正規行列(normal matrices)

4.1節で正方行列の対角化について考えました．ここではユニタリ行列によって対角化可能な正方行列について考えます．

まず$n$ 次の正方行列 $A$ がユニタリ行列 $U$ によって対角行列 $U^{*}AU = D$ に変換されたとします．ここで $D$ は対角行列なのであきらかに $D^{*}D = DD^{*}$ が成り立ちます．また $A = UDU^{*}$より

$$A^{*}A = (UD^{*}U^{*})(UDU^{*}) = UDD^{*}U^{*} ,$$

$$AA^{*} = (UDU^{*})(UD^{*}U^{*}) = UDD^{*}U^{*} .$$

よって $A^{*}A = AA^{*}$ となります．つまり, ユニタリ行列によって対角行列に変換される正方行列 $A$ は $AA^{*} = A^{*}A$ を満たすということです．そこでこのような行列を 正規行列(normal matrix) とよびます．

逆に, $A$ が正規行列であるとすると, 定理4.1より適当なユニタリ行列 $U$ を用いて

$$U^{-1}AU = U^{*}AU = \left(\begin{array}{rrrr} \lambda_{1}&b_{12}... ...n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_{n} \end{array}\right)$$

とできます．この上三角行列を $S$ とすると,

$$S^{*} = U^{*}A^{*}U = \left(\begin{array}{rrrr} \bar{\lambda_{1}}... ...vdots\\ \bar{b_{1n}}&\bar{b_{2n}}&\cdots&\bar{\lambda_{n}} \end{array}\right)$$

となります．また $AA^{*} = A^{*}A$より

$$S^{*}S = (U^{*}A^{*}U)(U^{*}AU) = U^{*}A^{*}AU = U^{*}AA^{*}U = (U^{*}AU)(U^{*}A^{*}U) = SS^{*}.$$

これを行列を用いて表すと

$$S^{*}S = \left(\begin{array}{rrrr} \bar{\lambda_{1}}&0&\cdots&0\\ \bar{b_... ...2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_{n} \end{array}\right)$$

$$= \left(\begin{array}{rrrr} \lambda_{1}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ 0&\... ... \bar{b_{1n}}&\bar{b_{2n}}&\cdots&\bar{\lambda_{n}} \end{array}\right) = SS^{*}$$

となります．ここで両辺の対角成分を比較してみましょう． $(1,1)$成分を比較すると

$$\lambda_{1}\bar{\lambda_{1}}+b_{12}\bar{b_{12}}+\cdots+b_{1n}\bar{b_{1n}} = \bar{\lambda_{1}}\lambda_{1}$$

となり, これより

$$b_{12} = b_{13} = \cdots = b_{1n} = 0$$

を得ます．次に $(2,2)$成分を比較し, $b_{12} = 0$ を用いると,

$$\lambda_{2}\bar{\lambda_{2}}+b_{23}\bar{b_{23}}+\cdots+b_{2n}\bar{b_{2n}} = \bar{\lambda_{2}}\lambda_{2}$$

となり, これより

$$b_{23} = b_{24} = \cdots = b_{2n} = 0$$

を得ます．以下同様にして, $b_{ij} = 0 (i < j)$ が示せます．したがって $U^{-1}AU$ は対角行列となります．まとめると次の定理を得ます．

定理 4..5  

$n$ 次の正方行列 $A$ について, 次の条件は同値である．
$(1)$ $A$ はユニタリ行列により対角化可能である．
$(2)$ $A$ は正規行列である．

これで正規行列はユニタリ行列により対角化可能であることがわかりました．正規行列とはそれ自身の共役転置行列との積が可換な行列のことなので, エルミート行列, ユニタリ行列も正規行列です．

実ベクトル空間上での内積は1章で定義しましたが, 同様なことが複素ベクトル空間上でも行なえます．

定義 4..1  

複素ベクトル空間$V$ の任意のベクトル ${\bf v}_{1}, {\bf v}_{2}$ に対して, 実数 $({\bf v}_{1}, {\bf v}_{2})$ が定まり, 次の性質をもつとき, $({\bf v}_{1}, {\bf v}_{2})$ を ${\bf v}_{1}$ と ${\bf v}_{2}$ の 内積(inner product) という．

ある複素ベクトル空間のすべてのベクトル ${\bf v}, {\bf v}_{1},{\bf v}_{2},{\bf v}_{3}$ とすべての複素数 $\alpha, \beta$ に対して,
$1.$ $(\alpha {\bf v}_{1} + \beta {\bf v}_{2},{\bf v}_{3}) = \alpha ({\bf v}_{1},{\bf v}_{3}) + \beta ({\bf v}_{2},{\bf v}_{3})$
$2.$ $({\bf v}_{1},{\bf v}_{2}) = \overline{({\bf v}_{2},{\bf v}_{1})}$
$3.$ $({\bf v},{\bf v}) \geq 0, ({\bf v},{\bf v}) = 0$ と ${\bf v} = {\bf0}$ は同値．

例題 4..4  

エルミート行列は正規行列であることを示し, 固有値を求めよう．

解 $A$ をエルミート行列とすると, $A = A^{*}$より $AA^{*} = A^{*}A$．よって $A$ は正規行列である．次に, $\lambda$ を $A$ の固有値とし, ${\bf a}$ を $\lambda$ に対する $A$ の固有ベクトルとすると定義4.2より

$$\lambda ({\bf a},{\bf a}) = (\lambda {\bf a},{\bf a}) = (A{\bf a},{\bf a}) = ({\bf a},{\bf A^{*}}{\bf a})$$

$$= ({\bf a},A{\bf a}) = ({\bf a},\lambda {\bf a}) = \bar{\lambda}({\bf a},{\bf a})$$

となり, $\lambda = \bar{\lambda}$ が得られる．よって, $\lambda$ は実数． $\blacksquare$

この例題からかわるように, $A$ がエルミート行列のとき, ユニタリ行列 $U$ で対角化された行列 $U^{-1}AU$ の対角成分は実数です．とくに $A$ が実正方行列のとき, 次の定理が成り立ちます．

定理 4..6  

$n$ 次の実正方行列 $A$ について, 次の条件は同値である．
$(1)$ $A$ は直交行列で対角化可能である．
$(2)$ $A$ は実対称行列である．