複素積分(Complex integral)

平面上の曲線

を含む領域を $\Omega$ とし， $f(z)$

を $\Omega$ で定義された連続関数とする．

$\displaystyle f(z) = u(x,y) + i v(x,y)$

とおくとき，

$\displaystyle f(z)\frac{dz}{dt}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle (u(x,y) + i v(x,y))(\frac{dx}{dt} + i \frac{dy}{dt})$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle u\frac{dx}{dt} - v \frac{dy}{dt} + i (v\frac{dx}{dt} + u \frac{dy}{dt})$

となる．ここで，最後の式の第１項は媒介変数 $t$

の関数であるが，積分

$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}u(x(t),y(t))\frac{dx}{dt}\; dt = \int_{C}u\; dx$

は媒介変数に関係のない， $x$

に関する曲線

に沿っての関数

の線積分である．残りの項についても同様に考えると，次の積分

$\displaystyle \int_{C}u\;dx - \int_{C}v\;dy + i(\int_{C}v\; dx + \int_{C}u \;dy)$

が考えられる．これを関数 $f(z)$

の曲線

に沿っての積分といい，

$\displaystyle \int_{C}f(z)\;dz$

で表す．これは，複素数の範囲で与えられているから，特に複素積分という．

練習問題4.2

1 単位円を1周する曲線 $C$

に沿って $\int_{C}z\cos{z}dz$ を求めよ．

2 関数 $\bar{z}$ を点 $0,1,1+i,i$ を頂点とする正方形の辺および対角線に沿って0から $1+i$ まで積分せよ．