複素積分(Complex integral)

$z$平面上の曲線$C$を含む領域を$\Omega$とし，$f(z)$を$\Omega$で定義された連続関数とする．

$$f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$$

とおくとき，

$$f(z)\frac{dz}{dt} = (u(x,y) + i v(x,y))(\frac{dx}{dt} + i \frac{dy}{dt})$$

$$= u\frac{dx}{dt} - v \frac{dy}{dt} + i (v\frac{dx}{dt} + u \frac{dy}{dt})$$

となる．ここで，最後の式の第１項は媒介変数$t$の関数であるが，積分

$$\int_{\alpha}^{\beta}u(x(t),y(t))\frac{dx}{dt}\; dt = \int_{C}u\; dx$$

は媒介変数に関係のない，$x$に関する曲線$C$に沿っての関数$u$の線積分である．残りの項についても同様に考えると，次の積分

$$\int_{C}u\;dx - \int_{C}v\;dy + i(\int_{C}v\; dx + \int_{C}u \;dy)$$

が考えられる．これを関数$f(z)$の曲線$C$に沿っての積分といい，

$$\int_{C}f(z)\;dz$$

で表す．これは，複素数の範囲で与えられているから，特に複素積分という．

練習問題4.2

1 単位円を1周する曲線$C$に沿って $\int_{C}z\cos{z}dz$を求めよ．

2 関数$\bar{z}$を点$0,1,1+i,i$を頂点とする正方形の辺および対角線に沿って0から$1+i$まで積分せよ．