行列, その固有多項式を(*)とする．このとき$A$は適当な正則行列$P$により

$$P^{-1}AP = \left(\begin{array}{cccc} A_{1} &&&\\ &A_{2}&&\\ &&&\ddots\\ &&&A_{r} \end{array}\right)$$

の形に表される．ここで $A_{i}(1 \leq i \leq r)$は$n_{i}$次正方行列であり, その固有多項式は $\Phi_{A}(t) = (t - \lambda_{i})^{n_{i}}$である．

証明 $W(\lambda_{i})$から基底 ${\bf p}_{1}^{i}, \ldots,{\bf p}_{n_{i}}^{i}$をとる． $W(\lambda_{i})$は$A$ - 不変なので,

$$A{\bf p}_{j}^{i} = a_{1j}^{i}{\vert bf p}_{1}^{i} + \cdots + a_{n_{i}j}^{i}{\bf p}_{n_{i}}^{i} (1 \leq j \leq n_{i})$$

と表せる．ここで $A_{i} = (a_{jk}^{i})$とおくと, $A_{i}$は$n_{i}$次正方行列である．定理5.1より

$$\{{\bf p}_{1}^{1},\ldots,{\bf p}_{n_{1}}^{1},{\bf p}_{1}^{2},\ldots,{\bf p}_{n_{2}}^{2},\ldots,{\bf p}_{1}^{r},\ldots,{\bf p}_{n_{r}}^{r}\}$$

は ${\mathcal C}^{n}$の基底となる．したがって,

$$P = ({\bf p}_{1}^{1} \cdots {\bf p}_{n_{1}}^{1} {\bf p}_{1}^{2} \cdots {\bf p}_{n_{2}}^{2} \cdots {\bf p}_{1}^{r} \cdots {\bf p}_{n_{r}}^{r})$$

とおくと, $P$は正則行列となり

$$AP = P\left(\begin{array}{cccc} A_{1} &&&\\ &A_{2}&0&\\ &&&\ddots\\ &&0&A_{r} \end{array}\right)$$

を満たす．この式の両辺に$P^{-1}$を左からかければ求める式を得る．

この関係式を用いると

$$\Phi_{A}(t) = \Phi_{P^{-1}AP}(t) = (t - \lambda_{1})^{n_{1}}(t - \lambda_{2})^{n_{2}}\cdots(t - \lambda_{r})^{n_{r}}$$

$$= \Phi_{A_{1}}(t)\Phi_{A_{2}}(t) \cdots \Phi_{A_{r}}(t)$$

となる．したがって, $A_{i}$の固有値が $\lambda_{i}$だけであることを示せば

$$\Phi_{A_{i}}(t) = (t - \lambda_{i})^{n_{i}}$$

が示される．$A_{i}$が $\lambda_{i}(j \neq i)$を固有値として持ち, $\lambda_{i}$に対する固有ベクトル

$${\mathbf x} = \left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\... ...}\right) = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{array}\right)$$

が取れたとする．すなわち, $A_{i}{\mathbf x} = \lambda_{j}{\mathbf x}$とする．このとき

$${\mathbf {\bar{x}}} = \left(\begin{array}{c} 0\\ \vdots\\ 0\... ... \\ \\ \end{array}\right\} & n_{i+1} + \cdots + n_{r} \end{array}\right.$$

とおくと, ${\mathbf {\bar x}} \neq {\bf0}$で $P^{-1}AP{\mathbf {\bar x}} = \lambda_{j}{\mathbf {\bar x}}$を満たす．したがって,

$${\bf0} \neq P{\mathbf {\bar x}} = x_{1}{\bf p}_{1}^{i} + \cdots + x_{n_{i}}{\bf p}_{n_{i}}^{i} \in W(\lambda_{i})$$

は $AP{\mathbf {\bar x}} = \lambda_{j}P{\mathbf {\bar x}}$, つまり, $(A - \lambda_{j}I)P{\mathbf {\bar x}} = {\bf0}$を満たす．しかし, これは $P{\mathbf {\bar x}} \in W(\lambda_{j})$を意味し, 定理5.1に矛盾する． $\blacksquare$