Jordan標準形

$\spadesuit$Jordanブロック $\spadesuit$

次の形をした$k$次正方行列を, 複素数$\alpha$に対する$k$次のJordanブロック (Jordan block)またはJordan細胞いう．

$$J(\alpha,k) = \left(\begin{array}{ccccc} \alpha & 1 & & 0& \\ ... ...dots & \ddots & \\ & & & \alpha & 1\\ & 0 & & & \alpha \end{array}\right)$$

例題 5..1  

次のJordanブロックを表そう． $J(5,1), J(6,2), J(5,3)$

解

$$j(5,1) = (5), J(6,2) = \left(\begin{array}{cc} 6 & 1\\ 0 & 6 ... ...5,3) = \left(\begin{array}{ccc} 5&1&0\\ 0&5&1\\ 0&0&5 \end{array}\right)$$

いくつかのJordanブロックを対角線に沿って並べて得られる行列

$$J = \left(\begin{array}{cccc} J(\alpha_{1},k_{1}) & & &\\ & J(... ...2},k_{2}) & & \\ & & \ddots &\\ &0&&J(\alpha_{i},k_{i}) \end{array}\right)$$

をJordan行列(Jordan form)といいます．

$\spadesuit$ベキ零行列の標準形 $\spadesuit$

任意の$n$次正方行列 $A$ は適当な正則行列 $P$ をとり $P^{-1}AP$ をJordan行列にできるでしょうか．まず, $A$がベキ零行列の場合を考えてみましょう．

行列$N$をベキ零行列とすると, ベキ零行列の定義より $N^{k-1} \neq 0, N^{k} = 0$となる整数$k$が存在します．ここで

$$W_{j} = W_{j}(0) = \{{\mathbf x} \in {\mathcal C}^{n} : N^{j}{\mathbf x} = {\bf0}\}$$

とおき, 部分空間の列

$$V(0) = W_{1} \subset W_{2} \subset \cdots \subset W_{k} = {\mathcal C}^{n}$$

を考えます．ここで

$$g_{i} = \dim W_{i} (1 \leq i \leq k)$$

$$h_{k} = g_{k} - g_{k-1}, h_{k} + h_{k+1} = g_{k-1} - g_{k-2}$$

$$h_{k} + h_{k-1} + h_{k-2} = g_{k-2} - g_{k-3}, \ldots,$$

とおきます． ${\mathbf x}_{1}, \ldots ,{\mathbf x}_{h_{k}}$ を $W_{k}$に属する1次独立なベクトルで

$$<{\mathbf x}_{1}, \ldots , {\mathbf x}_{h_{k}}> \bigcap W_{k-1} = {\bf0}$$

を満たすものとします．このとき次の$kh_{k}$個のベクトル

$$\left\{\begin{array}{l} {\mathbf x}_{1}, N{\mathbf x}_{1},\ldots,... ...{\mathbf x}_{h_{k}},\ldots,N^{k-1}{\mathbf x}_{h_{k}} \end{array}\right. *$$

は1次独立になります．なぜならば, これらのベクトルの1次結合を0とおくと

$$\sum_{i=1}^{h_{k}}c_{i}^{0}{\mathbf x}_{i} + \sum_{i=1}^{h_{k}}c_... ..._{i} + \cdots + \sum_{i=1}^{h_{k}}c_{i}^{h_{k}}N^{k-1}{\mathbf x}_{i} = {\bf0}$$

この式の両辺に左から$N^{[k-1]}$をかけると, 第2項以下の和は0となり

$$\sum_{i=1}^{h_{k}}c_{i}^{0}N^{k-1}{\mathbf x}_{i} = N^{k-1}\left(\sum_{i=1}^{h_{k}}c_{i}^{0}{\mathbf x}_{i}\right) = {\bf0}$$

を得ます．したがって, $\sum_{i=1}^{h_{k}}c_{i}^{0}{\mathbf x}_{i} \in W_{k-1}$となりますが, 仮定

$$<{\mathbf x}_{1}, \ldots , {\mathbf x}_{h_{k}}> \bigcap W_{k-1} = {\bf0}$$

より $c_{1}^{0} = \cdots = c_{h_{k}}^{0} = 0$でなければなりません．以下同様にこの手続きを繰り返せば, $c_{i}^{j} = 0 (i = 1,\ldots,h_{k}, j = 0 , \ldots, k-1)$を得ます．

次に, 以下の条件を満たすベクトル ${\mathbf y}_{1},\ldots,{\mathbf y}_{h_{k-1}}$を考えます．

$$\begin{array}{ll} (1) & {\mathbf y}_{1},\ldots,{\mathbf y}_{h... ...\mathbf y}_{h_{k-1}}> \bigcap W_{k-2} = \{{\bf0}\} \end{array}$$

このとき次の$h_{k-1}$個のベクトルと(*)のベクトルを合わせたものも1次独立となります．

$$\left\{\begin{array}{l} {\mathbf y}_{1}, N{\mathbf y}_{1},\ldots,... ...hbf y}_{h_{k-1}},\ldots,N^{k-1}{\mathbf y}_{h_{k-1}} \end{array}\right. **$$

同様に, 以下の条件を満たすベクトル ${\mathbf z}_{1},\ldots,{\mathbf z}_{h_{k-2}}$を考えます．

$$\begin{array}{ll} (1) & {\mathbf z}_{1},\ldots,{\mathbf z}_{h... ...\mathbf z}_{h_{k-2}}> \bigcap W_{k-3} = \{{\bf0}\} \end{array}$$

以下この議論を繰り返すことができ, 最終的に次のベクトル全体は ${\mathcal C}^{n}$の基底になります．

$$W_{k} \! \left\{\begin{array}{ll} & {\mathbf x}_{1}, \l... ...}_{1},..,N^{k-3}{\mathbf z}_{h_{k-2}},.. \end{array}\right. \end{array}\right.$$

そして, 各部分空間

$$\begin{array}{l} <N^{k-1}{\mathbf x}_{1},N^{k-2}{\mathbf x}_{... ...{h_{k-2}},\ldots,{\mathbf z}_{h_{k-2}}>,\\ \cdots \end{array}$$

は$N$-不変となります．そこで, $(n,k)$行列 $(N^{k-1}{\mathbf x}_{1}, N^{k-2}{\mathbf x}_{1} ,\ldots,{\mathbf x}_{1})$に$N$を左からかけると

$$N(N^{k-1}{\mathbf x}_{1}, N^{k-2}{\mathbf x}_{1} ,\ldots,{\mathbf... ... (N^{k-1}{\mathbf x}_{1}, N^{k-2}{\mathbf x}_{1} ,\ldots,{\mathbf x}_{1})J(0,k)$$

が成り立ちます．他の部分空間についても同様なので,

$$P = (N^{k-1}{\mathbf x}_{1} N^{k-2}{\mathbf x}_{1} \cdots {\mat... ...{\mathbf x}_{h_{k}} N^{k-2}{\mathbf x}_{h_{k}} \cdots {\mathbf x}_{h_{k}}$$

$$N^{k-2}{\mathbf y}_{1} N^{k-3}{\mathbf y}_{1} \cdots {\math... ...{k-1}} N^{k-3}{\mathbf y}_{h_{k-1}} \cdots {\mathbf y}_{h_{k-1}} \cdots )$$

とおくと, $P$は正則行列になり

$$P^{-1}NP = \left(\begin{array}{cccc} J(0,k_{1}) & & 0 & \\ & J(0,k_{2}) & &\\ & 0 &\ddots &\\ &&& J(0,k_{l}) \end{array}\right)$$

を得ることができます．このようにしてできたJordan行列を$N$のJordan標準形(Jordan canonical form)いいます．ここまでをまとめると次の定理を得ます．

定理 5..3  

$N$を$n$次の正方行列とする．このとき適当な正則行列$P$により

$$P^{-1}NP = \left(\begin{array}{cccc} J(0,k_{1}) & & 0 & \\ & J(0,k_{2}) & &\\ & 0 &\ddots &\\ &&& J(0,k_{l}) \end{array}\right)$$

の形に表される．ここで $n = k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{l}$である．

例題 5..2  

次のベキ零行列のJordan標準形を求めよう．

$$N = \left(\begin{array}{ccc} 0&1&-1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}\right)$$

解 $N$は$N^{2} = 0$を満たすので, 指数2のベキ零行列である． よって, $N$の固有値は0だけであり, 固有値0に対する広義固有空間$W_{j}$を考える．

$$W_{j} = \{{\mathbf x} : N^{j}{\mathbf x} = {\bf0} \}$$

より, $W_{1} \subset W_{2} = {\mathcal R}^{3}$である．

$$W_{1} = \{\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right) : y - z = 0\}$$

であるから, $\dim W_{1} = 2$．そこで, 例えば, ${\mathbf x} = \left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right)$ をとると ${\mathbf x} \in W_{2}$,

$$N{\mathbf x} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right) \in W_{1}$$

である．$W_{1}$は2次元であるから $N{\mathbf x}$と1次独立なベクトル ${\mathbf y} = \left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right) \in W_{1}$ がとれる．このとき $\{{\mathbf x}, N{\mathbf x}, {\mathbf y}\}$は ${\mathcal R}^{3}$の基底である．

$$P = (N{\mathbf x},{\mathbf x}, {\mathbf y}) = \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}\right)$$

とおくと

$$P^{-1}NP = \left(\begin{array}{ccc} 0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \... ...right) = \left(\begin{array}{cc} J(0,2) & 0\\ 0 & J(0,1) \end{array}\right)$$

となる．

$\spadesuit$Jordan標準形 $\spadesuit$

定理 5..4  

$A$を$n$次の正方行列, その固有多項式を

$$\Phi_{A}(t) = (t - \lambda_{1})^{n_{1}}(t - \lambda_{2})^{n_{2}} \cdots (t - \lambda_{r})^{n_{r}}$$

$$\lambda_{i} \neq \lambda_{j} (i \neq j), n = n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{r}$$

とする．このとき適当な正則行列$P$により

$$P^{-1}AP = \left(\begin{array}{cccc} J(\lambda_{1},k_{1}) & & 0 ... ...,k_{2}) & &\\ & 0 &\ddots &\\ &&& J(\lambda_{r},k_{l}) \end{array}\right)$$

の形に表される．ここで $n = k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{l}$である．

証明 固有値 $\lambda_{i}$の広義固有空間 $W(\lambda_{i})$に対して, 部分空間の列

$$W_{1}(\lambda_{1}) \subset W_{2}(\lambda_{2}) \subset \cdots \subset W_{k}(\lambda_{i}) = W_{k+1}(\lambda_{i+1}) + \cdots$$ (5.2)

を考える．ここで

$$W_{j}(\lambda_{i}) = \{{\mathbf x} \in {\mathcal C}^{n} : (A - \lambda_{i}I)^{j} {\mathbf x} = {\bf0}\}$$

$$W(\lambda_{i}) = W_{k}(\lambda_{i})$$

である． $W(\lambda_{i})$は ${\mathcal C}^{n}$の$A$-不変および $(A - \lambda_{i}I)$-不変な部分空間になる．よって, 定理5.2の議論を行列 $A - \lambda_{i}I$と部分空間の列(5.2)に対して適用できる． $W(\lambda_{i})$の基底

$$\{{\bf p}_{1}^{i},{\bf p}_{2}^{i},\ldots,{\bf p}_{n_{i}}^{i}\}$$

で, それを並べて得られる$(n,n_{i})$行列

$$P_{i} = ({\bf p}_{1} {\bf p}_{2}^{i} \cdots {\bf p}_{n_{i}}^{i})$$

が

$$(A - \lambda_{i}I)P_{i} = P_{i}\left(\begin{array}{cccc} J(0,k_{... ...}^{i}) & 0&\\ & 0 & \ddots &\\ & & & J(0,k_{l_{i}}^{i}) \end{array}\right)$$

ただし, $n_{i} = k_{1}^{i} + k_{2}^{i} + \cdots + k_{l_{i}}^{i}$の形になるものを選ぶことができる．ここで, $\lambda_{i}IP_{i} = \lambda_{i}P_{i}$を右辺に移項すると

$$AP_{i} = \lambda_{i}P_{i} + P_{i}\left(\begin{array}{cccc} J(0,k_{1}^{i}) ... ..._{2}^{i}) & 0&\\ & 0 & \ddots &\\ & & & J(0,k_{l_{i}}^{i}) \end{array}\right)$$

$$= P-{i}\left(\begin{array}{cccc} J(\lambda_{i},k_{1}^{i}) &&&\\ & ... ...& 0&\\ & 0 & \ddots &\\ & & & J(\lambda_{i},k_{l_{i}}^{i}) \end{array}\right)$$

となる．さらに,

$$P = ({\bf p}_{1}^{1} \cdots {\bf p}_{n_{1}}^{1} {\bf p}_{1}^{2} \cdots {\bf p}_{n_{2}}^{2} \cdots {\bf p}_{1}^{r} \cdots {\bf p}_{n_{r}}^{r}$$

とおくと, $P$は正則行列となり

$$AP = P\left(\begin{array}{cccc} J(\lambda_{1},k_{1}^{1}) &&&\\ ... ...\\ & 0 & \ddots &\\ & & & J(\lambda_{r},k_{l_{r}}^{r}) \end{array}\right)$$

を満たす．この両辺の左から$P^{-1}$をかけると, 求めるJordan行列 $J = P^{-1}AP$を得る． $\blacksquare$

例題 5..3  

次の行列のJordan標準形を求めよう．また変換行列$P$も求めよう．

$$(1) \left(\begin{array}{ccc} 1&1&-1\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{... ... \left(\begin{array}{ccc} 4&-3&3\\ -1&3&-2\\ -3&4&-3 \end{array}\right)$$

解 (1) $A = \left(\begin{array}{ccc} 1&1&-1\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right)$の固有値を求めると

$$\Phi_{A}(\lambda) = A - \lambda I){\mathbf x} = (1 - \lambda)^{3} = 0$$

より$A$の固有値は1だけである．よって, $(A - I)$はベキ零行列なるので, 例題5.2より,

$$P = \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}\right)$$

とおくと

$$P^{-1}AP = \left(\begin{array}{ccc} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \... ...ight) = \left(\begin{array}{cc} J(1,2) & 0\\ 0 & J(1,1) \end{array}\right)$$

(2) $A = \left(\begin{array}{ccc} 4&-3&3\\ -1&3&-2\\ -3&4&-3 \end{array}\right)$の固有値を求めると

$$\Phi_{A}(\lambda) = A - \lambda I){\mathbf x} = (1 - \lambda)^{2}(2-\lambda) = 0$$

より$A$の固有値は1と2である．固有値1に対して

$$(A - 1I) = \left(\begin{array}{ccc} 3&-3&3\\ -1&2&-2\\ -3&4&... ... = \left(\begin{array}{ccc} 3&-3&3\\ -1&-1&1\\ -1&1&-1 \end{array}\right)$$

であるから

$$W_{1}(1) \subset W_{2}(1) = W(2)$$

$$\dim W_{1}(1) = 1, \dim W_{2}(1) = 2$$

となる．そこで

$$W_{1}(1) = \{{\mathbf x} : (A - I){\mathbf x} = {\bf0}$$

より,

$$W_{1}(1) = <\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1 \end{array}\right)>$$

$$W_{2}(1) = \{{\mathbf x} : (A - I)^{2}{\mathbf x} = {\bf0}$$

より

$$W_{2}(1) = < {\mathbf x}, (A - I){\mathbf x}> = <\left(\begin{arr... ...end{array}\right) , \left(\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0 \end{array}\right)>$$

と表せる．

次に, 固有値2に対して

$$W_{1}(2) = (A - 2I){\mathbf x} = {\bf0}$$

を求めると

$$W_{1}(2) = W(2) = <\left(\begin{array}{c} 3\\ 1\\ -1 \end{array}\right)>$$

となる．そこで ${\mathbf y} = \left(\begin{array}{c} 3\\ 1\\ -1 \end{array}\right)$をとる．

$$P = ({\mathbf x} A{\mathbf x} {\mathbf y}) = \left(\begin{array}{ccc} 0&1&3\\ 1&1&1\\ 1&0&-1 \end{array}\right)$$

とおくと

$$P^{-1}AP = \left(\begin{array}{ccc} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2 \end{array}\right)$$

となり, これが$A$のJordan標準形である．

演習問題5-2

1. 次のベキ零行列の標準形と変換行列$P$を求めよう．

$$(a) \left(\begin{array}{ccc} 0&2&1\\ 0&0&2\\ 0&0&0 \end{arr... ... (b) \left(\begin{array}{ccc} 0&-2&0\\ 0&0&0\\ 3&1&0 \end{array}\right)$$

2. 次の行列のJordan標準形と変換行列$P$を求めよう．

$$(a) \left(\begin{array}{ccc} 5&2&2\\ -2&0&-3\\ -1&-1&2 \end... ... (b) \left(\begin{array}{ccc} 1&0&4\\ 2&-1&4\\ -1&-1&-5 \end{array}\right)$$