線形写像(linear mapping)

$\spadesuit$写像 $\spadesuit$

第1章, 第2章でベクトル空間について学んできました．この章では写像を用いてふたつのベクトル空間の関係を調べます．そこで写像について簡単に復習をしておきます．

ふたつの集合VとWを考えます．Vの任意の要素$v$ に対してWのただひとつの要素$w$ を対応させるような規則$T$ があるとき, この対応関係$T$ をVからWへの 写像(mapping) といい記号 $T : V \longrightarrow W$ で表します．この考え方を用いると $m \times n$型の行列は $n$項列ベクトルを $m$項列ベクトルに移す写像, 言い換えると, ${\mathcal R}^{n}$ から ${\mathcal R}^{m}$ への写像ということになります．

$\spadesuit$線形写像 $\spadesuit$

ベクトル空間には和とスカラー倍が定義されていました．そこで, ふたつのベクトル空間の関係を調べるのに使う写像は, 和とスカラー倍を保つのが望ましいでしょう．そのような写像を線形写像といい次のように定義します．

定義 3..1  

$V,W$ がベクトル空間のとき, 写像 $T : V \longrightarrow W$ で次の条件を満たすものを 線形写像(linear mapping) という．
$1. T({\bf v} + {\bf w}) = T({\bf v}) + T({\bf w}) ({\bf v},{\bf w} \in V)$
$2. T(\alpha {\bf v}) = \alpha T({\bf v}) ({\bf v} \in V, \alpha \in R)$
とくに $V = W$ のとき, $T$ を $V$ の 線形変換(linear transformation) という．

線形写像は $V$ から $W$ への写像のうちベクトル空間の性質を保つ写像です．$T$ により $V$ の移る先全体を $T$ の 像(image) といい,

$$Im (T) = T(V) = \{{\bf w} \in W : T({\bf v}) = {\bf w}を満たす{\bf v} \in Vが存在する\}$$

で表します．また$T$ による像が ${\bf0}$ になるような$V$ の要素の集まりを $T$ の 核(kernel) といい,

$$\ker (T) = \{{\bf v} \in V : T({\bf v}) = 0 \}$$

で表します．これらは線形写像の性質より, それぞれ$W,V$ の部分空間になることがわかります(演習問題3.3参照)．

例題 3..1  

$A$ を $m \times n$型の行列とする．

$$T : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow {\mathcal R}^{m}$$

を $T({\mathbf x}) = A{\mathbf x}$ で定義すると $T$ は線形写像になることを示そう．

解 行列どうしの積および実数との積の性質から, ${\mathcal R}^{n}$ の任意のベクトル ${\mathbf x}_{1},{\mathbf x}_{2}$および任意の実数 $\alpha$ に対して,

$$T({\mathbf x}_{1} + {\mathbf x}_{2}) = A({\mathbf x}_{1} + {\math... ...mathbf x}_{1}) + A({\mathbf x}_{2}) = T({\mathbf x}_{1}) + T({\mathbf x}_{2}),$$

$$T(\alpha {\mathbf x}_{1}) = A(\alpha {\mathbf x}_{1}) = \alpha A({\mathbf x}_{1}) = \alpha T({\mathbf x}_{1})$$

が成り立つ．よって $T$ は線形写像である． $\blacksquare$

線形写像 $T : V \longrightarrow W$ が

$${\bf v}_{1} \neq {\bf v}_{2} \mbox{ならば} T({\bf v}_{1}) \neq T({\bf v}_{2}) ({\bf v}_{1},{\bf v}_{2} \in V)$$

を満たすとき, $T$ は 1対1(one-to-one)であるといい, このような写像を 単射(injective) といいます．

線形写像 $T : V \longrightarrow W$ が $Im(T) = W$ を満たすとき, $T$ を $V$ から $W$ の 上への(onto)線形写像といい, このような写像を 全射(surjective) といいます．

例題 3..2  

$S : U \longrightarrow V, T : V \longrightarrow W$ がともに線形写像であるとき, 合成写像 $T \circ S : U \longrightarrow W$も線形写像であることを示そう．

解

$$(T \circ S)(\alpha{\bf u}_{1} + \beta{\bf u}_{2}) = T(S(\alpha{\bf u}_{1} + \beta{\bf u}_{2}))$$

$$= T(\alpha S({\bf u}_{1}) + \beta S({\bf u}_{2}))$$

$$= \alpha (T \circ S)({\bf u}_{1}) + \beta (T \circ S)({\bf u}_{2})$$

より合成写像 $T \circ S : U \longrightarrow W$も線形写像． $\blacksquare$

$\spadesuit$同型写像 $\spadesuit$

ベクトル空間からベクトル空間の上への1対1の線形写像をとくに同型写像(isomorphism) といいます．また, $V$ から $W$ への同型写像が存在するとき, $V$ と $W$ は 同型(isomorphic)であるといい, $V \sim W$ と表します．また $T : V \longrightarrow W$ が同型写像で, $T({\bf v}) = {\bf w}$ のとき, $S({\bf w}) = {\bf v}$ と定めることにより, $W$ から $V$ への写像$S$ を得ます．このとき, $S$ を $T$ の 逆写像(inverse mapping) といい, $S = T^{-1}$ と表します．ここで同型写像について次のことが成り立ちます．

定理 3..1  

線形写像 $T : V \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ について次の条件は同値である．
$(1)$ $\dim V = n$
$(2)$ $T$ は同型写像である．つまり $V \sim {\mathcal R}^{n}$
$(3)$ $\ker(T) = \{{\bf0}\}, Im(T) = {\mathcal R}^{n}$
$(4)$ 逆写像 $T^{-1} : {\mathcal R}^{n} \longrightarrow V$ は同型写像である．
$(5)$ $\{{\bf w}_{1},{\bf w}_{2}, \ldots , {\bf w}_{n}\}$ が ${\mathcal R}^{n}$ の基底ならば, 逆写像$T^{-1}$ による像の集合

$\{T^{-1}({\bf w}_{1}),T^{-1}({\bf w}_{2}), \ldots , T^{-1}({\bf w}_{n})\}$ は $V$ の基底となる．

証明 $(1) \Rightarrow (2)$
$V$ の1組の基底を $\{{\bf v}_{1},{\bf v}_{2}\ldots,{\bf v}_{n}\}$ とし, $\{{\bf w}_{1},{\bf w}_{2}, \ldots , {\bf w}_{n}\}$ を ${\mathcal R}^{n}$ の基底とする．ここで $T : V \longrightarrow {\mathcal R}^{n}$ を $T(\alpha_{1}{\bf v}_{1} + \alpha_{2}{\bf v}_{2} + \cdots + \alpha_{n}{\bf v}_{n... ... \alpha_{1}{\bf w}_{1} + \alpha_{2}{\bf w}_{2} + \cdots + \alpha_{n}{\bf w}_{n}$ と定義すると, $T$ は線形写像となる(演習問題3.3)．また ${\bf a},{\bf b} \in V$ とすると, ある $c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}, d_{1},d_{2},\ldots,d_{n} \in R$ で

$${\bf a} = c_{1}{\bf v}_{1} + \cdots + c_{n}{\bf v}_{n},$$

$${\bf b} = d_{1}{\bf v}_{1} + \cdots + d_{n}{\bf v}_{n}．$$

よって

$$T({\bf a}) = T({\bf b}) \Longrightarrow T(c_{1}{\bf v}_{1} + \cdots + c_{n}{\bf v}_{n}) = T(d_{1}{\bf v}_{1} + \cdots + d_{n}{\bf v}_{n})$$

$$\Longrightarrow c_{1}T({\bf v}_{1}) + \cdots + c_{n}T({\bf v}_{n}) = d_{1}T({\bf v}_{1}) + \cdots + d_{n}T({\bf v}_{n})$$

$$\Longrightarrow c_{1}{\bf w}_{1} + \cdots + c_{n}{\bf w}_{n} = d_{1}{\bf w}_{1} + \cdots + d_{n}{\bf w}_{n}$$

$$\Longrightarrow c_{1} = d_{1}, \ldots , c_{n} = d_{n}$$

$$\Longrightarrow {\bf a} = {\bf b}$$

となり $T$ は単射．つぎに ${\mathbf y} \in {\mathcal R}^{n}$ とすると, ${\mathbf y} = c_{1}{\bf w}_{1} + \cdots + c_{n}{\bf w}_{n}$ と表され, これは $c_{1}{\bf v}_{1} + \ldots + c_{n}{\bf v}_{n}$ の $T$ による像である．よって $T$ は全射である．これより $T$ は全単射な線形写像となり $T$ は同型写像であることが示せた．
$(2) \Rightarrow (3)$
$T({\bf a}) = {\bf0}$ とすると $T({\bf0}) = {\bf0} = T({\bf a})$ となるので, 仮定より ${\bf a} = {\bf0}$．よって $\ker(T) = \{{\bf0}\}$. また$T$ は全射であるから $Im(T) = {\mathcal R}^{n}$ となる．
$(3) \Rightarrow (4)$
$T$ が同型写像なので ${\bf w}_{i},{\bf w}_{j} \in R^{n}$ に対して, $T({\bf v}_{i}) = {\bf w}_{i}, T({\bf v}_{j}) = {\bf w}_{j}$ となる ${\bf v}_{i},{\bf v}_{j} \in V$ が存在する．また$T$ の線形性により

$$T(\alpha{\bf v}_{i} + \beta{\bf v}_{j}) = \alpha T({\bf v}_{i}) + \beta T({\bf v}_{j}) = \alpha {\bf w}_{i} + \beta {\bf w}_{j}.$$

よって

$$T^{-1}(\alpha {\bf w}_{i} + \beta {\bf w}_{j}) = \alpha{\bf v}_{i} + \beta{\bf v}_{j}.$$

次に $T^{-1}$ が全単射であることを示す．まず $T^{-1}({\bf w}_{i}) = T^{-1}({\bf w}_{j})$より ${\bf w}_{i} = {\bf w}_{j}$ を示す．

$${\bf w}_{i} - {\bf w}_{j} = T({\bf v}_{i}) - T({\bf v}_{j}) = T({\bf v}_{i} - {\bf v}_{j}) = T({\bf0}) = {\bf0} .$$

最後に $Im(T) = {\mathcal R}^{n}$より

$${\bf v}_{i} = T^{-1}({\bf w}_{i}) .$$

よって $T^{-1}$ は同型写像．
$(4) \Rightarrow (5)$
$\{T^{-1}({\bf w}_{1}),T^{-1}({\bf w}_{2}), \ldots , T^{-1}({\bf w}_{n})\}$ が $V$ の基底であることを示すには, この組が1次独立でかつこの組のベクトルで張られる空間が $V$ であることを示せばよい．

$$c_{1}T^{-1}({\bf w}_{1})+c_{2}T^{-1}({\bf w}_{2}) + \cdots + c_{n}T^{-1}({\bf w}_{n}) = {\bf0}$$

より

$$T^{-1}(c_{1}{\bf w}_{1}+c_{2}{\bf w}_{2} + \cdots + c_{n}{\bf w}_{n}) = {\bf0}.$$

ここで $T^{-1}$ は同型写像なので

$$c_{1}{\bf v}_{1} + c_{2}{\bf v}_{2} + \cdots + c_{n}{\bf v}_{n} = {\bf0}.$$

このとき, $\{{\bf v}_{1},\ldots,{\bf v}_{n}\}$ は1次独立であるから $c_{1} = c_{2} = \cdots = c_{n} = 0$ を得る．よって

$$\{T^{-1}({\bf w}_{1}),T^{-1}({\bf w}_{2}), \ldots , T^{-1}({\bf w}_{n})\}$$

は1次独立である．つぎに ${\bf v} \in V$ とすると,

$${\bf v} = c_{1}{\bf v}_{1} + \cdots + c_{n}{\bf v}_{n} = c_{1}T^{-1}({\bf w}_{1}) + \cdots + c_{n}T^{-1}({\bf w}_{n}) .$$

よって $\langle{\bf w}_{1},{\bf w}_{2},\ldots,{\bf w}_{n}\rangle = V$.
$(5) \Rightarrow (1)$
$\{T^{-1}({\bf w}_{1}),T^{-1}({\bf w}_{2}), \ldots , T^{-1}({\bf w}_{n})\}$ は $V$ の基底より $\dim V = n$. $\blacksquare$

このように $n$ 次元のベクトル空間$V$ は ${\mathcal R}^{n}$ と同型となるので, $V$ のベクトル間の関係は同型写像によって ${\mathcal R}^{n}$ のベクトル間の関係として扱うことができます．