演習問題1.3

1.
次の微分方程式の一般解を求めよ.
(a)
$\displaystyle{y^{\prime} = \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}}$
(b)
$\displaystyle{y^{\prime} = \frac{xy}{(x+2y)^{2}}}$
(c)
$\displaystyle{y^{\prime} = \frac{x^{2}+2xy-4y^{2}}{x^{2}-8xy-4y^{2}}}$
(d)
$\displaystyle{(x^{2}-y^{2}e^{\frac{x}{y}})y^{\prime} = xy }$
(e)
$\displaystyle{y^{\prime} = \frac{x+2y-1}{x+2y+7}}$
(f)
$\displaystyle{y^{\prime} = \frac{x-y+8}{y-3x+2}}$
2.] 次の初期値問題を解け.
(a)
$\displaystyle{(y - \sqrt{x^{2}+y^{2}})dx - xdy = 0,  y(\sqrt{3}) = 1}$
(b)
$\displaystyle{(y^{3}-x^{3})dx - xy^{2}dy = 0,  y(1) = 2}$
3.
例題1.9はなぜ例題1.8の方法では解けないのか考えなさい.