線形写像

$\spadesuit$ 写像 $\spadesuit$

第1章, 第2章でベクトル空間について学んできました．この章では写像を用いてふたつのベクトル空間の関係を調べます．そこで写像について簡単に復習をしておきます．

ふたつの集合VとWを考えます．Vの任意の要素 $v$ に対してWのただひとつの要素 $w$ を対応させるような規則 $T$ があるとき, この対応関係 $T$ をVからWへの 写像(mapping) といい記号 $T : V \longrightarrow W$ で表します．この考え方を用いると $m \times n$ 型の行列は $n$ 項列ベクトルを $m$ 項列ベクトルに移す写像, 言い換えると, ${\mathcal R}^{n}$ から ${\mathcal R}^{m}$ への写像ということになります．

$\spadesuit$ 線形写像 $\spadesuit$

ベクトル空間には和とスカラー倍が定義されていました．そこで, ふたつのベクトル空間の関係を調べるのに使う写像は, 和とスカラー倍を保つのが望ましいでしょう．そのような写像を線形写像といい次のように定義します．

定義 3..1

がベクトル空間のとき, 写像 $T : V \longrightarrow W$ で次の条件を満たすものを 線形写像(linear mapping) という．
$1. T({\bf v} + {\bf w}) = T({\bf v}) + T({\bf w}) ({\bf v},{\bf w} \in V)$
$2. T(\alpha {\bf v}) = \alpha T({\bf v}) ({\bf v} \in V, \alpha \in R)$
とくに $V = W$

のとき,

を

の 線形変換(linear transformation) という．

線形写像は $V$ から $W$ への写像のうちベクトル空間の性質を保つ写像です． $T$ により $V$ の移る先全体を $T$ の 像(image) といい,

$\displaystyle Im (T) = T(V) = \{{\bf w} \in W : T({\bf v}) = {\bf w}を満たす{\bf v} \in Vが存在する\}$

で表します．また

による像が ${\bf0}$ になるような $V$

の要素の集まりを

の 核(kernel) といい,

$\displaystyle \ker (T) = \{{\bf v} \in V : T({\bf v}) = 0 \}$

で表します．これらは線形写像の性質より, それぞれ $W,V$

の部分空間になることがわかります(演習問題3.1参照)．

例題 3..1

を $m \times n$ 型の行列とする．

$\displaystyle T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$

を $T({\mathbf x}) = A{\mathbf x}$ で定義すると $T$

は線形写像になることを示そう．

解行列どうしの積および実数との積の性質から, ${\mathcal R}^{n}$ の任意のベクトル ${\mathbf x}_{1},{\mathbf x}_{2}$ および任意の実数 $\alpha$ に対して,

$\displaystyle T({\mathbf x}_{1} + {\mathbf x}_{2}) = A({\mathbf x}_{1} + {\math... ...mathbf x}_{1}) + A({\mathbf x}_{2}) = T({\mathbf x}_{1}) + T({\mathbf x}_{2}),$

$\displaystyle T(\alpha {\mathbf x}_{1}) = A(\alpha {\mathbf x}_{1}) = \alpha A({\mathbf x}_{1}) = \alpha T({\mathbf x}_{1})$

が成り立つ．よって

は線形写像である． $\blacksquare$

線形写像 $T : V \longrightarrow W$ が

$\displaystyle {\bf v}_{1} \neq {\bf v}_{2} \mbox{ならば} T({\bf v}_{1}) \neq T({\bf v}_{2}) ({\bf v}_{1},{\bf v}_{2} \in V)$

を満たすとき,

は 1対1(one-to-one)であるといい, このような写像を 単射(injective) といいます．

線形写像 $T : V \longrightarrow W$ が $Im(T) = W$ を満たすとき, $T$ を $V$ から $W$ の 上への(onto)線形写像といい, このような写像を 全射(surjective) といいます．

例題 3..2

$S : U \longrightarrow V, T : V \longrightarrow W$ がともに線形写像であるとき, 合成写像 $T \circ S : U \longrightarrow W$ も線形写像であることを示そう．

解

$\displaystyle (T \circ S)(\alpha{\bf u}_{1} + \beta{\bf u}_{2})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle T(S(\alpha{\bf u}_{1} + \beta{\bf u}_{2}))$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle T(\alpha S({\bf u}_{1}) + \beta S({\bf u}_{2}))$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \alpha (T \circ S)({\bf u}_{1}) + \beta (T \circ S)({\bf u}_{2})$

より合成写像 $T \circ S : U \longrightarrow W$ も線形写像． $\blacksquare$

$\spadesuit$ 同型写像 $\spadesuit$

ベクトル空間からベクトル空間の上への1対1の線形写像をとくに同型写像(isomorphism) といいます．また, $V$ から $W$ への同型写像が存在するとき, $V$ と $W$ は 同型(isomorphic)であるといい, $V \sim W$ と表します．また $T : V \longrightarrow W$ が同型写像で, $T({\bf v}) = {\bf w}$ のとき, $S({\bf w}) = {\bf v}$ と定めることにより, $W$ から $V$ への写像 $S$ を得ます．このとき, $S$ を $T$ の 逆写像(inverse mapping) といい, $S = T^{-1}$ と表します．ここで同型写像について次のことが成り立ちます．

定理 3..1

線形写像 $T : V \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ について次の条件は同値である．
$(1)$

$\dim V = n$
$(2)$

は同型写像である．つまり $V \sim {\mathcal R}^{n}$
$(3)$

$\ker(T) = \{{\bf0}\}, Im(T) = {\mathcal R}^{n}$
$(4)$

逆写像 $T^{-1} : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow V$ は同型写像である．
$(5)$

$\{{\bf w}_{1},{\bf w}_{2}, \ldots , {\bf w}_{n}\}$ が ${\mathcal R}^{n}$ の基底ならば, 逆写像 $T^{-1}$ による像の集合

$\{T^{-1}({\bf w}_{1}),T^{-1}({\bf w}_{2}), \ldots , T^{-1}({\bf w}_{n})\}$ は $V$ の基底となる．

証明 $(1) \Rightarrow (2)$
$V$ の1組の基底を $\{{\bf v}_{1},{\bf v}_{2}\ldots,{\bf v}_{n}\}$ とし, $\{{\bf w}_{1},{\bf w}_{2}, \ldots , {\bf w}_{n}\}$ を ${\mathcal R}^{n}$ の基底とする．ここで $T : V \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ を $T(\alpha_{1}{\bf v}_{1} + \alpha_{2}{\bf v}_{2} + \cdots + \alpha_{n}{\bf v}_{n... ... \alpha_{1}{\bf w}_{1} + \alpha_{2}{\bf w}_{2} + \cdots + \alpha_{n}{\bf w}_{n}$ と定義すると, $T$ は線形写像となる(演習問題3.1)．また ${\bf a},{\bf b} \in V$ とすると, ある $c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}, d_{1},d_{2},\ldots,d_{n} \in R$ で

$\displaystyle {\bf a} = c_{1}{\bf v}_{1} + \cdots + c_{n}{\bf v}_{n},$

$\displaystyle {\bf b} = d_{1}{\bf v}_{1} + \cdots + d_{n}{\bf v}_{n}．$

よって

$\displaystyle T({\bf a}) = T({\bf b})$	$\displaystyle \Longrightarrow$	$\displaystyle T(c_{1}{\bf v}_{1} + \cdots + c_{n}{\bf v}_{n}) = T(d_{1}{\bf v}_{1} + \cdots + d_{n}{\bf v}_{n})$
	$\displaystyle \Longrightarrow$	$\displaystyle c_{1}T({\bf v}_{1}) + \cdots + c_{n}T({\bf v}_{n}) = d_{1}T({\bf v}_{1}) + \cdots + d_{n}T({\bf v}_{n})$
	$\displaystyle \Longrightarrow$	$\displaystyle c_{1}{\bf w}_{1} + \cdots + c_{n}{\bf w}_{n} = d_{1}{\bf w}_{1} + \cdots + d_{n}{\bf w}_{n}$
	$\displaystyle \Longrightarrow$	$\displaystyle c_{1} = d_{1}, \ldots , c_{n} = d_{n}$
	$\displaystyle \Longrightarrow$	$\displaystyle {\bf a} = {\bf b}$

となり

は単射．つぎに ${\mathbf y} \in {\mathcal R}^{n}$ とすると, ${\mathbf y} = c_{1}{\bf w}_{1} + \cdots + c_{n}{\bf w}_{n}$ と表され, これは $c_{1}{\bf v}_{1} + \ldots + c_{n}{\bf v}_{n}$ の $T$

による像である．よって $T$

は全射である．これより $T$

は全単射な線形写像となり $T$

は同型写像であることが示せた．
$(2) \Rightarrow (3)$
$T({\bf a}) = {\bf0}$ とすると $T({\bf0}) = {\bf0} = T({\bf a})$ となるので, 仮定より ${\bf a} = {\bf0}$ ．よって $\ker(T) = \{{\bf0}\}$ . また $T$

は全射であるから $Im(T) = {\mathcal R}^{n}$ となる．
$(3) \Rightarrow (4)$
$T$

が同型写像なので ${\bf w}_{i},{\bf w}_{j} \in R^{n}$ に対して, $T({\bf v}_{i}) = {\bf w}_{i}, T({\bf v}_{j}) = {\bf w}_{j}$ となる ${\bf v}_{i},{\bf v}_{j} \in V$ が存在する．また $T$

の線形性により

$\displaystyle T(\alpha{\bf v}_{i} + \beta{\bf v}_{j}) = \alpha T({\bf v}_{i}) + \beta T({\bf v}_{j}) = \alpha {\bf w}_{i} + \beta {\bf w}_{j}.$

よって

$\displaystyle T^{-1}(\alpha {\bf w}_{i} + \beta {\bf w}_{j}) = \alpha{\bf v}_{i} + \beta{\bf v}_{j}.$

次に $T^{-1}$ が全単射であることを示す．まず $T^{-1}({\bf w}_{i}) = T^{-1}({\bf w}_{j})$ より ${\bf w}_{i} = {\bf w}_{j}$ を示す．

$\displaystyle {\bf w}_{i} - {\bf w}_{j} = T({\bf v}_{i}) - T({\bf v}_{j}) = T({\bf v}_{i} - {\bf v}_{j}) = T({\bf0}) = {\bf0} .$

最後に $Im(T) = {\mathcal R}^{n}$ より

$\displaystyle {\bf v}_{i} = T^{-1}({\bf w}_{i}) .$

よって $T^{-1}$ は同型写像．
$(4) \Rightarrow (5)$
$\{T^{-1}({\bf w}_{1}),T^{-1}({\bf w}_{2}), \ldots , T^{-1}({\bf w}_{n})\}$ が $V$

の基底であることを示すには, この組が1次独立でかつこの組のベクトルで張られる空間が $V$

であることを示せばよい．

$\displaystyle c_{1}T^{-1}({\bf w}_{1})+c_{2}T^{-1}({\bf w}_{2}) + \cdots + c_{n}T^{-1}({\bf w}_{n}) = {\bf0}$

より

$\displaystyle T^{-1}(c_{1}{\bf w}_{1}+c_{2}{\bf w}_{2} + \cdots + c_{n}{\bf w}_{n}) = {\bf0}.$

ここで $T^{-1}$ は同型写像なので

$\displaystyle c_{1}{\bf v}_{1} + c_{2}{\bf v}_{2} + \cdots + c_{n}{\bf v}_{n} = {\bf0}.$

このとき, $\{{\bf v}_{1},\ldots,{\bf v}_{n}\}$ は1次独立であるから $c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{n} = 0$ を得る．よって

$\displaystyle \{T^{-1}({\bf w}_{1}),T^{-1}({\bf w}_{2}), \ldots , T^{-1}({\bf w}_{n})\}$

は1次独立である．つぎに ${\bf v} \in V$ とすると,

$\displaystyle {\bf v} = c_{1}{\bf v}_{1} + \cdots + c_{n}{\bf v}_{n} = c_{1}T^{-1}({\bf w}_{1}) + \cdots + c_{n}T^{-1}({\bf w}_{n}) .$

よって $\langle{\bf w}_{1},{\bf w}_{2},\ldots,{\bf w}_{n}\rangle = V$ .
$(5) \Rightarrow (1)$
$\{T^{-1}({\bf w}_{1}),T^{-1}({\bf w}_{2}), \ldots , T^{-1}({\bf w}_{n})\}$ は $V$

の基底より $\dim V = n$ . $\blacksquare$

このように $n$ 次元のベクトル空間 $V$ は ${\mathcal R}^{n}$ と同型となるので, $V$ のベクトル間の関係は同型写像によって ${\mathcal R}^{n}$ のベクトル間の関係として扱うことができます．

$\spadesuit$ 行列表現 $\spadesuit$

有限次元のベクトル空間の線形写像を調べるために, 線形写像に行列を対応させることがあります．このとき, 線形写像の性質は行列の性質として, より具体的に表されます．たとえば, $xy$ 平面上の点 $(x,y)$ を $\theta$ だけ回転して点 $(X,Y)$ に対応させる線形変換 $T$ を考えてみましょう．まず, $R^2$ の1組の基底 $\{\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right), \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right) \}$ を考えます．これより

$\displaystyle {\mathbf x} = \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right... ... \end{array} \right) + y \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array} \right),$

$\displaystyle {\mathbf y}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \left(\begin{array}{c} X\\ Y \end{array}\right) = T({\mathbf x})... ...1\\ 0 \end{array}\right) + y \left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right))$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle xT(\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) ) + y T(\left... ...) + y \left(\begin{array}{c} -\sin{\theta}\\ \cos{\theta} \end{array}\right) .$

よって

$\displaystyle \left(\begin{array}{c} X\\ Y \end{array}\right) = \left(\begin{a... ...os{\theta} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)$

と行列を用いて表せます．一般に, 線形写像 $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$ を考え,

$\displaystyle \{{\bf v}_{1},\ldots,{\bf v}_{n}\}, \{{\bf w}_{1},\ldots,{\bf w}_{m}\}$

をそれぞれ ${\mathcal R}^{n},{\mathcal R}^{m}$ の1組の基底とし, 任意の ${\mathbf x} \in {\mathcal R}^{n}$ とその像 ${\mathbf y} = T({\mathbf x}) \in {\mathcal R}^{m}$ を

$\displaystyle {\mathbf x} = {\bf v}_{1}x_{1} + {\bf v}_{2}x_{2} + \cdots + {\bf v}_{n}x_{n},$

$\displaystyle {\mathbf y} = {\bf w}_{1}y_{1} + {\bf w}_{2}y_{2} + \cdots + {\bf w}_{m}y_{m}$

と表すとき, 写像

の線形性により

$\displaystyle {\mathbf y} = T({\mathbf x})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle T({\bf v}_{1}x_{1} + {\bf v}_{2}x_{2} + \cdots + {\bf v}_{n}x_{n})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle T({\bf v}_{1})x_{1} + T({\bf v}_{2})x_{2} + \cdots + T({\bf v}_{n})x_{n}$

となります．ここで $\{T({\bf v}_{1}),\ldots,T({\bf v}_{n})\}$ は ${\mathcal R}^{m}$ に含まれるので,

$\displaystyle T({\bf v}_{i}) = a_{1i}{\bf w}_{1} + a_{2i}{\bf w}_{2} + \cdots + a_{mi}{\bf w}_{m} (i = 1,2,\ldots,n)$

と表せます．これより

$\displaystyle {\mathbf y}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (a_{11}{\bf w}_{1} + a_{21}{\bf w}_{2} + \cdots + a_{m1}{\bf w}_{m})x_{1}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (a_{12}{\bf w}_{1} + a_{22}{\bf w}_{2} + \cdots + a_{m2}{\bf w}_{m})x_{2}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \vdots$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle (a_{1n}{\bf w}_{1} + a_{2n}{\bf w}_{2} + \cdots + a_{mn}{\bf w}_{m})x_{n}$

となります．ここで $\{{\bf w}_{1},{\bf w}_{2},\ldots,{\bf w}_{m}\}$ は ${\mathcal R}^{m}$ の基底をなしているので, 対応する係数は等しいはずです．よって次のような関係式が得られます．

$\displaystyle \left \{ \begin{array}{rrr} y_{1}& =& a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} +... ...{m}& =& a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n} . \end{array}\right .$

これより右辺の係数行列 $A = (a_{ij})$ が定まります．この行列 $A$

を基底

$\displaystyle \{{\bf v}_{1},\ldots,{\bf v}_{n}\}, \{{\bf w}_{1},\ldots,{\bf w}_{m}\}$

に関する

の 行列表現(matrix representation) といい $[T]_{\bf v}^{\bf w}$ と表します．とくに $V = W$

の場合は, 通常 $\{{\bf v}_{1},\ldots,{\bf v}_{n}\}$ と $\{{\bf w}_{1},\ldots,{\bf w}_{n}\}$ とを同一にとり $T$

の行列表現を $[T]_{\bf v}$ と表します．また $T: { R}^{n} \longrightarrow { R}^{n}$ のとき, 標準基底(usual basis)

$\displaystyle \{{\bf e}_{1} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end... ...\bf e}_{n} = \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1 \end{array}\right)\}$

を用いて

の行列表現は $[T]_{\bf e}$ または $[T]$

で表します．

ここまでをまとめると ${\mathcal R}^{n}$ から ${\mathcal R}^{m}$ への線形写像 $T$ は, ${\mathcal R}^{n}$ の基底の像を ${\mathcal R}^{m}$ の基底で表したとき, $m \times n$ 型の行列 $A$ で表され,

$\displaystyle [T({\mathbf x})]_{\bf w} = [T]_{\bf v}^{\bf w}[{\mathbf x}]_{\bf v}$

を満たします．

例題 3..3

$T : {\mathcal R}^{2} \longrightarrow {\mathcal R}^{2}$ が $T\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3x - 4y\\ x + 5y \end{array}\right)$ で与えられているとき, 標準基底 $\{{\bf e}_{1},{\bf e}_{2}\}$ に関する $T$

の行列表現

と基底 $\{{\bf w}_{1} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 3 \end{array}\right), {\bf w}_{2} = \left(\begin{array}{c} 2\\ 5 \end{array}\right)\}$ に関する $T$

の行列表現 $[T]_{\bf w}$ を求めよ．また基底 $\{{\bf e}_{1},{\bf e}_{2}\}, \{{\bf w}_{1},{\bf w}_{2}\}$ に関する $T$

の行列表現 $[T]_{\bf e}^{\bf w}$ を求めよう．

解

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} T({\bf e}_{1}) = T(\left(\begin{array}{c} 1\... ...5 \end{array}\right) = -4{\bf e}_{1} + 5{\bf e}_{2} \end{array}\end{displaymath}$

より $[T] = \left(\begin{array}{cc} 3&-4\\ 1&5 \end{array}\right)$ .

$\displaystyle T({\bf w}_{1})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle T(\left(\begin{array}{c} 1\\ 3 \end{array}\right)) = \left(\begin{array}{c} -9\\ 16 \end{array}\right) = a{\bf w}_{1} + b{\bf w}_{2},$
$\displaystyle T({\bf w}_{2})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle T(\left(\begin{array}{c} 2\\ 5 \end{array}\right)) = \left(\begin{array}{c} -14\\ 27 \end{array}\right) = c{\bf w}_{1} + d{\bf w}_{2}$

とおくと $a{\bf w}_{1} + b{\bf w}_{2} = \left(\begin{array}{c} -9\\ 16 \end{array}\right... ...\bf w}_{1} + d{\bf w}_{2} = \left(\begin{array}{c} -14\\ 27 \end{array}\right)$ より $a = 77,b = -43, c = 124, d = -69$

を得る．よって $[T]_{\bf w} = \left(\begin{array}{cc} 77&124\\ -43&-69 \end{array}\right)$ .
また

$\displaystyle T({\bf e}_{1})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle T(\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)) = \left(\begin{array}{c} 3\\ 1 \end{array}\right) = -13{\bf w}_{1} + 8{\bf w}_{2},$
$\displaystyle T({\bf e}_{2})$	$\displaystyle =$	$\displaystyle T(\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)) = \left(\begin{array}{c} -4\\ 5 \end{array}\right) = 30{\bf w}_{1} - 17{\bf w}_{2}$

より $[T]_{\bf e}^{\bf w} = \left(\begin{array}{cc} -13&30\\ 8&-17 \end{array}\right)$ . $\blacksquare$

$\spadesuit$ 次元公式 $\spadesuit$

線形写像の行列表現を用いて, もう一度線形写像の核と像について調べてみましょう．線形写像 $T$ を $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$ とします．このとき $\ker(T)$ は $T$ の像が ${\bf0}$ になる ${\mathcal R}^{n}$ の要素の集まりでした．つまり連立1次方程式

$\displaystyle \left \{ \begin{array}{rrr} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + ... ...\ a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \cdots + a_{mn}x_{n}& = & 0 \end{array}\right .$

の解からつくられる解空間と同じになります．また定理2.3より, 解空間の次元は

$\displaystyle \dim \ker(T) = n - {\rm rank}(A)$

となります．では

はどうでしょうか．

は ${\mathcal R}^{n}$ のすべての元の像の集まりなので $\dim Im(T) = {\rm rank}(A)$ となります．これから次元公式とよばれる次の定理を得ます．

定理 3..2

$T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$ を線形写像とするとき,

$\displaystyle \dim {\mathcal R}^{n} = \dim \ker(T) + \dim Im(T)$

が成り立つ．

例題 3..4

$T : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{3}$ の行列表現を $A = \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 2&2&2\\ 3&3&3 \end{array}\right )$ とするとき, $\dim \ker(T)$ を求めよう．

解 $\dim \ker(T)$ は $\dim {\mathcal R}^{3} - \dim Im(T)$ と等しく, $\dim Im(T) = {\rm rank}(A)$ より ${\rm rank}(A)$ を求めれば $\dim \ker(T)$ が求まる．

$\displaystyle A = \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 2&2&2\\ 3&3&3 \end{array}\... ...ightarrow \left(\begin{array}{rrr} 1&1&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{array}\right )$

より ${\rm rank}(A) = 1$ . したがって $\dim \ker(T) = 3 - 1 = 2$ . $\blacksquare$

ベクトル空間 $,{\mathcal R}^{l},{\mathcal R}^{n},{\mathcal R}^{m}$ の間に線形写像

$\displaystyle S : { R}^{l} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}, T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$

が与えられたとき, その合成写像 $T \circ S : { R}^{l} \longrightarrow { R}^{m}$ も線形写像となりました(例題3.1)．そこで各空間に基底をとり, それらに関する $S,T$

の行列を

とすると ${\mathbf x} = (x_{i}), {\mathbf y} = (y_{j}), {\mathbf z} = (z_{k})$ に対して

$\displaystyle (y_{i}) = A(x_{j}), (z_{k}) = B(y_{i}) = BA(x_{j})$

となるので $T \circ S$ の行列表現は $BA$

となります．

定理 3..3

線形変換 $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ の基底 $\{{\bf v}_{i}\}$ に関する行列表現を $A$

とするとき, 次の条件は同値である．
$(1)$

は同型写像である．

行列

は正則行列である．

証明 $(1) \Rightarrow (2)$
$T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ の行列表現を $A$ とする． $T$ は同型写像より $T^{-1}$ が存在する． $T^{-1}$ の行列表現を $B$ とすると, $BA = I$ が成り立つから, $A$ は正則行列である．
$(2) \Rightarrow (1)$
$A$ が正則行列ならばとなる行列が存在し, この $B$ に対する写像を $S$ すると $T \circ S = 1$ ．よって, 演習問題3.1より $T$ は同型写像． $\blacksquare$

演習問題3-2

1. 次の写像のうち線形写像はどちらか．

$\displaystyle T_{1} : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{2}, T_{1}... ...y}\right) = \left(\begin{array}{c} x_{3}\\ x_{1} + x_{2} \end{array}\right) .$

$\displaystyle T_{2} : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{2}, T_{2}... ...ight) = \left(\begin{array}{c} x_{1} + 1\\ x_{2} + x_{3} \end{array}\right) .$

2. $V$ は $n$ 次元ベクトル空間, $\{{\bf v}_{1},\ldots,{\bf v}_{n}\}$ を $V$ の基底とする． $T : V \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ を $T(\alpha_{1}{\bf v}_{1} + \alpha_{2}{\bf v}_{2} + \cdots + \alpha_{n}{\bf v}_{n... ... \alpha_{1}{\bf e}_{1} + \alpha_{2}{\bf e}_{2} + \cdots + \alpha_{n}{\bf e}_{n}$ と定義すると, $T$ は線形写像になることを示せ．

3. 線形写像 $T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ について, 次の条件は同値であることを証明せよ．

(a): は同型写像である．
(b): $T \circ S = 1$ を満たす線形写像 $S : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ が存在する．

4. $T : V \longrightarrow W$ が線形写像のとき, $\ker(T),Im(T)$ は $V,W$ の部分空間であることを示せ．

5. $T : {\mathcal R}^{3} \longrightarrow {\mathcal R}^{3}$ が $T\left(\begin{array}{r} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array}\right) = \left(\beg... ...x_{3}\\ 2x_{1} + x_{2} + 3x_{3}\\ 2x_{1} + 2x_{2} + x_{3} \end{array}\right)$ のとき, 標準基底 $\{{\bf e}_{1},{\bf e}_{2},{\bf e}_{3}\}$ に関する $T$ の行列表現 $[T]$ と基底 $\{{\bf w}_{1} = \left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array}\right), {\bf w}_... ...\right), {\bf w}_{3} = \left(\begin{array}{c} 0\\ -1\\ 1 \end{array}\right)\}$ に関する行列表現 $[T]_{\bf w}$ を求めよ．
また $\dim \ker(T)$ を求めよ．