完全微分形微分方程式(Exact differential equation)

この節では変数分離形ではないが，積分を2回行なうことによって解が得られる微分方程式について考えます．まず2変数関数の全微分を思い出してもらいます．2変数関数 $u(x,y)$

の全微分は

$\displaystyle du = u_{x}dx + u_{y}dy$

で与えられます．よってもし2つの偏微分 $u_{x},u_{y}$ がわかれば，全微分 $du$

が求まります．逆に，関数の全微分がわかると次の例題が示すように，その関数を任意の定数の範囲できめることができます．

例題 1..10

ある関数

の全微分は

$\displaystyle du = 3x(xy - 2)dx + (x^{3} + 2y)dy$

で与えられている．このとき， $u(x,y)$

を求めよ．

解 $dx$ と $dy$ の係数は $u_{x}$ と $u_{y}$ である．したがって

$\displaystyle u_{x} = 3x^{2}y - 6x, u_{y} = x^{3} + 2y.$

最初の式を

について積分すると

$\displaystyle u(x,y) = \int( 3x^{2}y - 6x)dx = x^{3}y - 3x^{2} + c(y)$

ここで

は

についての任意関数(なぜ?)．この式を $y$

について偏微分すると

$\displaystyle u_{y} = x^{3} + c^{\prime}(y)$

となる．この $u_{y}$ と最初に与えられた $u_{y}$ は等しいはずであるから，

$\displaystyle u_{y} = x^{3} + c^{\prime}(y) = x^{3} + 2y .$

これより $c^{\prime}(y) = 2y$ となり， $c(y) = y^{2} + C$ を得る．ただし $C$

は任意定数．よって

$\displaystyle u(x,y) = x^{3}y - 3x^{2} + y^{2} + C$

である． $\blacksquare$

次の定義は全微分と完全微分形微分方程式を結びつけてくれます．

定義 1..1

階の全微分方程式

$\displaystyle M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$

の左辺がある関数

の全微分

に等しいならば，この方程式の一般解は

$\displaystyle u(x,y) = c$

で与えられ，このような方程式を完全微分形(exact)という．

例題 1..11

$3x(xy - 2)dx + (x^{3} + 2y)dy = 0$ を解け．

解例題1.10で上の微分方程式の左辺が $du$ と等しい関数 $u(x,y)$ を求めた．よって一般解は

$\displaystyle x^{3}y - 3x^{3} + y^{2} = c . \ensuremath{ \blacksquare}$

次の定理は与えられた微分方程式が完全微分形か，でないか簡単にテストする方法を示唆しています．

定理 1..1 $M(x,y)$

と

の

階の偏導関数が，ある領域 $\{(x,y) : a < x < b, c < y < d \}$ 上で連続であるとする．そのとき，次の条件は同値である．
$(1) M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$

は完全微分形である
$(2) M_{y} = N_{x}$

証明 $(1) \Rightarrow (2)$
微分方程式が完全微分形ならば， $du = M(x,y)dx + N(x,y)dy $ となる関数 $u(x,y)$ が存在する．よって

$\displaystyle M = u_{x}, N = u_{y}$

を得る．次に

を

で偏微分，

を

で偏微分すると

$\displaystyle M_{y} = u_{xy}, N_{x} = u_{yx}$

となる．ここで $M_{y}, N_{x}$ は仮定より連続なので $u_{xy},u_{yx}$ も連続である．よって微積分学で学んだSchwartzの定理(Schwarz lemma)より $u_{xy} = u_{yx}$ となり， $M_{y} = N_{x}$ を得る．
$(2) \Rightarrow (1)$
$(x_{0},y_{0})$ を $M,N$

の定義域に属する点とする．まず， $\frac{\partial u}{\partial x} = M$ より

$\displaystyle u(x,y) - u(x_{0},y) = \int_{x_{0}}^{x}\frac{\partial u}{\partial x}dx = \int_{x_{0}}^{x}M(\xi,y)d\xi$

を得る．これが $\frac{\partial u}{\partial y} = N$ を満たすように，つまり

$\displaystyle N(x,y) = \frac{\partial u(x_{0},y)}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial y} \int_{x_{0}}^{x}M(\xi,y)d\xi$

が成り立つように $u(x_{0},y)$ を定めればよい． $M$

は連続な偏導関数をもつから，微分と積分の順序の交換ができて

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\int_{x_{0}}^{x}M(\xi,y)d\xi = \int_{x_{0}}^{x}\frac{\partial M}{\partial y}(\xi,y)d\xi$

が成り立つ．ここで $M_{y} = N_{x}$ より

$\displaystyle N(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\partial u(x_{0},y)}{\partial y} + \int_{x_{0}}^{x}\frac{\p... ..._{0},y)}{\partial y} + \int_{x_{0}}^{x}\frac{\partial N}{\partial x}(\xi,y)d\xi$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\partial u(x_{0},y)}{\partial y} + N(x,y) - N(x_{0},y)$

を得る．したがって， $u(x_{0},y)$ は

$\displaystyle \frac{\partial u(x_{0},y)}{\partial y} = N(x_{0},y)$

を満たさなければならない．そこで $u(x_{0},y)$ を

$\displaystyle u(x_{0},y) = \int_{y_{0}}^{y}N(x_{0},\eta)d\eta$

と定めると

$\displaystyle u(x,y) = \int_{x_{0}}^{x}M(\xi,y)d\xi + \int_{y_{0}}^{y}N(x_{0},\eta)d\eta .$

これより

$\displaystyle du = M(x,y)dx + N(x,y)dy$

となり，

は完全微分形である． $\blacksquare$

この定理の証明の中に完全微分形のときの解 $u(x,y)$ が与えられています．つまり $M_{y} = N_{x}$ のとき，一般解は

$\displaystyle u(x,y) = \int_{x_{0}}^{x}M(\xi,y)d\xi + \int_{y_{0}}^{y}N(x_{0},\eta)d\eta = c$

で与えられます．

例題 1..12

$(y\cos{x} - \sin{y})dx + (\sin{x} - x\cos{y})dy = 0$ を解け．

解

$\displaystyle M_{y} = \frac{\partial}{\partial y}(y\cos{x} - \sin{y}) = \cos{x} - \cos{y},$

$\displaystyle N_{x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sin{x} - x\cos{y}) = \cos{x} - \cos{y}$

より方程式は完全微分形である．そこで $(x_{0},y_{0}) = (0,0)$ として一般解を求めると

$\displaystyle u(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{x}M(\xi,y)d\xi + \int_{0}^{y}N(0,\eta)d\eta$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{x}(y\cos{\xi} - \sin{y})d\xi + \int_{0}^{y}0 d\eta$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle y\sin{x} - x\sin{y}$

となり，一般解は

$\displaystyle y\sin{x} - x\sin{y} = c . \ensuremath{ \blacksquare}$

例題 1..13

初期値問題 $(2xy + 3y)dx + (4y^{3} + x^{2} + 3x + 4)dy = 0, y(0) = 1$ を解け．

解 $M_{y} = 2x + 3 = N_{x}$ より，方程式は完全微分形である．よって

$\displaystyle u(x,y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{x}M(\xi,y)d\xi + \int_{0}^{y}N(0,\eta)d\eta$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_{0}^{x}(2\xi y + 3y)d\xi + \int_{0}^{y}(4\eta^{3} + 4)d\eta$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle x^{2}y + 3xy + y^{4} + 4y .$

これより，一般解

$\displaystyle x^{2}y + 3xy + y^{4} + 4y = c$

を得る．最後に初期条件 $y(0) = 1$

より

が定まる． $\blacksquare$

公式 $u(x,y) = \int_{x_{0}}^{x}M(\xi,y)d\xi + \int_{y_{0}}^{y}N(x_{0},\eta)d\eta$ を用いて，一般解を求める方法の他に，もっとよく用いられている方法にくくり直し法(grouping method)とよばれているものがあります．この方法を次の例題を用いて説明します.